Operaciones entre Números Reales

¡El cuerpo de los números reales!

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido: suma, resta, multiplicación y división. Pero lo que trataremos en este caso son las propiedades de estas operaciones, pudimos estudiarlas en cada uno de los conjunto de los que definimos anteriormente pero las dejamos para esta ocasión pues estamos en un contexto más general. Estas propiedades constituyen los Axiomas Algebraicos de los Números Reales. Entonces, si a, b y c son números reales, tenemos:

Propiedades para la suma

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: a+b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
  3. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b)+c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a.
  5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0.

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Propiedades para el producto

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: a \cdot b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a  \cdot  b = b  \cdot  a.
  3. Propiedad asociativa: a  \cdot  (b  \cdot  c) = (a  \cdot  b) \cdot c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que a  \cdot  1 = 1  \cdot  a = a.
  5. Inverso multiplicativo: Para todo número real a \neq 0, existe un número real a^{-1} tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, a  \cdot   a^{-1}  =  a^{-1}   \cdot  a = 1.
  6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a  \cdot  0 = 0  \cdot  a = 0.

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

a \cdot (a + b) = a \cdot b + a \cdot c

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales. Veamos entonces la Ley de Tricotomía que nos define parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Considerando a y b, se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma nos parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si a es un número real, tendremos que:

  • Si a > 0, diremos que a es un número positivo.
  • Si a < 0, diremos que a es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.

Números Reales

¿Qué es la raíz cuadrada de 2?

Empecemos considerando un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene un ángulo recto (90°). Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Entonces, si un cateto mide a, el otro cateto mide b y la hipotenusa mide c, tendremos que:

Triángulo Rectángulo

El Teorema de Pitágoras establece que si usted tiene un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir,

Teorema de Pitágoras

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Si la hipotenusa es c, tendremos que c^2=25. Es decir, la hipotenusa será un número tal que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, ya que 5^2=5\cdot 5 = 25, concluimos que la hipotenusa de este triángulo mide 5.

De igual forma si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12, la hipotenusa medirá 13. Si los catetos miden 8 y 6, la hipotenusa medirá 10. Notemos que estos casos la medida de la hipotenusa es un número entero, sin embargo, este no es un caso general.

Supongamos que los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cada uno. Tendremos que 1^2 + 1^2 = 1+1=2 . Entonces c^2=2, ¿puede usted pensar en un número racional tal que al multiplicarlo por sí mismo nos dé 2 como resultado? ¿Será 1? ¿Será 2? ¿Qué tal 1,5? La respuesta es que no hay un número racional tal que multiplicado por sí mismo nos dé 2 como resultado.

Esta situación la solucionamos definiendo un nuevo número que no es natural, no es entero y tampoco es racional. Lo denotaremos con \sqrt{2} y diremos que éste satisface la condición c^2=2, es decir, (\sqrt{2})^2=2.

raíz cuadrada de dos

Hay una gran cantidad de situaciones en las que tendremos que definir nuevos números como \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{13}, \sqrt{3453}, \sqrt{\frac{6}{19}}, etc. El símbolo \sqrt{ \ \ } se llama raíz cuadrada, y así como se han presentado estos números, se presentarán otras ocasiones en los que debemos definir nuevos números como por ejemplo \pi, \phi ó \epsilon .

Todos estos números a diferencia de los números racionales tendrán una extensión decimal infinita no periódica, es decir, su extensión decimal nunca se repite. Por ejemplo, con técnicas computarizadas se han logrado calcular hasta la fecha 31 4159 2653 5897 dígitos del número \pi. Estos son los primeros 160 publicados en pi day:

3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899 862 8034 8253 4211 7067 98214 8086 5132 8230 6647 0938 4460 9550 5822 3172 5359 4081 2848 1117 45…

Definiremos un nuevo conjunto que alberga todos estos números y lo llamaremos el conjunto de los Números Irracionales, justamente por su característica de no ser racionales y lo denotaremos con el símbolo \mathbb{I} .

Considerando todos los conjuntos que hemos definido anteriormente, definiremos un nuevo conjunto que alberga a todos los números racionales y todos los números irracionales, lo llamaremos el conjunto de los Números Reales y lo denotaremos por \mathbb{R} , formalmente tendremos que

El conjunto de los números racionales es igual a la unión entre el conjunto de los números racionales y los números irracionales.

De esta forma nos podemos dar cuenta que el conjunto de los números Racionales es un subconjunto del conjunto de los números Reales, más aún, tendremos una cadena de contenciones de la siguiente forma:

Los naturales están contenidos en los enteros contenidos en los racionales contenidos en los reales

Es importante notar que a medida que definimos nuevos conjuntos, llenamos los “huecos” que hay entre los elementos de los conjuntos. Se asemeja a una historia de un autor anónimo que frecuentemente se encuentra en internet:

Anónimo…

Un profesor de filosofía llegó al salón de clases con su termo de café caliente como de costumbre, pero esta vez traía consigo una gran jarra y varios objetos. Sin mediar palabra el profesor llenó la jarra con pelotas de golf y preguntó a sus alumnos si la jarra estaba llena. Ellos asintieron con confusión por la obviedad de la pregunta.

