Función Inversa

04.01.202027.02.2024 Anthonny Arias-García2 comentarios

Tal como sobre la suma, resta, multiplicación y división, hemos definido algunas propiedades a partir de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales. La composición de funciones se puede considerar como una operación entre funciones y sobre ellas se pueden definir algunas propiedades.

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Propiedades de la Composición de Funciones

Si consideramos $f$ , $g$ y $h$ funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa

La composición de funciones es Asociativa, es decir,

$\Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)$

No conmutativa

La composición es de funciones es No conmutativa, es decir,

$\Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)$

Nota: Existen casos muy particulares en los que la composición de funciones puede conmutar, pero no es una regla general.

Elemento neutro

Si consideremos la función identidad, es decir, $I(x) = x$ . Esta se comporta como el Elemento Neutro para la composición de funciones, es decir,

$\Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f$

Función inversa

Así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva $f : A \longrightarrow B$ como una función $f^{-1} : B \longrightarrow A$ tal que al componer $f^{-1}$ con $f$ y $f$ con $f^{-1}$ , el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

$\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x$

Ejemplo

Si $f(x)=x+1$ y $g(x)=x-1$ son dos funciones, al calcular $\Big(f \circ g \Big) (x)$ .

$\Big(f \circ g \Big) (x)$

$= f \Big( g(x) \Big)$

$= f \Big( x-1 \Big)$

$= (x-1)+1$

$= x -1 +1$

$= x$

Por lo tanto podemos concluir que la función $g$ es la inversa de la función $f$ , en otras palabras, $g = f^{-1}$ .

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Tabla de funciones inversas elementales

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentes, es posible determinar sus inversas.

Particularmente, si $f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f)$ es una función biyectiva, definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

$f(x)$	$f^{-1}(x)$
$x$	$x$
$x^2$	$\sqrt{x}$
$x^3$	$\sqrt[3]{x}$
$x^n$	$\sqrt[n]{x}$
$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{x^n}$	$\dfrac{1}{\sqrt[n]{x}}$
$\textit{\large e}^x$	$\ln(x)$
$\text{sen}(x)$	$\text{arcsen}(x)$
$\text{cos}(x)$	$\text{arccos}(x)$
$\text{tan}(x)$	$\text{arctan}(x)$

Note que si $g$ es la inversa de una función $f$ entonces $f$ es la inversa de la función $g$ , entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Cálculo de funciones inversas

Ejemplo 1

Sea $f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty)$ una función definida de la siguiente manera: $f(x)=x^2+1$ . Calcule $f^{-1}(x)$ .

Nuestro propósito es determinar una función $f^{-1}(x)$ , tal que $f \left( f^{-1}(x) \right) = x$ , es decir, tal que

$\left( f^{-1}(x) \right)^2+1 = x$

Para esto, recurriremos a las técnicas de despeje para determinar $f^{-1}(x)$

$\displaystyle \left( f^{-1}(x) \right)^2+1 = x$

$\displaystyle \Rightarrow \left( f^{-1}(x) \right)^2 = x - 1$

$\displaystyle \Rightarrow \sqrt{\left( f^{-1}(x) \right)^2} = \sqrt{x - 1}$

$\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática en ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea $f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty)$ una función definida de la siguiente manera: $f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2$ . Calcule $f^{-1}(x)$ .

Nuestro propósito es determinar una función $f^{-1}(x)$ , tal que $f \left( f^{-1}(x) \right) = x$ , es decir, tal que

$\dfrac{1}{f^{-1}(x)-5}-2 = x$

Para esto, recurriremos a las técnicas de despeje para determinar $f^{-1}(x)$

$\displaystyle \dfrac{1}{f^{-1}(x)-5}-2 = x$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{1}{f^{-1}(x)-5} = x + 2$

$\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x)-5 =\dfrac{1}{x + 2}$

$\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x) =\dfrac{1}{x + 2} + 5$

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa en ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea $f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ una función definida de la siguiente manera: $f(x)=\ln(x+6) - 3$ . Calcule $f^{-1}(x)$ .

Nuestro propósito es determinar una función $f^{-1}(x)$ , tal que $f \left( f^{-1}(x) \right) = x$ , es decir, tal que

$\ln \left( f^{-1}(x)+6 \right) - 3 = x$

Para esto, recurriremos a las técnicas de despeje para determinar $f^{-1}(x)$

$\displaystyle \ln \left( f^{-1}(x)+6 \right) - 3 = x$

$\displaystyle \Rightarrow \ln \left( f^{-1}(x)+6 \right) = x +3$

$\displaystyle \Rightarrow \textit{\large e}^{\ln \left( f^{-1}(x)+6 \right)} = \textit{\large e}^{x +3}$

$\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x)+6 = \textit{\large e}^{x +3}$

$\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x) = \textit{\large e}^{x +3} -6$

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano en ambos lados de la ecuación.

Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que $\big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x$ .

Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

03.01.202023.03.2023 Anthonny Arias-García10 comentarios

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función $f: A \longrightarrow B$ establece entre los elementos de $A$ y $B$ . Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

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Función Inyectiva

Sea $f : A \longrightarrow B$ una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de $A$ y de $B$ , es decir que cada elemento de $Dom(f)$ está correspondido con único elemento de $Rgo(f)$ y cada elemento de $Rgo(f)$ está correspondido con un único elemento de $Dom(f)$ .

Formalmente, decimos que la función $f$ es inyectiva si para todo $a,b \in A$ se cumple lo siguiente:

$a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)$

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

$f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b$

Ejemplos

Ejemplo 1: Función inyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ , esta función no es inyectiva, esto se debe a que al tomar de forma muy particular, los elementos $2$ y $-2$ de su dominio, al ser estos dos elementos distintos de su dominio, también deberían ser distintas sus imágenes, pero sus imágenes son diferentes pues,

$f(-2) = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

$f(2) = (2)^2 = (2) \cdot (2) = 4$

Sin embargo, podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función $f$ en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 2: Función inyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 3: Función no inyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto $(0,4)$ , notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Ejemplo 4: Función inyectiva

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

Función Sobreyectiva

Sea $f : A \longrightarrow B$ una función, entonces $f$ es una función sobreyectiva si todo elemento de $B$ tiene una preimagen, es decir que $Rgo(f)=B$ . Formalmente, $f$ es sobreyectiva si:

$Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b$

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 5: Función sobreyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^3$ ,

Ella sí es sobreyectiva pues $Rgo(f) = \mathbb{R}$ .

Ejemplo 6: Función no sobreyectiva

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=\sqrt{x}$ ,

Ella no es sobreyectiva, ya que $Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}$ .

Ejemplo 7: Función sobreyectiva

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty]$ definida como $f(x)=\sqrt{x}$ ,

Ella sí es sobreyectiva pues $Rgo(f) = [0,+\infty]$ .

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.

Función Biyectiva

Diremos que la función $f : A \longrightarrow B$ es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplos

Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva

Si consideramos la función $f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x) = \ln(x)$ ,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un solo punto y además, sí es sobreyectiva ya que $Rgo(f) = \mathbb{R}$ , por lo tanto, concluimos que esta función sí es biyectiva.

Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Si consideramos la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como

A partir del valor absoluto involucrado en la función, debemos notar que esta función está definida de la siguiente forma:

Si $x>0$ entonces $f(x) = \frac{x}{x} = 1$ .
Si $x<0$ entonces $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$ .
Si $x=0$ entonces $f(x) = 0$ .

Esta función no es inyectiva, pues si consideramos dos elementos mayores que cero, digamos, $5$ y $7$ , sus imágenes son iguales pues $f(5)=1$ y $f(7)=1$ . Además, esta función no es sobreyectiva, pues el conjunto de llegada es igual a $\mathbb{R}$ y su rango es igual a $\{ -1,0,1 \}$ .

Por lo tanto, concluimos que esta función no es biyectiva.

Esto se puede apreciar gráficamente:

Composición de Funciones y Dominio de Funciones Compuestas

02.01.202007.11.2024 Anthonny Arias-García13 comentarios

Una vez que hemos definido las funciones elementales, podemos aplicar entre ellas, las operaciones básicas para definir nuevas funciones, esto es, suma, resta, multiplicación y división entre funciones. Sin embargo, es posible definir funciones sin recurrir a las operaciones básicas.

Veremos en esta sección, que podemos meter a una función dentro de otra para definir una nueva función, sin embargo, debemos ser cuidadosos pues el dominio y el rango de las funciones involucradas deben cumplir con ciertas condiciones.

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Composición de Funciones

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos $g : A \longrightarrow B$ y $f: C \longrightarrow D$ dos funciones, donde $B \cap C \neq \emptyset$ . Definimos la composición de $g$ con $f$ como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento $a \in A$ un único elemento $c \in C$ , la denotamos como $f \circ g : A \longrightarrow D$ y la definimos de la siguiente forma:

$\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.