Indeterminación cero entre cero 0/0 (2 de 2)

16.01.202021.04.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Expresiones radicales

Consideremos ahora la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ y supongamos que queremos calcular su límite cuando $x$ tiende a $1$ , entonces

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{\sqrt{1}-1}{1-1} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$

Nuevamente encontramos la indeterminación $\frac{0}{0}$ , por lo tanto debemos desarrollar un método tomando en cuenta algunas ideas previas: Si $a$ y $b$ son dos números reales, el conjugado de la suma $(a+b)$ está definido como $(a-b)$ . De igual forma, el conjugado de la resta $(a-b)$ está definido como $(a+b)$ . Es decir, se cambia el signo que se encuentra entre ellos dos. Considerando esto, siempre se cumple la siguiente igualdad:

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Esta igualdad se conoce como la diferencia de cuadrados y es fácil de verificar aplicando la propiedad distributiva, pues si multiplicamos la suma de dos números por su conjugado, tenemos que

$(a+b)(a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$

De forma particular, si consideramos la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ , ésta se mantendrá igual si la multiplicamos por el número $1$ , entonces si consideramos el límite que queremos calcular, se mantiene la siguiente igualdad

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot 1$

A su vez, sabemos que el número $1$ se puede expresar como un número distinto de cero dividido por él mismo. Así, si consideramos el conjugado de la expresión que está en el numerador, $\sqrt{x}+1$ , entonces $1=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$ y al sustituir $1$ en el límite obtenemos que

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot 1 = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$

Notamos entonces que si multiplicamos los numeradores de ambos cocientes, obtenemos una diferencia de cuadrados que posteriormente podemos simplificar

$= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x})^2-(1)^2}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{1}{2}$

Consideremos más ejemplos en los que nos encontramos con la indeterminación $\frac{0}{0}$ al calcular el límite de funciones expresadas como un cociente entre polinomios y veamos como abordarla.

Ejemplo 1

Considere la función $f(x) = \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $4$

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{4-4}{\sqrt{4}-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$

Este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Entonces, multiplicamos y dividimos la función $f(x)$ por el conjugado de $\sqrt{x}-2$ para obtener

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$

Notamos entonces que si multiplicamos los denominadores de ambos cocientes, obtenemos una diferencia de cuadrados que posteriormente podemos simplificar

$= \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x})^2-(2)^2} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 4} \sqrt{x}+2 = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Considere la función $f(x) = \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $6$

$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6} = \frac{\sqrt{6+10}-4}{6-6} = \frac{\sqrt{16}-4}{6-6} = \frac{4-4}{6-6} = \frac{0}{0}$

$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6} \cdot \frac{\sqrt{x+10}+4}{\sqrt{x+10}+4}$

Notamos entonces que si multiplicamos los denominadores de ambos cocientes, obtenemos una diferencia de cuadrados

$= \lim_{x \to 6} \frac{(\sqrt{x+10})^2-(4)^2}{(x-1)(\sqrt{x+10}+4)}$

Hacemos la operación en el numerador y posteriormente simplificamos,

$\lim_{x \to 6} \frac{(x+10)-16}{(x-6)(\sqrt{x+10}+4)} = \lim_{x \to 6} \frac{x-6}{(x-6)(\sqrt{x+10}+4)}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x+10}+4} = \frac{1}{\sqrt{6+10}+4} = \frac{1}{\sqrt{16}+4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6} = \frac{1}{8}$

Ejemplo 3

Considere la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $9$ .