Entonces el profesor tomó una caja de canicas y las vertió también dentro de la jarra; agitó con cuidado la jarra. Las canicas rodaron en las áreas abiertas que había entre las pelotas de golf. De nuevo les preguntó a sus estudiantes si la jarra estaba llena. Por segunda vez, todos estuvieron de acuerdo.

Después, el profesor tomó una caja de arena y la vertió en la jarra. Como ya podrán imaginarse, la arena se deslizó por todos los huecos que aún quedaban. El les preguntó una vez más si la jarra estaba llena. Los estudiantes respondieron al unísono “¡SÍII!”.

Con mucha tranquilidad el profesor tomó su termo de café y lo vertió completamente en la jarra llenando efectivamente el espacio entre la arena. Los estudiantes rieron.

La historia generalmente viene acompañada con algunas frases de autoayuda o reflexiones sobre la vida pero eso no nos interesa, lo importante es notar que al representar el conjunto de los números reales de forma gráfica obtendremos una pasta cohesionada de números sin espacios entre ellos, que representaremos con una recta centrada en el cero de la siguiente forma:

La Recta Real

A esta recta la llamaremos Recta Real y en ella representaremos todos los números que hemos conocido hasta ahora.


– ¡Amor! 2 ha llegado de la guerra pero se ha vuelto irracional.
– ¡¿Qué?! ¡No 2! Él siempre ha sido… ¡Oh, dios!
– ¡Se ha radicalizado!

Operaciones entre Números Racionales

Consideremos a, b, c y d números enteros con b y d \neq 0, entonces por definición \frac{a}{b} y \frac{c}{d} son dos números racionales.

Suma

Definiremos la suma entre estos dos números racionales de la siguiente forma:

Suma de Fracciones

De forma particular, si dos números racionales comparten el mismo denominador, será posible (a través de una serie de equivalencias) sumar sus numeradores y mantener el mismo denominador para la suma, es decir,

Suma de Fracciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de \frac{1}{2} más \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

Ejemplo 2

Efectúe la suma de \frac{7}{3} más \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la suma de 1 más \frac{4}{9}. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la suma de \frac{3}{11} más 6. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}


Resta

Notemos que la resta se puede definir de la misma forma que la suma usando expresiones equivalentes para -\frac{c}{d}, como \frac{-c}{d} o \frac{c}{-d}. Simplemente debemos tomar en cuenta la ley de los signos al multiplicar números enteros, es decir,

Resta de fracciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de \frac{1}{2} menos \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la resta de \frac{7}{3} menos \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la resta de 1 menos \frac{4}{9}. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la resta de \frac{3}{11} menos 6. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}


Producto

Definiremos el producto entre estos dos números racionales, multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, de la siguiente forma:

Multiplicación de fracciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de \frac{1}{2} por \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de \frac{7}{3} por \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de 1 por \frac{4}{9}. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de \frac{3}{11} por 6. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}


División

Definimos la división entre estos dos números racionales, reescribiendo esta división nuevamente como una fracción y aplicando lo que en algunos países se conoce como la doble c y en otros se conoce como la ley del sándwich; y es como sigue:

División de fracciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de \frac{1}{2} entre \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Ejemplo 2

Efectúe la división de \frac{7}{3} entre \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}

Ejemplo 3

Efectúe la división de 1 entre \frac{4}{9}. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}

Ejemplo 4

Efectúe la división de \frac{3}{11} entre 6. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}


Esta definición de los números racionales está atada a las Fracciones y las operaciones aquí descritas están desarrolladas de una forma más extensa en los siguientes enlaces:


Números Racionales

¿Qué es la división?

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de modo que ambos queden contentos, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

La representamos usando la notación 2 \div 4, que indica la división de dos objetos en cuatro partes iguales. Si usamos una calculadora o usamos un método aprendido en educación básica obtenemos el valor 0,5. Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división 1 \div 2 cuyo resultado es 0,5. En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división 7 \div 14 cuyo resultado es 0,5. Notemos que se nos pueden presentar muchas ocasiones en el que obtenemos el valor 0,5, es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado 0,5.

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b \neq 0), definiremos un nuevo número de la forma \frac{a}{b} que representa el resultado de la división a \div b. Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por \mathbb{Q} y estará definido de la siguiente manera:

El conjunto de los números racionales

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma a \div 1 para notar que 3 \div 1 = 3, 10 \div 1 = 10, -2 \div 1 = -2, 45 \div 1 = 45. En general si a \in \mathbb{Z} entonces a \div 1 = a. Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

El conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números racionales

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo \frac{1}{2} = 0,5 o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo \frac{1}{3} = 0,333333...

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una “ley de los signos” para la multiplicación, también la hay para la división,

Ley de los Signos para la división

Comúnmente se conoce a los números racionales como fracciones y además a esto, al considerar un número racional expresado de la forma \frac{a}{b}, se dirá que a es el numerador y b es el denominador.


Operaciones entre Números Enteros

¿Sumar y restar? ¿Es lo mismo?

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

Ejemplos

Ejemplo 1

7 +10 = 17

Ejemplo 2

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60


El producto de Enteros

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la “Ley de Los Signos” sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

Ejemplo

Ejemplo 5

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32


Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros?