El Teorema Fundamental del Cálculo

20.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

Calcular áreas puede resultar tedioso si cada vez debemos calcular límites de Sumas de Riemann, sin embargo, esto no necesariamente debe ser así. A continuación veremos un resultado matemático cuya importancia radica en que enlaza el cálculo diferencial (derivadas y antiderivadas) con un concepto netamente geométrico como el cálculo de áreas. Citando a Michael Spivak en su libro de Cálculo Infinitesimal:

La derivada no despliega toda su fuerza hasta que se alía con la «integral»… El estudio de las integrales requiere una preparación larga, pero una vez hecho este trabajo preliminar, las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir nuevas funciones y la derivada volverá a aparecer, más poderosa que nunca (en el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal)…

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El Teorema Fundamental del Cálculo usualmente se presenta en dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Si $f(x)$ es una función integrable en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una función definida como

Si $f(x)$ es continua en un punto $x_0$ . Entonces, la función $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ y además,

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Demostración:

Consideremos un punto $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ , entonces verifiquemos si $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ , es decir, verifiquemos que existe el siguiente límite:

$A'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

Para esto, estudiemos las derivadas laterales de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ para verificar si estas existen y son iguales.

Caso I: La derivada de la función $A(x)$ por la derecha en el punto $x_0$ está definida para $h>0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

La función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$ , esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número $m_h$ de la siguiente forma:

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Teorema Fundamental del Cálculo | totumat.com

De igual forma, la función $f(x)$ estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número $M_h$ de la siguiente forma:

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$h \cdot m_h \leq \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx \leq h \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0]$ y otra área en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) =\int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = A(x_0+h) - A(x_0)$ y en consecuencia

$h \cdot m_h \leq A(x_0+h) - A(x_0) \leq h \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $h$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

Finalmente, para determinar el límite de la función $\frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$ cuando $h \to 0$ aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones $m_h$ y $M_h$ tienden a $f(x_0)$ cuando $h \to 0$ . De esta forma, concluimos que

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

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Caso II: La derivada de la función $A(x)$ por la izquierda en el punto $x_0$ está definida para $h<0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$(-h) \cdot m_h \leq \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx \leq (-h) \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0+h]$ y otra área en el intervalo $[x_0+h,x_0]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx + \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) = \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = A(x_0) - A(x_0+h)$ y en consecuencia

$(-h) \cdot m_h \leq A(x_0) - A(x_0+h) \leq (-h) \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $(-h)$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0) - A(x_0+h)}{(-h)} \leq M_h$

$\Rightarrow \ m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Habiendo calculado las derivadas laterales, verificando que estas existen y son iguales, concluimos que la derivada de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ existe y está definida de la siguiente forma

$A'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Que es lo que queríamos demostrar.

Es importante destacar, que si la función $f(x)$ en esta primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo es continua en todo el intervalo $[a,b]$ , entonces podemos concluir que para todo $x \in [a,b]$ , se tiene que

$A'(x) = f(x)$

De esta forma, sentamos una base para poder enunciar la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

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El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Si $f(x)$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una antiderivada de esta, entonces

Cálculo de Área Bajo la Curva

Esta segunda parte es la que presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias. Veamos con algunos ejemplos como calcular áreas bajo curvas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x dx$

$= \ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}$

$= \ \frac{1}{2} - \frac{0}{2}$

$= \ \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x^2 dx$

$= \ \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}$

$= \ \frac{1}{3} - \frac{0}{3}$

$= \ \frac{1}{3}$

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Ejemplo 3

Calcule el área bajo la curva $f(x)=\sqrt{x+2}$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_{-1}^{1} \sqrt{x+2} dx$

$= \ \int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{2}} dx$

$= \ \left. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} \right|_{-1}^{1}$

$= \ \frac{2}{3} (1+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-1+2)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} \sqrt{3^3} - \frac{2}{3}$

$= \ 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}$

Es importante señalar que aunque la integral definida es una herramienta usada principalmente para calcular áreas bajo curvas, el Teorema Fundamental del Cálculo permite determinar elementos de interés en distintos campos de la ciencia, ingeniería y economía; es por esto que debemos tomar en cuenta que al considerar aplicaciones prácticas, estas pueden no representar áreas en el plano cartesiano.