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5} = \frac{\sqrt{9}-3}{\sqrt{9+16}-5} = \frac{3-3}{\sqrt{25}-5} = \frac{3-3}{5-5} = \frac{0}{0}$

Este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notamos que hay expresiones con radicales en el numerador y en el denominador. Entonces, multiplicamos y dividimos la función $f(x)$ por el conjugado de ambas expresiones radicales para obtener

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5} \cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} \cdot \frac{\sqrt{x+16}+5}{\sqrt{x+16}+5}$

Multiplicamos entonces los factores con sus conjugados correspondientes correspondientes

Generamos entonces diferencias de cuadrados en el numerador y en el denominador; y simplificamos de la siguiente manera

$\lim_{x \to 9} \frac{\big( (\sqrt{x})^2-(3)^2 \big) (\sqrt{x+16}+5)}{\big( (\sqrt{x+16})^2-(5)^2 \big) (\sqrt{x}+3)} = \lim_{x \to 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x+16}+5)}{\big( (x+16)-25 \big) (\sqrt{x}+3)}$

Hacemos la operación en el denominador y posteriormente simplificamos,

$\lim_{x \to 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x+16}+5)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} = \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x+16}+5)}{(\sqrt{x}+3)}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x+16}+5)}{(\sqrt{x}+3)} = \frac{(\sqrt{9+16}+5)}{(\sqrt{9}+3)} = \frac{(\sqrt{25}+5)}{(\sqrt{9}+3)} = \frac{5+5}{3+3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5} = \frac{5}{3}$

Ejemplo 4

Considere la función $f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $1$ .

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{1}-1}{1-1} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$

Este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo.En este caso, debemos notar inmediatamente que el radical involucrado no es una raíz cuadrada, si no una raíz cúbica.

No podemos usar el mismo factor que usamos en los métodos anteriores. Consideramos entonces una expresión equivalente al conjugado pero que en esta ocasión nos generará una diferencia de cubos.

Entonces, si $a$ y $b$ son dos números reales, siempre se cumple la siguiente igualdad:

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Y en general, también se cumplirá la siguiente desigualdad:

Considerando entonces la función $f(x)$ , multiplicamos y dividimos por $\big( \sqrt[3]{x})^2 + (\sqrt[3]{x})\cdot (1) + (1)^2 \big)$ para obtener

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + (\sqrt[3]{x})\cdot (1) + (1)^2}{ (\sqrt[3]{x})^2 + (\sqrt[3]{x})\cdot (1) + (1)^2}$

Multiplicamos los numeradores de ambos cocientes

Obtenemos una diferencia de cubos

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x})^3-(1)^3}{(x-1) \big( (\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1 \big)}$

Y simplificamos,

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1) \big( (\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1 \big)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1} = \frac{1}{(\sqrt[3]{1})^2 + \sqrt[3]{1} + 1} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \frac{1}{3}$

Indeterminación cero entre cero 0/0 (1 de 2)

14.01.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Cociente de Polinomios

En ocasiones, podemos encontrar funciones para las cuales no podemos determinar el límite simplemente sustituyendo el valor de $x$ dado, por ejemplo, si consideremos la función $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x+2}$ , notando que no está definida en $-2$ , si queremos calcular el límite cuando $x$ tiende a $-2$ , tenemos que

$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x+2} = \dfrac{(-2)^2 + 5(-2) + 6}{-2+2} = \dfrac{4 - 10 + 6}{-2+2} = \dfrac{0}{0}$

El resultado obtenido al evaluar la función en $-2$ es $\frac{0}{0}$ pero esta operación no está definida. Esto no quiere decir que el límite no existe, simplemente no lo hemos podido determinar sustituyendo por lo que decimos que el límite está indeterminado pues recordemos que al calcular el límite de ésta función, estamos considerando los valores de $x$ muy cercanos a $-2$ (no iguales a $-2$ ).

La expresión $\frac{0}{0}$ se conoce como una indeterminación y nuestro propósito será el de hallar la forma de determinar el verdadero valor del límite, a esto algunos autores le llaman romper la indeterminación. Veremos que para distintos tipos de funciones, existen distintas técnicas que se basan en el resultado que veremos a continuación.

Si $g(x)$ es una función igual a $f(x)$ en todo su dominio excepto en $x_0$ , incluso, si $g(x)$ se puede obtener manipulando algebraicamente la expresión que define a $f(x)$ , entonces concluimos que

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x)$

Sabiendo esto, podemos determinar el límite de $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x+2}$ cuando $x$ tiende a $-2$ notando que ésta está expresada como la división entre dos polinomios. Considerando que la expresión $x^2 + 5x + 6$ se puede factorizar de la siguiente manera:

$\lim_{x \to -2} \dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2}$

Notamos entonces que $(x+2)$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to -2} (x+3)$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to -2} (x+3) = -2+3 = 1$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x+2} = 1$

Consideremos más ejemplos en los que nos encontramos con la indeterminación $\frac{0}{0}$ al calcular el límite de funciones expresadas como un cociente entre polinomios y veamos como abordarla.

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{2x^2 - 7x}{5x}$ cuando $x$ tiende a $0$ .

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 7x}{5x} = \frac{2(0)^2 - 7(0)}{5(0)} = \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$

Este límite está indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$ , así que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notemos entonces que $x$ es un factor común en en el numerador, por lo tanto podemos factorizar $2x^2 - 7x$ de la siguiente manera:

$\lim_{x \to 0} \frac{x(x - 7)}{5x}$

Notamos entonces que $x$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 7}{5}$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 7}{5} = \frac{2(0) - 7}{5} = -\frac{7}{5}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 7x}{5x} = -\frac{7}{5}$

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{x^3+4x^2-x-4}{x-1}$ cuando $x$ tiende a $1$ .

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+4x^2-x-4}{x-1} = \frac{(1)^3 + 4(1)^2 - (1) - 4)}{1-1} = \frac{1 +4 -1-4}{0} = \frac{0}{0}$

Este límite está indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$ , así que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notamos de forma inmediata que $x=1$ es una raíz de la expresión $x^3+4x^2-x-4$ , así que podemos aplicar el Método de Ruffini para factorizarla de la siguiente manera:

Los coeficientes obtenidos son los coeficientes de un polinomio de segundo grado, por lo que el límite quedará expresado así

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 +5x + 4)}{x-1}$

Notamos entonces que $x-1$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to 1} x^2 +5x + 4$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to 1} x^2 +5x + 4 = (1)^2 +5(1) + 4 = 1 +5 + 4 = 10$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+4x^2-x-4}{x-1} = 10$

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{4x^3+4x^2-136x+224}{x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14}$ cuando $x$ tiende a $-7$ .

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^3+4x^2-136x+224}{x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14}$
$= \frac{4(-7)^3+4(-7)^2-136(-7)+224}{(-7)^4 + 3(-7)^3 -23(-7)^2 +33(-7)-14}$
$= \frac{-1372+196+952+224}{2401 -1029 -1127 -231-14}$
$= \frac{0}{0}$

Este límite está indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$ , así que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notamos de forma inmediata que $x=-7$ es una raíz de las expresiones $4x^3+4x^2-136x+224$ y $x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14$ , así que podemos aplicar el Método de Ruffini para factorizarlas de la siguiente manera:

Los coeficientes obtenidos son los coeficientes de un polinomio de segundo grado y otro de tercer grado, respectivamente, por lo que el límite quedará expresado así

$\lim_{x \to -7} \frac{(x+7)(4x^2 -24x + 32)}{(x+7)(x^3 -4x^2+5x+2)}$

Notamos entonces que $x+7$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, por lo tanto, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^2 -24x + 32}{x^3 -4x^2+5+2}$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^2 -24x + 32}{x^3 -4x^2+5x+2} = \frac{4(-7)^2 -24(-7) + 32}{(-7)^3 -4(-7)^2+5x+2} = -\frac{396}{527}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^3+4x^2-136x+224}{x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14} = -\frac{396}{527}$

Límites

13.01.202010.12.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Al definir las funciones elementales, pudimos hacer un estudio general de ellas en todo su dominio cuando vimos sus gráficas. Haremos ahora un estudio local de éstas, y para esto las estudiaremos en intervalos «muy pequeños».

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El límite de la función cuadrática cuando x tiende a 2

Para entender esta idea, consideremos las función $f(x)=x^2$ , consideremos el intervalo $(1,3)$ que está centrado en $x_0=2$ , notamos que el conjunto de las imágenes en este intervalo quedan encerradas en el intervalo $(1,9)$ .

Si consideramos un intervalo contenido en el intervalo $(1,3)$ y centrado en $x=2$ , veremos que las imágenes de este nuevo intervalo estarán también contenidas en el intervalo $(1,9)$ . Podemos hacer este mismo procedimiento reiteradas veces encajando intervalos de la siguiente manera:

Entonces, podemos pensar en lo siguiente: Si en el Eje X estamos encerrando a $2$ , ¿a quién estamos encerrando en el Eje Y? Intuitivamente, podemos pensar que estamos encerrando a $4$ pues $2^2 = 4$ y efectivamente es así. Haciendo este estudio de la función, podemos formalizarlo como el límite de la función $x^2$ cuando $x$ tiende a $2$ es igual a 4 y se representa así

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

Definición de Límite

De forma general, considerando una función $f(x)$ , diremos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ es igual a un número L es el estudio del comportamiento de $f(x)$ para valores de $x$ muy cercanos a $x_0$ (cercanos, no iguales), concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de $x$ están muy cercanos a $L$ . Formalmente se representa así

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = L$

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que si
$0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

También podemos decir que $f(x)$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a $x_0$ . Nuestro propósito será el de determinar los valores a los que tiende la función y esto es tan sencillo como evaluar la función en el punto dado.

Para facilitar el cálculo de límites es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre funciones, podremos separarlas de la siguiente manera: Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites son $L$ y $M$ de forma respectiva cuando $x$ tiende a $x_0$ ; y $a$ es un número real, entonces

$\lim_{x \to x_0} a = a$
$\lim_{x \to x_0} a \cdot f(x) = a \cdot L$
$\lim_{x \to x_0} ( f(x) \pm g(x) ) = L \pm M$
$\lim_{x \to x_0} ( f(x) \cdot g(x) ) = L \cdot M$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M} \text{ si } g(x) \neq, M \neq 0$

veamos algunos ejemplos sobre como determinar los límites en algunas funciones elementales para entender con mayor claridad esta idea.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función $f(x)=x+3$ cuando $x$ tiende a $4$ .

$\lim_{x \to 4} x+3 = 4 + 3 = 7$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $4$ , las imágenes de la función $f(x)=x+3$ se acercan a $7$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función $f(x)=\sqrt{x+7}-4$ cuando $x$ tiende a $-3$ .

$\lim_{x \to -3} \sqrt{x+7}-4 = \sqrt{-3+7}-4 = \sqrt{4}-4 = 2-4 =-2$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $-3$ , las imágenes de la función $f(x)=\sqrt{x+7}-4$ se acercan a $-2$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{1}{x-2}+1$ cuando $x$ tiende a $5$ .

$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-2}+1 = \frac{1}{5-2}+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $5$ , las imágenes de la función $f(x)=\frac{1}{x-2}+1$ se acercan a $\frac{4}{3}$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 4

También hay funciones cuya gráfica no conocemos pero de las que podemos calcular su límite, usando la misma técnica. Calcule el límite de la función $f(x)=\text{\large e}^{x^2 - 1} + x$ cuando $x$ tiende a $1$ .

$\lim_{x \to 1} \text{\large e}^{x^2 - 1} + x = \text{\large e}^{1^2 - 1} + 1 = \text{\large e}^{1 - 1} + 1 = \text{\large e}^{0} + 1 = 1 +1 = 2$

Ejemplo 5

Calcule el límite de la función $f(x)= x^2 + 5x + 6$ cuando $x$ tiende a $-2$ .

$\lim_{x \to -2} x^2 + 5x + 6 = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$

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