Categoría: Funciones en Varias Variables

Optimización con restricciones – Multiplicadores de Lagrange

Anthonny Arias-García4 comentarios
  1. Método de los Multiplicadores de Lagrange
    1. Ejemplo

En el estudio de máximos y mínimos de funciones en varias variables, comúnmente se encuentran restricciones sobre las variables involucradas, por ejemplo, al considerar una función de costos conjuntos de una empresa que produce dos artículos A y B tal que la cantidad total de unidades producidas debe ser igual a 200, en este caso tendríamos que

x+y=200

suponiendo que x es la cantidad de unidades producidas del artículo A y y la cantidad de unidades producidas del artículo B.

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Método de los Multiplicadores de Lagrange

Al encontrar restricciones sobre las variables, debemos ser cautelosos en el cálculo de los extremos relativos ya que debemos tomar consideraciones adicionales. Debemos entonces establecer un nuevo método que nos permita calcular estos extremos relativos. De esta forma definimos el Método de los Multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

Sea f(x,y) una función en varias variables y sea g(x,y)=0 una restricción sobre estas variables. Para calcular los puntos críticos de esta función. consideramos una variable auxiliar \lambda y definimos una función auxiliar F como sigue

F(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda \cdot g(x,y)

Nuestro propósito será el de calcular los puntos críticos de esta función auxiliar F, pues si (x_0,y_0,\lambda_0) es un punto crítico de F, entonces (x_0,y_0) es punto crítico de f sujeta a la restricción indicada. Para esto debemos calcular la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Finalmente, evaluamos la función f(x,y) en los puntos que satisfacen el sistema de ecuaciones y a partir de los valores resultantes concluimos lo siguiente:

Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de funciones con restricción sobre sus variables.

Ejemplo

Sea f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 + 80 una función, cuyas variables están restringidas a x+y=30. Determine los extremos relativos de esta función considerando la restricción indicada.

Para empezar, debemos reescribir la restricción como una función g(x,y) de la siguiente forma g(x,y)=x+y-30=0

Obteniendo la función g(x,y), definimos nuestra función auxiliar F(x,y,\lambda) como

F(x,y,\lambda)

\; = \; f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)

\; = \; 3x^2 + 2y^2 + 80-\lambda \cdot (x+y-30)

Y planteamos el sistema de ecuaciones siguiente para calcular los puntos críticos de esta función:

Sustituimos x = \dfrac{\lambda}{6} y y = \dfrac{\lambda}{4} en la última ecuación para hallar el valor de \lambda

x+y = 30

\Rightarrow \; \dfrac{\lambda}{6} + \dfrac{\lambda}{4} = 30

\Rightarrow \; \dfrac{10}{24} \lambda = 30

\Rightarrow \; \lambda = 30 \dfrac{24}{10}

\Rightarrow \; \lambda = 72

Ahora sustituimos \lambda = 72 en x = \frac{\lambda}{6} y y = \frac{\lambda}{4}:

Concluimos entonces que el punto (12,18,72) es el punto crítico de la función F(x,y,\lambda) y en consecuencia, el punto (12,18) es un punto crítico de la función f(x,y) cuando las variables x y y están restringidas a x+y=30. Calculamos ahora las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir D(x,y).

f_x(x,y) = 6x \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 6

f_y(x,y) = 4y \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 4

f_{xy}(x,y) = 0

D(x,y)= f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24

Finalmente, como D(12,18) = 24 > 0 y f_{xx}(12,18) = 6 > 0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (12,18).

Optimización (en varias variables)

Anthonny Arias-García3 comentarios

Al estudiar funciones de una sola variable pudimos determinar los puntos en los cuales estas alcanzaban sus extremos locales, y también podremos encontrar extremos locales para funciones de varias variables generalizando el método que usamos para una variable tomando en cuenta que ya no trabajaremos con intervalos si no con regiones muy particulares en el plano XY.

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Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \leq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por debajo de la imagen de (x_0,y_0).

Diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \geq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por encima de la imagen de (x_0,y_0).

Los máximos y mínimos de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la primera derivada parcial de la función. En estos puntos, las rectas tangentes a la curvas que se definen al fijar las variables son horizontales, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que las derivadas parciales se anulan al mismo tiempo (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que (x_0,y_0) es un punto crítico de f(x,y) si

Optimización (en varias variables) | totumat.com

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta que son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa.