Método de las Fracciones Simples

06.05.202025.04.2024 Anthonny Arias-García3 comentarios

Supongamos que queremos calcular integral de la función $f(x)=\frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6}$ . La solución salta a la vista, pues podemos notar inmediatamente que la derivada de $x^2 + 5x + 6$ es precisamente $2x+5$ , entonces podemos considerar la variable auxiliar $t=x^2 + 5x + 6$ cuyo diferencial es $dt=(2x+5)dx$ y concluir que

$\displaystyle \int \frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6} \, dx$

$\displaystyle = \int \frac{1}{x^2 + 5x + 6} (2x+5)\, dx$

$\displaystyle = \int \frac{1}{t} \, dt$

$\displaystyle = \ln|t| + C$

$\displaystyle = \ln|x^2 + 5x + 6| + C$

Muy bien, pero, ¿y si cambiamos levemente la función? Supongamos que queremos calcular la integral de la función $f(x)=\frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}$ , la solución no se hace tan trivial, por lo tango, debemos entonces desarrollar otro método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

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El método de sustitución de variables y integración por partes abren el espectro de funciones de las que podemos calcular su integral y aunque estos permiten calcular la solución de algunas operaciones entre funciones, veremos ahora un método que permite calcular la solución de algunas divisiones entre funciones cuando esto no es posible, particularmente la división de polinomios.

A continuación veremos el Método de las Fracciones Simples, que consiste en reescribir la división de dos polinomios como la suma de fracciones de polinomios más simples que se pueden calcular mediante los métodos hasta ahora desarrollados, sin embargo, debemos segmentar este método pues las fracciones generadas dependerán de la forma en que está definido el polinomio que se encuentra en el numerador.

Caso I: Raíces distintas

Consideremos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios de grado $m$ y $n$ , respectivamente, tal que $Q(x)$ tiene $n$ raíces reales distintas entre sí, este se puede factorizar como

$Q(x) = k \cdot (x-x_1)(x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Entonces, si el cociente $\frac{P(x)}{Q(X)}$ es irreducible, entonces existen constantes $A_1$ , $A_2$ , \ldots, $A_n$ tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$ :

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-x_1} + \frac{A_2}{x-x_2} + \ldots + \frac{A_n}{x-x_n}$

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}$ , es decir,

$\displaystyle \int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx$

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador. Al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes $A$ y $B$ tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$

$\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \cdot (x+2)(x+3) = \frac{A}{x+2} \cdot (x+2)(x+3) + \frac{B}{(x+3)} \cdot (x+2)(x+3)$

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados, de forma que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$ :

$x+1 = A(x+3) + B(x+2)$

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de $x$ pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de $A$ y $B$ . Consideremos valores de $x$ muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si $x = -2$ , entonces,

$-2+1 = A(-2+3) + B(-2+2)$

$\Rightarrow \ -1 = A(1) + B(0)$

$\Rightarrow \ -1 = A$

Si $x = -3$ , entonces,

$-3+1 = A(-3+3) + B(-3+2)$

$\Rightarrow \ -2 = A(0) + B(-1)$

$\Rightarrow \ -2 = -B$

$\Rightarrow \ B = 2$

De esta forma determinamos que $A=-1$ y $B=1$ , así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

$\displaystyle \int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx$

$\displaystyle = \int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$

$\displaystyle = \int \left( \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3} \right) \, dx$

$\displaystyle = \int \left( \frac{-1}{x+2} + \frac{2}{x+3} \right) \, dx$

$\displaystyle = \int \frac{-1}{x+2} \, dx + 2\int \frac{1}{x+3} \, dx$

$\displaystyle = - \ln|x+2| + 2\ln|x+3| + C$

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de la función $\frac{1}{x+a}$ para cualquier constante $a$ y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.

