Memes Matemáticos – Enero 2021

03.02.202112.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. El mes de Enero del año 2020 duró aproximadamente 75 días, pero el mes de Enero del año 2021 duró alrededor de dos semanas y de este breve mes, traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos.

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¿Pi es igual a 4?

Las demostraciones matemáticas son rigurosas y no admiten ambigüedades, sin embargo, en ocasiones podemos toparnos con un argumento que pareciera ser tan lógico como para constituir una demostración, pues como decía mi profesor de Geometría Métrica Plana: «un dibujo no es una demostración». En esta ocasión, el usuario u/Mercurial_Rhombus presenta un secuencia de pasos que pareciera indicar que la longitud de arco de un cuadrado es igual a longitud de arco de una circunferencia. En la imagen se puede leer:

Dibuje un círculo de diámetro 1.
Dibuje un cuadrado circunscrito, este tendrá perímetro igual a 4.
Remueva las esquinas del cuadrado. El perímetro seguirá siendo 4.
Remueva más esquinas. El perímetro seguirá siendo 4.
Repita hasta el infinito.
$\pi = 4$ .

¿Algún problema, Arquímedes?

Tomando en cuenta que $\pi$ está definido como la división del perímetro del triángulo entre la longitud del arco que define la circunferencia, esta persona concluye que $\pi = 4$ . Esta pseudo demostración generó una discusión en reddit pues no pareciera haber falla en esta lógica. Sin embargo, la realidad es que el cálculo infinitesimal no se debe tomar tan a la ligera.

Si bien, el área de la figura que se está generando se asemeja el área de la circunferencia, no ocurre lo mismo con la longitud de arco, pues el área de la figura generada siempre será una especie de sierra y cuando sumamos la longitud de estos pequeños segmentos (así sea una suma infinita de longitudes infinitamente pequeñas), el área será igual a 4. Sin embargo, una circunferencia no tiene estas sierras, pues es una figura totalmente suave por lo tanto, esta estimación presenta una holgura muy amplia.

Vectores normales

Cuando consideramos vectores en el espacio cartesiano, siempre será interesante estudiar su posición respecto a otros objetos en el espacio. Resulta de particular interés estudiar su perpendicularidad respecto a otros objetos, en este caso se habla de vectores normales. Esto es lo que expone el usuario u/vreawillsaveyou, en la imagen se puede leer

Cuando tu amigo te pregunta como luce un vector normal de un plano.

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«El título también»

Leer un libro de matemáticas puede resultar abrumador por la cantidad de demostraciones que en ellos se presentan, es por esto que los autores siempre ahorrarán tiempo y espacio, enunciando demostraciones como «esto es trivial», «es obvio» o la menos favorita «la demostración se deja como ejercicio para lector» (esto ocurre con las que no son obvias ni triviales). Esto es lo que expone el usuario u/BlacInTime19, donde podemos leer

El meme se deja como un ejercicio para el lector.

Tres reglas

La recta real es una de las figuras geométricas básicas que nos permite estudiar de forma visual las interacciones entre los números reales, y posteriormente, el plano cartesiano y el espacio cartesiano nos facilitan el estudio de funciones con una y dos variables. Sin embargo, a medida que agregamos variables, debemos recurrir a espacios n-dimensionales y es aquí donde empieza a fallar nuestra imaginación, pues nuestro cerebro está adaptado sólo a reconocer visualmente espacios tridimensionales. Esto es lo que expone el usuario u/slaf42, en la imagen se puede leer:

Primer panel:

3 reglas:

No desear la muerte
No enamoramientos
No traer muertos a la vida

Segundo Panel:

Persona: «Quisiera poder visualizar espacios n-dimensionales para $n >3$ «.

Genio (con molestia): «Hay 4 reglas».

r/mathmemes - Studying manifolds got me like...

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-1/12

La Hipótesis de Riemann ha generado mucha discusión en la comunidad matemática, pero también ha generado mucha confusión entre aquellos que están aprendiendo. Básicamente, se ha definido la Función Zeta de Riemann para números complejos con parte real mayor que uno, de la siguiente forma:

$\xi (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

El problema que se plantea es el de calcular las raíces de esta función, es decir, los valores para los cuales $\xi (s) = 0$ . Al considerar esta función, notemos que el caso que $s=-1$ , esta función se puede reescribir como la sumatoria

$\sum_{n=1}^{\infty} n$

Sin embargo, al considerar la función como regla de correspondencia (no como la suma de todos los números naturales) a través de método de convergencia, esta corresponde a $s=-1$ con $-\frac{1}{12}$ . Esta confusión para los nuevos estudiantes de matemáticas es la que expone el usuario u/5UJAN, pues podemos ver en la siguiente imagen que

La operación en el pizarrón es igual a $-\frac{1}{12}$ , pero la persona que está al frente del pizarrón no sabe la respuesta así que voltea a ver si alguno de sus compañeros le puede ayudar.

