Factorización Polinomios

  1. ¿Qué es factorizar?
  2. Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4
    2. Ejemplos: Factorizar polinomios cuadráticos
      1. Ejemplo 5
      2. Ejemplo 6

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en dicho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto 2 \cdot 3, diremos que 2 y 3 son los factores que representan este producto.

De forma general, podemos representar el producto de dos factores como a \cdot b, donde a y b son dos números reales. De igual forma, podemos representar el producto de n factores como a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdots a_n, donde a_1, a_2, …, a_n son n números reales.

Estos números reales pueden venir definidos por variables, por ejemplo si consideramos el producto (x+2) \cdot (x+7) entonces los elementos variables (x+2) y (x+7) serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión 3x + 3x^2 , podemos notar que 3x es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como 3x \cdot (1+x), es decir, la reescribimos como un producto de dos factores 3x y 1+x. Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de al menos dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces a = 1 \cdot a, decimos que este es el caso trivial, es por esto que cuando consideremos factorizar una expresión, obviamos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización

Considerando un polinomio P(x) de grado n, si sus raíces son \{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \} y su coeficiente principal es igual a k, entonces el polinomio P(x) se puede factorizar de la siguiente forma:

P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicar el resultado antes visto, por lo tanto es necesario desarrollar métodos que permitan para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación P(x)=0.

Vemos en los siguientes ejemplos, como factorizar algunos polinomios sabiendo cuales son sus raíces.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si las raíces del polinomio P(x)=x^2-2x+1 son x_1=1 y x_2=-1, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = (x-1) \cdot (x+1)

Ejemplo 2

Si las raíces del polinomio P(x)=x^2+5x+6 son x_1=-2 y x_2=-3, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = (x+2) \cdot (x+3)

Ejemplo 3

Si las raíces del polinomio P(x)=5x^2-15x-140 son x_1=-4 y x_2=7, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = 5 \cdot (x+4) \cdot (x-7)

Ejemplo 4

Si las raíces del polinomio P(x)=3x^3+51x^2+186x-240 son x_1=1, x_2=-8 y x_3=10, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+8) \cdot (x+10)

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Observando los ejemplos expuestos, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si P(x)=ax^2+bx+c es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación P(x)=ax^2+bx+c=0 es justamente una ecuación cuadrática.

En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Consideremos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que x que satisfacen la ecuación ax^2+bx+c=0 están expresados de la siguiente forma:

\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Ejemplos: Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 5

Factorice el polinomio P(x)=x^2+5x+6 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, podemos factorizar el polinomio P(x)=x^2+5x+6 de la siguiente forma:

P(x)

= (x-x_1) \cdot (x_2)

= (x-(-2)) \cdot (x-(-3))

= (x+2) \cdot (x-+3)

Ejemplo 6

Factorice el polinomio P(x) = 5x^2-15x-50=0 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, podemos factorizar el polinomio P(x) = 5x^2-15x-50=0 de la siguiente forma:

P(x)

= 5 \cdot (x-x_1) \cdot (x_2)

= 5 \cdot (x-5) \cdot (x-(-2))

= 5 \cdot (x-5) \cdot (x+2)


Existen diversas formas de factorizar polinomios y el método del discriminante es una de ellas, y aunque se limita de forma particular a los polinomios cuadráticos, servirá de apoyo para otros métodos de factorización de polinomios.


Raíz de un polinomio

  1. Evaluar polinomios
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 3
  2. Raíces de un polinomio
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6

Al estudiar polinomios, estudiamos expresiones que involucran variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.

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Evaluar polinomios

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

\displaystyle P(b) = a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{2} b^{2}+ a_{1} x + a_{0}

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones indicadas en la definición del polinomio para obtener como resultado un número real. Veamos en los siguientes ejemplos cómo evaluar polinomios:

Ejemplos

Ejemplo 1

Al evaluar el polinomio P(x)= 3x+2 en b=3 obtenemos el siguiente resultado:

P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8

Ejemplo 2

Al evaluar el polinomio Q(x)=5x^2+2x+7 en b=-2 obtenemos el siguiente resultado:

Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3 en b=1 obtenemos el siguiente resultado:

R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio S(x)= x^3 - 3x^2 - x +3 en b=-1 obtenemos el siguiente resultado:

S(-1)= (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) +3 = -1-3+1+3 = 0

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Raíces de un polinomio

Al evaluar polinomios, será de nuestro particular interés los casos en que el resultado es exactamente igual a cero. Formalmente, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

P(r)=0

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos el polinomio P(x)= x^2-4,

Si consideramos r=1, esta no es una raíz del polinomio pues

P(1)=1-4=-3

Si consideramos r=2, esta sí es una raíz del polinomio pues

P(2)=(2)^2-4=4-4=0

Si consideramos r=-2, esta sí es una raíz del polinomio pues

P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0

Ejemplo 5

Si consideramos el polinomio P(x)=x^2+2x+1,

Si consideramos r=3, esta no es una raíz del polinomio pues

P(3)= (3)^2+2(3)+1=9+6+4=19

Si consideramos r=-1, esta sí es una raíz del polinomio pues

P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0

Ejemplo 6

Si consideramos el polinomio P(x)=x^4+x^2+16,

Si consideramos r=1, esta no es una raíz del polinomio pues

P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18

Si consideramos r=-1, esta no es una raíz del polinomio pues

P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18

De hecho, este último polinomio no tiene raíces pues notemos que x^4, x^2 y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será mayor que cero.


Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, tal que n=2k para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que x^n siempre será un número positivo.


Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no, sin embargo, podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener un polinomio, y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos, tres, etcétera, pero no más de n raíces.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad, esto, siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.

Polinomios

  1. Incógnitas y Variables
    1. ¿Qué es una variable?
    2. Potencias de la variable
  2. ¿Qué es un polinomio?
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2: Polinomio Cuadrático
      3. Ejemplo 3: Polinomio Cúbico
      4. Ejemplo 4: Completar un polinomio
      5. Ejemplo 5: Reordenar un polinomio

Incógnitas y Variables

¿Qué es una variable?

Si consideramos una ecuación, digamos x+2=5, definimos una incógnita x como un número desconocido cuyo valor debemos calcular. Este valor está condicionado a la relación que establece la igualdad y que, una vez que aplicamos las técnicas de despeje, concluimos que x=3.

Sin embargo, el uso de x puede extenderse, pues podemos usarla como un elemento cuyo valor puede variar. Si consideramos la expresión x+2, notamos inmediatamente que el valor de x no está restringido por una igualdad, así que esta pudiera tomar cualquier valor, por ejemplo,

  • Si el valor de x es igual a 4, entonces x+2 = 4+2 = 6.
  • Si el valor de x es igual a -10, entonces x+2 = -10+2 = -8.
  • Si el valor de x es igual a 299, entonces x+2 = 299+2 = 301.

De esta forma, si el valor de x no tiene condiciones que lo fijen a un solo valor, podemos decir que este tiene un valor variable. Formalmente, decimos que una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor en un conjunto dado y que usualmente se denota con x, y o z.

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Potencias de la variable

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita x aparece multiplicada por ella misma, es decir, aparece x^2 como un sumando.

Recordando que una potencia de un número real x es el producto de dicho número x por sí mismo una cierta cantidad de veces, si multiplicamos x \cdot x \cdot ... \cdot x n veces, expresamos este producto con x^n y decimos que es la n-ésima potencia de x. A n lo llamamos exponente y a x lo llamamos base.

Estudiaremos en esta sección, una herramienta que nos define expresiones matemáticas que involucran potencias de una variable.

¿Qué es un polinomio?

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n un conjunto de n+1 números reales. Definimos un polinomio P(x) con la siguiente expresión:

\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}

Considerando la expresión que define a un polinomio, podemos identificar varios elementos en ella:

  • Al conjunto de números reales a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n los llamaremos coeficientes del polinomio.
  • El coeficiente a_n será el coeficiente principal y es quien multiplica a la x con la mayor potencia.
  • El coeficiente a_0 será el término independiente y no multiplica la variable x, ni a sus potencias,
  • Al número natural n lo llamaremos grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos el polinomio P(x)= 3x+2, podemos identificar en él los siguientes elementos:

  • El grado es 1
  • El coeficiente principal es 3
  • El término independiente es 2

Ejemplo 2: Polinomio Cuadrático

Si consideramos el polinomio P(x)= 5x^2+2x+7, podemos identificar en él los siguientes elementos:

  • El grado es 2
  • El coeficiente principal es 5
  • El término independiente es 7

Nota: A un polinomio de grado igual a dos, se le conoce como Polinomio de Segundo Grado ó Polinomio Cuadrático.

Ejemplo 3: Polinomio Cúbico

Si consideramos el polinomio P(x)= -9x^3-15x^2+x+20, podemos identificar en él los siguientes elementos:

  • El grado es 3
  • El coeficiente principal es -9
  • El término independiente es 20

Nota: A un polinomio de grado igual a tres, se le conoce como Polinomio de Tercer Grado ó Polinomio Cúbico.

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Ejemplo 4: Completar un polinomio

Si consideramos el polinomio P(x)= 8x^6 + x^5 + x^3 - 4x -3, podemos identificar en él los siguientes elementos:

  • El grado es 6
  • El coeficiente principal es 8
  • El término independiente es -3

Además, podemos notar que faltan las potencias 4 y 2 de x. Esto se debe a que los coeficientes que multiplican a x^4 y x^2 son iguales a cero, por esta razón no hace falta escribir esos sumandos. Sin embargo podemos completar el polinomio de la siguiente manera:

P(x)= 8x^6 + x^5 + 0x^4 + x^3 + 0x^2 -4x +3

Ejemplo 5: Reordenar un polinomio

Si consideramos el polinomio P(x)= 4x^4 - 7x^6 + 17 - 2x^{10} + x^5, podemos identificar en él los siguientes elementos:

  • El grado es 10
  • El coeficiente principal es -2
  • El término independiente es 17

Además, podemos notar que la mayor potencia aparece como un primer sumando, pero, como la suma es conmutativa, nosotros podemos reordenar los sumandos del polinomio de modo que las potencias se escriban en orden decreciente de la siguiente manera:

P(x)=- 2x^{10} -7x^6  + x^5 + 4x^4 + 17


Definir polinomios nos proveerá maleabilidad sobre distintas expresiones matemáticas, que de momento no comprenderemos. Entender como está definido un polinomio y saber identificar sus elementos nos permitirá desarrollar herramientas sofisticadas para análisis complejos.