Potencias – Página 3

A continuación definiremos una expresión que está íntimamente relacionada con la diferencia de cuadrados, pues al encontrar la suma (o la resta según sea el caso) de dos números reales, podemos definir una expresión que nos permitirá escribir dicha resta como una diferencia de cuadrados.

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Formalmente, Si $a$ y $b$ son dos números reales, el conjugado de la suma $(a+b)$ está definido como $(a-b)$ . De igual forma, el conjugado de la resta $(a-b)$ está definido como $(a+b)$ . Es decir, se cambia el signo que se encuentra entre ellos dos. La importancia del conjugado radica en que el producto de una suma por su conjugado es igual a una diferencia de cuadrados, es decir,

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para simplificar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como identificar el conjugado de algunas expresiones:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Identifique el conjugado de $12 - 5$ . No tiene mucho sentido identificar el conjugado de esta expresión pues podemos simplemente efectuar la resta y obtener 7 como resultado.

Ejemplo 2

Identifique el conjugado de $\sqrt{12} - 5$ . Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de doce, por lo tanto no no se puede restar con cinco, entonces, concluimos que su conjugado es $\sqrt{12} + 5$ .

Ejemplo 3

Identifique el conjugado de $3 + \sqrt{8}$ . Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de ocho, por lo tanto no no se puede sumar con tres, entonces, concluimos que su conjugado es $3 - \sqrt{8}$ .

Ejemplo 4

Identifique el conjugado de $3x - 7$ . Notemos que uno de los sumando involucrados es tres por una incógnita, por lo tanto no se puede restar con siete, entonces, concluimos que su conjugado es $3x + 7$ .

Ejemplo 5

Identifique el conjugado de $15 + 4x$ . Notemos que uno de los sumando involucrados es cuatro por una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con 15, entonces, concluimos que su conjugado es $15 - 4x$ .

Ejemplo 6

Identifique el conjugado de $6 + \sqrt{x+2}$ . Esta resta no se puede efectuar, entonces, concluimos que su conjugado es $6 - \sqrt{x+2}$ . Notando que el signo dentro de la raíz no cambia.

Incógnitas y Variables

¿Qué es una variable?

Si consideramos una ecuación, digamos $x+2=5$ , definimos una incógnita $x$ como un número desconocido cuyo valor debemos calcular. Este valor está condicionado a la relación que establece la igualdad y que, una vez que aplicamos las técnicas de despeje, concluimos que $x=3$ .

Sin embargo, el uso de $x$ puede extenderse, pues podemos usarla como un elemento cuyo valor puede variar. Si consideramos la expresión $x+2$ , notamos inmediatamente que el valor de $x$ no está restringido por una igualdad, así que esta pudiera tomar cualquier valor, por ejemplo,

Si el valor de $x$ es igual a $4$ , entonces $x+2 = 4+2 = 6$ .
Si el valor de $x$ es igual a $-10$ , entonces $x+2 = -10+2 = -8$ .
Si el valor de $x$ es igual a $299$ , entonces $x+2 = 299+2 = 301$ .

De esta forma, si el valor de $x$ no tiene condiciones que lo fijen a un solo valor, podemos decir que este tiene un valor variable. Formalmente, decimos que una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor en un conjunto dado y que usualmente se denota con $x$ , $y$ o $z$ .

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Potencias de la variable

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita $x$ aparece multiplicada por ella misma, es decir, aparece $x^2$ como un sumando.

Recordando que una potencia de un número real $x$ es el producto de dicho número $x$ por sí mismo una cierta cantidad de veces, si multiplicamos $x \cdot x \cdot ... \cdot x$ n veces, expresamos este producto con $x^n$ y decimos que es la n-ésima potencia de $x$ . A $n$ lo llamamos exponente y a $x$ lo llamamos base.

Estudiaremos en esta sección, una herramienta que nos define expresiones matemáticas que involucran potencias de una variable.

¿Qué es un polinomio?

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ un conjunto de $n+1$ números reales. Definimos un polinomio $P(x)$ con la siguiente expresión:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Considerando la expresión que define a un polinomio, podemos identificar varios elementos en ella:

Al conjunto de números reales $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio.
El coeficiente $a_n$ será el coeficiente principal y es quien multiplica a la $x$ con la mayor potencia.
El coeficiente $a_0$ será el término independiente y no multiplica la variable $x$ , ni a sus potencias,
Al número natural $n$ lo llamaremos grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.