Uno de sus compañeros le muestra la sumatoria $\sum_{n=1}^{\infty} n$ , así que la persona que está frente al pizarrón responde con $\infty$ .

La distancia entre dos puntos

Calcular la distancia entre dos puntos es una herramienta potente que se puede generalizar para espacios n-dimensionales, sin embargo, al observar dos puntos la distancia entre ellos dos puede saltar a la vista, así que usar la fórmula para calcular la distancia es como matar una mosca con un cañón. Esto es lo que expone el usuario u/defntlynot_clp-e46, en la imagen se puede leer

Usar la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre $(2,0,0)$ y $(-3,0,0)$ .

En el mismo orden de ideas, este formato de meme se usa para señalar qué es lo que ocurre cuando calculamos la solución de la ecuación cuadrática $x^2 - 1$ usando la Fórmula Cuadrática. En la imagen se puede leer:

Yo, usando $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para calcular las raíces de $x^2 -1 = 0$ .

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+C

Uno de los memes más repetidos en las matemáticas, es el que nos recuerda que debemos sumar $C$ después de calcular la integrales, esto se debe a que al calcular la integral de una función, estamos calculando toda la familia de antiderivadas, pero muchos estudiantes olvidan ese elemento después de hacer extensos cálculos. Esto es lo que expone un usuario de Facebook.

May be a meme of ‎text that says '‎Cuando no se te olvido el +C en tu examen de cálculo integral Pero se te olvida el nombre Q8 GDر‎'‎

Ese engreído de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece una relación en entre los lados de un triángulo rectángulo, precisamente entre los catetos y la hipotenusa de este. Es por eso que al pensar en Pitágoras, es inevitable pensar en triángulos rectángulos. Esto es lo que exponen los hermanos Jenkins en la siguiente viñeta, donde se puede leer:

«Agh, ahí va ese tal Pitágoras»

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Físicas

Observar experimentos de físicas es muy divertido y sin duda alguna, genera atracción sobre el estudio de la física. Sin embargo, estudiar física requiere de estudios matemáticos avanzados. Esto es lo que se expone en este meme de Facebook.

May be a meme of dog and text that says 'physics math some cool theoryyou don't understand Gaoier @ math math'

La función inversa

Al estudiar las funciones, resulta de interés estudiar la composición de funciones y de forma aún más particular, el estudio de las funciones inversas. Este meme ilustra la composición de funciones de la mejor forma posible.

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Receta: Almojábanas

31.01.202101.10.2021 Anthonny Arias-García2 comentarios

Las almojábanas son una especie de panecillo de queso hecho con base de almidón de yuca. En algunas regiones se conocen variedades de estas, conocidas como Pan de Bono (Colombia) o Chipa (Paraguay), esta receta es sencilla de hacer, si te gustan los bocados más salados que dulces, la textura y el aroma de las almojábanas te encantará.

Ingredientes

1 taza de leche líquida.
1/2 taza de aceite.
250gr. de Almidón de Yuca.
2 Huevos.
1 pizca de sal.
1 taza de Queso Ahumado Rallado.

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Preparación

Se vierte la leche líquida en una olla y posteriormente se vierte el aceite.

Se mezcla y se pone en la estufa con llama alta, batiendo con suavidad de forma constante para evitar que la leche se pegue en el fondo de la olla.

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Previamente (o paralelamente, dependiendo de sus multifuncionalidad) se vierte el almidón de yuca en un tazón. De esta forma, una vez que la leche haya alcanzado el punto de ebullición, se vierte en el tazón con almidón de yuca y se mezcla.

Una vez que la leche y el almidón se hayan mezclado bien, se vierten los dos huevos junto con la pizca de sal y se mezcla, una vez que esté todo bien incorporado, se vierte el queso ahumado y se vuelve a mezclar.

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La mezcla, que tendrá una textura espesa, se porciona en pequeñas cantidades y se disponen en una bandeja para posteriormente hornearlas. Puede ser una bandeja plana, pero en mi caso, me gusta usar un molde para ponqués.

Se hornean a 200°C por alrededor de 20 minutos (cada horno es diferente), en mi caso particular, los últimos 3 minutos enciendo el gratinador para que queden tostaditas por encima.

Finalmente, se sacan del horno y se dejan refrescar un poco.

