Límites/Matemáticas

Indeterminación cero por infinito 0*∞

Anthonny Arias1 comentario

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito y a cero, respectivamente cuando x tiende al infinito, entonces el límite del producto de estas dos funciones presenta una indeterminación. La forma en que se determinan este tipo de límites consiste en reescribir la expresión para obtener una indeterminación de la forma \frac{\infty}{\infty} y usar las técnicas usadas para estos casos. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Multiplicamos el producto entre las fracciones y posteriormente aplicamos la técnica que hemos visto anteriormente

\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{4\frac{x^2}{x^2} -\frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{4 -\frac{7}{x^2}}}

Y al evaluar el límite obtenemos

\frac{6}{\sqrt{4-0}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 3

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15

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