Para determinar si un punto crítico (x_0,y_0) es un máximo o mínimo relativo debemos calcular las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir una función auxiliar D(x,y) de la siguiente forma

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2

en todos los puntos cercanos al punto (x_0,y_0) y posteriormente considerar los siguientes criterios:

  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}<0, entonces f alcanza un máximo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}>0, entonces f alcanza un mínimo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)<0, entonces f alcanza un punto de silla en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)=0, no hay información suficiente para concluir el comportamiento de f en el punto (x_0,y_0).

A este criterio lo llamamos Criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=3x^2+5y^2-12x-30y+200, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0

6x - 12 = 0

10y - 30 = 0

x = 2

y = 3

Así el punto crítico de esta función es (2,3). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=6, \, f_{yy}(x,y)=10, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 10 - 0 = 60

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) = 60

Finalmente, como D(2,3)>0 y f_{xx}(2,3)>0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).

Ejemplo 2

Sea f(x,y)=y^2-x^2, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0

-2x = 0

2y = 0

x = 0

y = 0

Así el punto crítico de esta función es (0,0). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=-2, \, f_{yy}(x,y)=2, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = -2 \cdot 2 - 0 = -4

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) =-4

Finalmente, como D(2,3)<0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un punto de silla en el punto (0,0). Para entender exactamente por qué se llama punto de silla, observemos el gráfico de esta función y veamos su comportamiento en los puntos cercanos a (0,0):

Función de Producción Conjunta

Anthonny Arias-García1 comentario

La cantidad de unidades fabricadas de un producto depende de muchos factores de producción. Entre estos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etcétera. Por simplicidad, se supondrá que la producción sólo depende del trabajo y del capital.

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Si la función P(L,K) proporciona la producción P cuando el productor emplea L unidades de trabajo (que usualmente la expresaremos como horas de trabajo semanal) y K unidades de capital, entonces esta función de producción, que depende de dos variables, se llama Función de Producción Conjunta.

Una vez fijadas las unidades de capital K invertidas, podemos calcular la variación de la producción respecto a la cantidad horas de trabajo, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable L

\dfrac{\partial P}{\partial L}

Por ejemplo, si \frac{\partial P}{\partial L} = 10, entonces al aumentar en una hora la cantidad de horas de trabajo L cuando se fija el capital invertido en K, la producción aumentará en 10 unidades.

Por otra parte, una vez fijada la cantidad de horas a trabajar en una semana, podemos calcular la variación de la producción respecto al capital, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable K

\dfrac{\partial P}{\partial K}

Por ejemplo, si \frac{\partial P}{\partial K} = 50, entonces al aumentar en una unidad el capital K cuando se fija la cantidad de horas trabajadas en L, la producción aumentará en 50 unidades.

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Ejemplo

Considerando una fábrica de plátano chips, ésta ha determinado que la función de producción es P(L,K)=\sqrt{L \cdot K}, donde L es el número de horas de trabajo por semana y K es el capital (expresado en miles de perolitos por semana) requerido para la producción semanal de P gruesas de plátano chips (Una gruesa es una cantidad de artículos equivalente a doce docenas, es decir, 144 artículos). Determine las funciones de producción marginal respecto a L y respecto a K; evalúelas en (400,16) e interprete los resultados.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Para esto, debemos notar que P(L,K)=\sqrt{L\cdot K} = (L \cdot K)^{1/2}, por lo tanto

\dfrac{\partial P}{\partial L} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot K = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot K = \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}}

Luego,

\left. \dfrac{\partial P}{\partial L} \right|_{(400,16)} = \dfrac{16}{12\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{1}{10}

Así, si mantenemos el capital en 16 mil Ps. y aumentamos la cantidad de horas de trabajo de 400 a 401 horas semanales, la producción aumentará en \dfrac{1}{10} gruesas, es decir, en 14,4 empaques de plátano chips.

Por otra parte,

\dfrac{\partial P}{\partial K} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot L = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot L = \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}

Luego,

\left. \dfrac{\partial P}{\partial K} \right|_{(400,16)} = \dfrac{400}{2\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{5}{2}

Así, si fijamos la cantidad de horas de trabajo semanales en 400 y aumentamos el capital de 16 mil a 17 mil Ps., la producción aumentará en \dfrac{5}{2} gruesas, es decir, en 360 empaques de plátano chips.

