Propiedades de la Integral Indefinida

Operaciones entre Integrales
1. Ejemplos

Al considerar funciones elementales, podemos determinar su integral recurriendo a una tabla de integrales, sin embargo, al toparse con operaciones de suma y resta entre dos funciones elementales, es necesario considerar algunas de las propiedades que nos permiten calcular la integral de funciones.

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Operaciones entre Integrales

Empezaremos estudiando la integral de funciones generadas a partir de algunas operaciones básicas entre funciones elementales, particularmente sobre la suma, la resta y la multiplicación por un escalar. Formalmente, Sean $f(x)$ una función y $k$ un escalar, entonces tenemos que

Integral de la Suma

$\displaystyle \int \left[ f(x) + g(x) \right] \ dx = \int f (x) \ dx + \int g (x) \ dx$

Es decir, la integral de la suma de funciones es igual a la suma de la integral de funciones.

Integral de la Resta

$\displaystyle \int \left[ f(x) - g(x) \right] \ dx = \int f (x) \ dx - \int g (x) \ dx$

Es decir, la integral de la resta de funciones es igual a la resta de la integral de funciones.

Integral del Producto por un Escalar

$\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f (x) \ dx$

Coloquialmente hablando, lo que está ocurriendo es que si un escalar está multiplicando a una función, dicho escalar sale de la integral para multiplicar a toda la integral.

Notemos que no se ha definido una propiedad para el producto y la división porque pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DEL PRODUCTO O DIVISIÓN ENTRE DOS FUNCIONES, así que si bien podemos separar las sumas, no podemos separar los productos ni divisiones.

Veamos en los siguientes ejemplos que usando estas propiedades y la tabla de integrales, podemos empezar a calcular la integral de funciones un poco más complejas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = x^2 + x$ , es decir,

$\int (x^2 + x) \, dx$

Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

$\int x^2 dx + \int x \, dx$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$\frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2$

Notemos que para cada una de las funciones, al calcular la integral se han generado dos familias diferentes de antiderivadas, es por esto que hemos usado dos constantes $C_1$ y $C_2$ , sin embargo, podemos agrupar estas dos constantes en una sola constante $C$ y concluir que

$\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = 3x^5 - 2x + 9$ , es decir,

$\int (3x^5 - 2x + 9) dx$

Debemos notar que esta función está definida como la suma de tres funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

$\int 3x^5 \, dx -\int 2x \, dx +\int 9 \, dx$

Tomando en cuenta que algunas de ellas están siendo multiplicadas por escalares, sacamos estos escalares de las integrales para obtener la siguiente expresión

$3\int x^5 \, dx - 2\int x \, dx + \int 9 \, dx$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos y sacado sus escalares, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas,

$3\frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - C_2 + 9x + C_3$

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

$\int (3x^5 - 2x + 9) \, dx = \frac{x^6}{2} - x^2 + 9x + C$

Ejemplo 3

Calcule la integral de $f(x) = 7 \textit{\Large e}^x + \sqrt{x}$ , es decir,

$\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx$

La integral de la función exponencial no debería presentar dificultad alguna pero si nos fijamos en la raíz cuadrada de $x$ , ¿está en la tabla? Claro que sí, pero debemos reescribirla, pues $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces,

$7 \int \textit{\Large e}^x \, dx + \int x^{\frac{1}{2}} \, dx$

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$7 \textit{\Large e}^x + C_1 + \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_2$

Simplificamos operando las fracciones involucradas en el exponente y en el denominador obteniendo

$7 \textit{\Large e}^x + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

Efectuando la división de fracciones involucrada concluimos que

$\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = 7 \textit{\Large e}^x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Ejemplo 4

Calcule la integral de $f(x) = \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x}$ , es decir,

$\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx$

Cada uno de los sumandos se puede reescribir para aplicar la regla del exponente, sin embargo, debemos ser cuidadosos con la función $\frac{1}{x}$ pues al reescribirla como $x^{-1}$ no se puede aplicar la regla del exponente pero no hay de que preocuparse pues la integración de esta es directa de la tabla.

Separemos cada uno de los sumandos y saquemos las constantes,

$6 \int \frac{1}{x^5} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \, dx + 3\int \frac{1}{x} \, dx$

Reescribimos las funciones que se necesiten reescribir,

$6 \int x^{-5} \, dx +-\frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx$

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$6 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) - C_2 + 3 \ln|x| + C_3$

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

$\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx= - \frac{3}{2x^4} + \frac{1}{2x} + 3 \ln|x| + C$

6 comentarios en “Propiedades de la Integral Indefinida”

Matemáticas 31 – Sección 01 – Semestre B2023 – totumat dice:

19.12.2023 a las 9:17 pm

[…] Propiedades de la Integral Indefinida […]

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