Operaciones entre polinomios

16.01.202112.04.2026 Anthonny Arias-García2 comentarios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

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Suma y Resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de $x$ como factor, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , donde el grado de $P(x)$ es mayor que el grado de $Q(x)$ , es decir, $m \geq n$ ; definimos la suma $P(x)+Q(x)$ de la siguiente forma:

De igual forma, definimos la resta $P(x)-Q(x)$ de la siguiente forma:

Notando que si el grado de $P(x)$ es estrictamente mayor que el grado de $Q(x)$ , entonces completamos el polinomio $Q(x)$ con coeficientes ceros, es decir, $b_i = 0$ para todo $i > n$ .

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = 7x + 1$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3$ .

Ejemplo 2

Considerando los polinomios $P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12$ y $Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15$ .

Ejemplo 3

Considerando los polinomios $P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4$ y $Q(x) = 2x + 3$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7$ .

Ejemplo 4

Considerando los polinomios $P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5$ y $Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5$ .

Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

Producto o Multiplicación de Polinomios | totumat.com

Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}$

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios $P(x) = 4 x + 3$ y $Q(x) = - 10 x - 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 40 x^{2} - 46 x - 12$

Ejemplo 6

Considerando los polinomios $P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$ y $Q(x) = x^{2} + 5 x + 6$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12$

Ejemplo 7

Considerando los polinomios $P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ y $Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42$

Ejemplo 9

Considerando los polinomios $P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2$ y $Q(x) = 9 x^{2} - x + 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8$

División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando $p$ y $q$ dos números enteros, al dividir $p$ entre $q$ , buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ el resultado sea exactamente $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ , el resultado sea mayor de los enteros menores que $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q + r$

Donde $0 < r < a$ . Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número $r$ lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como $r = p - c \cdot q$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $r=0$ . Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos $8$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $8$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 4 = 8$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $8 - 8 = 0$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que $8 = 2 \cdot 4 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos $13$ entre $5$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $5$ el resultado sea o que está cerca de $13$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 5 = 10$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $13 - 10 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos $21$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $5$ pues $5 \cdot 4 = 20$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 20 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 5 \cdot 4 + 1$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos $21$ entre $7$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $7$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $3$ pues $3 \cdot 7 = 21$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 21 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 3 \cdot 7 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios tales que el grado de $Q(x)$ es menor o igual que el grado de $P(x)$ , al dividir $P(x)$ entre $Q(x)$ , buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el resultado sea exactamente $P(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x)$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el polinomio resultante tenga el mismo grado que $P(x)$ y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de $Q(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Donde $gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right)$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $R(x) = 0$ . Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ entre el polinomio $Q(x) = x + 1$ , entonces los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = x + 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = x + 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3$

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ entre el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ , entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $4x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio $-10x^2 + 4x$ .

En este caso el polinomio que estamos buscando es $-5$ y lo multiplicamos por el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ ; el resultado se lo restamos al polinomio $-10x^2 + 4x$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7$

Memes Matemáticos – Diciembre 2020

04.01.202112.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. Llegamos (con vida) al final del infame año 2020 y traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos de Diciembre 2020.

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¿Por qué los matemáticos fallan las pruebas de Coeficiente Intelectual?

Hay situaciones que tienen una solución simple, pero algunas personas sobre dimensionan los problemas. Este es el caso de esta sencilla secuencia numérica, tal como lo expone el usuario u/MostCharmingChicken. En la imagen se puede leer:

Descanso de matemáticas!
1,3,5,7,…
¿Qué número sigue?

217341, porque si
$f(x)=\frac{18111}{2} x^4 - 90555 x^3$
$+ \frac{633885}{2} x^2 - 452773x + 217331$
entonces:

$f(1)=1$
$f(2)=3$
$f(3)=5$
$f(4)=7$
$f(5)=217341$

+C

Uno de los memes más repetidos en las matemáticas, es el que nos recuerda que debemos sumar $C$ después de calcular la integrales, esto se debe a que al calcular la integral de una función, estamos calculando toda la familia de antiderivadas. El usuario u/SalazarRED, nos trae este meme (de antaño, memísticamente hablando).

$\int aspiri \ dn = aspirin + C$

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Nadie puede escribir ξ

Si bien muchos de nosotros sufrimos durante los estudios de educación primaria para que nuestra escritura fuera más que garabatos con tediosas lecciones de caligrafía, pocos son los que en el ámbito de las matemáticas, logran escribir de una forma agradable a la vista, la letra ξ (Xi) del alfabeto griego.

Nueva contraseña
Sgdk178&_2oS
débil

Nueva contraseña
ξ
Fuerte

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Si bien es cierto que ninguna opinión es inválida y todos tienen derecho a expresarse, hay cosas que dice la gente que no tiene sentido alguno. Esto es lo que expone el usuario u/FaGa_44. En la imagen se puede leer

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La calculadora de los teléfonos

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El cero no es un número natural

Si desean generar una discusión aireada cuando estén hablando con un grupo de matemáticos, pregunten si el cero es un número natural. Si bien, considerar el cero como un número natural puede facilitar con grandiosidad las demostraciones matemáticas, este usualmente no se considera como natural por la forma en que está definido. Esto es lo que expone el usuario u/12_Semitones, asociando esta situación a una escena icónica del universo de Star Wars. En la imagen se puede leer:

Primer Panel

$\mathbb{N}$

Tú estás en el Concejo de los Enteros, pero no de podemos otorgar el título de Número Natural.

Segundo Panel

$0$

¿Qué? ¡Esto es indignante! ¡No es justo!

El principal argumento que se usa para excluir al cero de los números naturales es que los números naturales se usan para contar, y el cero no denota ninguna cantidad. El usuario u/12_Semitones, también hace referencia a esta discusión. En la imagen se puede leer:

En la izquierda de la imagen

En la derecha de la imagen

Una persona diciendo que cero no es un número porque es la ausencia de una cantidad no es una cantidad.

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Integrar por Partes

Al calcular la integral de una función, uno de los métodos más potentes es el Método de Integración por Partes y en muchas ocasiones ocurre que al aplicar el método, la integral resultante también requiere que se aplique nuevamente el método. Esto es lo que expone el usuario u/Focal-Point1.

Primer Panel

Yo (Moe) integrando por partes (botando a Barney del bar.)

Segundo Panel

Yo (sacudiéndome las manos)

Tercer Panel

Otro método de integración por partes (Barney otra vez en el bar)

¿Convertir a pi en un racional?

Dividir cualquier número real distinto de cero entre él mismo, da el número uno como resultado. Esto es lo que expone el usuario u/sewingshark. En la imagen se puede leer:

$\frac{\pi}{\pi}$

$\pi$ : me estás pidiendo que sea racional.

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La derivada de la función exponencial

Al definir las reglas para calcular derivadas, podemos notar que la derivada de la función exponencial $\textit{\large e}^x$ es exactamente ella misma. Sin embargo, al calcular derivadas parciales, la situación puede cambiar pues dependiendo de la variable, esta derivada puede ser igual a cero. Esto es lo que exponen los usuarios u/12_Semitones y u/TheXray02, respectivamente.

Llegamos al 2021… ¿Qué puede salir mal?

Hay un dicho que no me gusta porque tiende a desalentar a los estudiantes de matemáticas infundiendo temor sobre el cálculo de integrales, pero lo citaré para presentar el contexto de este meme, dice así: «deriva el que sabe, integra el que puede». Si bien es mero prejuicio contra las hermosas integrales, este meme que presenta el usuario u/12_Semitones lo resume todo pues nos muestra como cambiar ligeramente la función que estamos integrando, puede complicar nuestros cálculos.

¿Crees que se nos escapó un meme? ¡Comparte tu mejor meme en los comentarios!

Funciones Cuadráticas

02.01.202107.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

$f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0$

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

$f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0$

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ .

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma $\cup$ ; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma $\cap$ .

Considerando la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ , diremos que $a$ es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

Si $a > 0$ entonces la función cuadrática es convexa.
Si $a < 0$ entonces la función cuadrática es cóncava.

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Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) > f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) < f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática $f(x)=x^2$ se encuentra en el punto $(0,0)$ .

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión $(px + q)^2 + r$ traslada a la función $x^2$ en $-\frac{q}{p}$ unidades en el Eje X y en $r$ unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto $\left( -\frac{q}{p} , r \right)$ .

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por $V_x$ , entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

$a = p^2$

$b = 2pq$

$V_x = -\frac{q}{p}$

A partir de la segunda ecuación podemos despejar $q$ para obtener que $q=\frac{b}{2p}$ y sustituyendo este valor de $q$ en la tercera ecuación, tenemos que

$V_x \ = \ -\frac{q}{p}$

$\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}$

$\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}$

Entonces, considerando esta última igualdad y que $a = p^2$ , concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ en $V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$ .

$f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c$

$\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c$

$\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

$x = V_x$

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto $x=0$ , es decir, calcular la imagen $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c$ .

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$ , es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ . Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

Si $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces existen dos puntos de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces existe sólo un punto de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de $x$ que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

$\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$