Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (1 de 2)

La Indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando $x$ tiende al infinito, entonces el límite de la división entre estas dos funciones presenta una indeterminación

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$

Consideremos de forma particular en el que $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones polinomiales que tienden a infinito cuando $x$ tiende a infinito. El método para determinar este tipo de límites consiste en dividir por $x^n$ en el numerador y en el denominador, donde $n$ es el mayor grado involucrado en el límite. Veamos con algunos ejemplos como desarrollar este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $2$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^2$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2 - 1}{x^2}}{\frac{2x + 1}{x^2}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\infty} = 0$ , $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = \frac{2}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\frac{1 - 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty$

Donde la fracción $\frac{1}{0}$ servirá como indicador de que el numerador crece con mayor velocidad que el denominador, por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \infty$ .

Ejemplo 2

\item Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $3$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^3$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3 - x + 4}{x^3}}{\frac{4x^3 + 6x^2 +10}{x^3}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{4}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{6x^2}{x^3} + \frac{10}{x^3}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 + \frac{6}{x} + \frac{10}{x^3}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\dfrac{1 - 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \dfrac{1}{4}$

Por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{1}{4}$ .

Ejemplo 3

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $4$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^3$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2 - 2x - 7}{x^4}}{\frac{12x^4 - 9x^2 + 2}{x^4}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2}{x^4} - \frac{2x}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\frac{12x^4}{x^4} - \frac{9x^2}{x^4} + \frac{2}{x^4}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^3} - \frac{7}{x^4} }{12 - \frac{9}{x^2} + \frac{2}{x^4}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\dfrac{0 - 0 - 0}{12 + 0 + 0} = \dfrac{0}{12} = 0$

Donde la fracción $\frac{0}{12}$ servirá como indicador de que el denominador crece con mayor velocidad que el numerador, por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = 0$ .

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La regla general

Considerando estos tres últimos ejemplos, podemos notar que si consideramos dos polinomios que están definidos de la siguiente forma:

$P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$
$Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$

Entonces, el límite de la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ cuando $x$ tiende a infinito estará determinado de la siguiente forma:

Será igual a $\infty$ si $m>n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el numerador crece con mayor velocidad.
Será igual a $\frac{a_m}{b_n}$ si $m=n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es igual que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto ambos crecen a la misma velocidad.
Será igual a $0$ si $m<n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el denominador crece con mayor velocidad.