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Funciones de Producción Cobb-Douglas

Un grupo importante de funciones de producción, son las Funciones de Producción Cobb-Douglas que se expresan como

P(L,K) = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}

La suma (\alpha + \beta) da información sobre los rendimientos a escala, es decir, la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los insumos.

  • Si esta suma es 1, existen rendimientos constantes a escala, es decir, la duplicación de los insumos duplica la producción, la triplicación de los insumos la triplica, y así sucesivamente.
  • Si la suma es menor que 1, existen rendimientos decrecientes a escala: al duplicar los insumos, la producción crece en menos del doble.
  • Si la suma es mayor que 1, hay rendimientos crecientes a escala; la duplicación de los insumos aumenta la producción en más del doble.

Particularmente nos interesará el caso \alpha + \beta = 1. La importancia de este radica en que la función se expresar en función sus incrementos de la siguiente forma:

P(L,K) = L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}

Si consideramos la función de producción de nuestro ejemplo, tendremos que sus derivadas parciales son \frac{\partial P}{\partial L} = \frac{K}{2\sqrt{L\cdot K}} y \frac{\partial P}{\partial K} = \frac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}, por lo tanto

L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}

\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}

\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L} \sqrt{K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L} \sqrt{K}}

\; = \; \dfrac{1}{2} \dfrac{L}{\sqrt{L}} \dfrac{K}{\sqrt{K}} + \dfrac{1}{2} \dfrac{K}{\sqrt{K}} \dfrac{L}{\sqrt{L}}

\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{K}\sqrt{L}

\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K}

\; = \; \sqrt{L}\sqrt{K}

\; = \; \sqrt{LK}

Notamos que esta última expresión es precisamente nuestra función de producción.

Función de Costos Conjuntos

Anthonny Arias-García1 comentario

Suponga que un fabricante produce x unidades de un artículo X y y unidades de un artículo Y, entonces el costo total de producir esas unidades se puede expresar como una función c que depende de las variables x y y, que llamaremos Función de Costos Conjuntos y la denotaremos de la siguiente forma

c(x,y)

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Una vez que fijamos la producción del producto Y, podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto X calculando la derivada parcial de la función c(x,y) respecto a x, es decir, la función de costo marginal respecto a la variable x

\dfrac{\partial c}{\partial x}

Por ejemplo, si c se expresa en perolitos y \frac{\partial c}{\partial x} = 1500, entonces el costo de producir una unidad adicional de X cuando el nivel de producción de Y es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

En cambio, si fijamos la producción del producto X, podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto Y calculando la derivada parcial de la función c(x,y) respecto a y, es decir, la función de costo marginal respecto a la variable y

\dfrac{\partial c}{\partial y}

Por ejemplo, si c se expresa en perolitos y \frac{\partial c}{\partial y} = 2000, entonces el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Aunque durante este clase nos limitaremos a dos variables, pero de forma general si un fabricante produce n artículos entonces la función de costos conjuntos constará de n variables y habrá n funciones de costo marginal.

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Ejemplo

Una empresa produce Plátano Chips de dos sabores: salado y natural. Suponga que la función de costos conjuntos de producir x empaques de plátano chips salados y y empaques de plátano chips naturales es:

c(x,y)=0.07x^2 +75x+85y+600

Donde c se expresa en perolitos.

Determine los costos marginales de c respecto a x y y cuando x=100 y y=50, finalmente interprete los resultados.

Para esto, calculamos la derivada parcial de la función c respecto a x.

\dfrac{\partial c}{\partial x} = 0.14x+75

y evaluando esta función en el punto (100,50) obtenemos:

\left. \dfrac{\partial c}{\partial x} \right|_{(100,50)} = 0.14(100)+75 = 89

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips saladas de 100 a 101 mientras se mantiene fija la producción de chips naturales en 50, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 89 Ps.

Por otra parte, calculamos la derivada parcial de la función c respecto a y.

\dfrac{\partial c}{\partial y} = 85

y evaluando esta función en el punto (100,50) obtenemos:

\left. \dfrac{\partial c}{\partial y} \right|_{(100,50)} = 85

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips naturales de 50 a 51 mientras se mantiene fija la producción de chips saladas en 100, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 85 Ps.

Derivadas Parciales de Orden Superior | totumat.com

Derivadas Parciales de Orden Superior

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. Notación para Derivadas Parciales de Orden Superior
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2

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Notación para Derivadas Parciales de Orden Superior

Podemos calcular derivadas parciales de orden superior teniendo en cuenta cual es la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma, una vez que hemos calculado de la derivada de una función f(x,y) respecto a la variable x, es decir, \frac{\partial f}{\partial x}; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable x y para esto usamos la siguiente notación:

\displaystyle \dfrac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}

De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable y y usamos la siguiente notación:

\displaystyle \dfrac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

Una vez que hemos calculado de la derivada de una función f(x,y) respecto a la variable y, es decir, \frac{\partial f}{\partial y}; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable x y para esto usamos la siguiente notación:

\displaystyle \dfrac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la varaible y y usamos la siguiente notación:

\displaystyle \dfrac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Cuando estamos aprendiendo a calcular derivadas parciales y más aún, de orden superior; es normal que uno se enrede con tantas variables. Con el diagrama que veremos a continuación se puede entender con un poco más de claridad que variables debemos considerar al derivar:

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Otra notación que puede ser útil para aligerar la escritura de las derivadas parciales consiste en escribir la función y usar un subíndice sobre esta para indicar cual es la variable respecto a la cual estamos derivando de la siguiente forma:

f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}

Podemos así, denotar las derivadas de orden superior como sigue:

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (f_x)_x = f_{xx}

\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = (f_x)_y = f_{xy}

\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (f_y)_y = f_{xx}

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (f_y)_x = f_{yx}

En vista de esto, podemos replantear el diagrama visto anteriormente usando esta nueva notación:

Diagrama Derivadas Parciales de Orden Superior | totumat.com

Veamos con algunos ejemplos como calcular derivadas parciales de orden superior.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=2x^6+y^2 - 8 una función definida en varias variables, calcule \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de f respecto a la variable x:

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x} \; = \; \dfrac{\partial (2x^6+y^2 - 8)}{\partial x}

\displaystyle = \; \dfrac{\partial (2x^6)}{\partial x} + \dfrac{\partial (y^2)}{\partial x} - \dfrac{\partial (8)}{\partial x}

\displaystyle = \; 12x^5 + 0 - 0

\displaystyle = \; 12x^5

Calculamos entonces la derivada de la función \frac{\partial f}{\partial x}=2x^5 respecto a la variable x.

\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial x} \; = \; 60x^4

Supongamos que queremos calcular \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, entonces debemos calcular la derivada de la función \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x^5 respecto a la variable y:

\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial y} \; = \; 0

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Ejemplo 2

Sea f(x,y)=5\sqrt{xy} - x^3y + 6x + 2 una función definida en varias variables, calcule \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de f respecto a la variable y:

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y} \; = \; \dfrac{\partial (5\sqrt{xy} - x^3y + 6x + 2)}{\partial y}

\displaystyle = \; \dfrac{\partial (5\sqrt{xy})}{\partial y} - \dfrac{\partial (x^3y)}{\partial y} + \dfrac{\partial (6x)}{\partial y} + \dfrac{\partial (2)}{\partial y}

\displaystyle = \; 5\dfrac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x - x^3 + 0 + 0

\displaystyle = \; \dfrac{5}{2}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3

Este último paso se debe a que \frac{1}{\sqrt{xy}} \cdot x = \frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}

Calculamos entonces la derivada de la función \dfrac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 respecto a la variable y.

\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \; = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 \right) }{\partial y}

\displaystyle = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right) }{\partial y} - \dfrac{\partial (x^3)}{\partial y} *

\displaystyle = \; \dfrac{5}{2}\sqrt{x} \left( \dfrac{-1}{2\sqrt{y^3}} \right) - 0

\displaystyle = \; -\dfrac{5\sqrt{x}}{4\sqrt{y^3}}

*Note que al x comportarse como una constante, es conveniente separarla de la variable y, ya que de este modo es más fácil de derivar el producto.

Supongamos que queremos calcular \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, entonces debemos calcular la derivada de la función \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 respecto a la variable x:

\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \; = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 \right) }{\partial x}

\displaystyle = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right) }{\partial x} - \dfrac{\partial (x^3)}{\partial x}

\displaystyle = \; \frac{5}{2 \sqrt{y}} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 3x^2

\displaystyle = \; \frac{5}{4 \sqrt{y} \sqrt{x}} - 3x^2

\displaystyle = \; \frac{5}{4 \sqrt{xy}} - 3x^2