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Caso II: Raíces iguales

Consideremos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios de grado $m$ y $n$ , respectivamente, tal que $Q(x)$ tiene $n$ raíces reales todas iguales, decir, una raíz $x_0$ de multiplicidad $n$ , este se puede factorizar como

$Q(x) = k \cdot (x-x_0)^n$

Entonces, si el cociente $\frac{P(x)}{Q(X)}$ es irreducible, existen constantes $A_1$ , $A_2$ , \ldots, $A_n$ tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$ :

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-x_0} + \frac{A_2}{(x-x_0)^2} + \ldots + \frac{A_n}{(x-x_0)^n}$

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = \frac{x+4}{x^2 - 2x + 1}$ , es decir,

$\int \frac{x+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx$

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)(x-1) = (x-1)^2$

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes $A$ y $B$ tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$

$\frac{x+4}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}$

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{x+4}{(x-1)^2} \cdot (x-1)^2 = \frac{A}{x-1} \cdot (x-1)^2 + \frac{B}{(x-1)^2} \cdot (x-1)^2$

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados, de forma que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$ :

$x+4 = A(x-1) + B$

Si $x = 1$ , entonces,

$(1)+4 = A(1-1) + B$

$\Rightarrow \ 1 + 4 = A(0) + B$

$\Rightarrow \ 5 = 0 + B$

$\Rightarrow \ B = 5$

De forma conveniente, consideramos $x = 1$ , pues con este valor pudimos anular el sumando que involucra el factor $A$ , sin embargo, no existe ningún número real que anule el sumando que involucra al factor $B$ , pero habiendo calculado el valor de $B=5$ , los sustituimos en nuestra ecuación, para obtener:

$x+4 = A(x-1) + 5$

Como esta igualdad se mantiene para cualquier valor de $x$ , sustituimos la variable $x$ por el valor de nuestra preferencia y posteriormente despejamos $A$ ,

Si $x = 2$ , entonces,

$x+4 = A(x-1) + 5$

$\Rightarrow \ 2+4 = A(2-1) + 5$

$\Rightarrow \ 6 = A(1) + 6$

$\Rightarrow \ 6 - 5 = A$

$\Rightarrow \ 1 = A$

$\Rightarrow \ A = 1$

De esta forma determinamos que $A=1$ y $B=5$ , así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

$\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx$

$\displaystyle = \int \frac{x+4}{(x-1)^2} \, dx$

$\displaystyle = \int \left( \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \right) \, dx$

$\displaystyle = \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{5}{(x-1)^2} \right) \, dx$

$\displaystyle = \int \frac{1}{x-1} \, dx + \int \frac{5}{(x-1)^2} \, dx$

$\displaystyle = \ln|x-1| - \frac{5}{x-1} + C$

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de las funciones $\frac{1}{x+a}$ y $\frac{1}{(x+a)^2}$ para cualquier constante $a$ y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.

Existen dos casos más en los que el polinomio involucrado en el denominador del cociente no se puede factorizar, estos casos se abordan usando sustituciones trigonométricas, es por esto que lo dejaremos para estudios posteriores.

Método de Integración por Partes

03.05.202025.08.2025 Anthonny Arias-García7 comentarios

El Método de Integración por Partes
1. Ejemplos

Hemos calculado anteriormente la integral de la función $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ usando el método de sustitución de variable, pero si consideramos una función levemente distinta ¿podemos usar usar nuevamente el método de sustitución de variable?

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Supongamos que queremos calcular la integral de la función $f(x) = \ln(x)$ . Por más que pensemos en una variable auxiliar que nos pueda ayudar a calcular esta integral, no la encontraremos. Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, entonces a partir de la Regla del Producto para la derivada de funciones, podemos concluir lo siguiente

$\displaystyle \int f(x) g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int g(x) f'(x) dx$

El Método de Integración por Partes

A esta igualdad la llamaremos El Método de Integración por Partes y aunque pareciera un poco intrincada, existe una regla mnemotécnica, es decir, un juego de palabras muy divertido para aprendérsela de memoria con facilidad recurriendo a dos variables auxiliares $u(x)$ y $v(x)$ planteando lo siguiente

$\displaystyle \int u \ dv = u \cdot v - \int v \ du$

un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

Una vez identificados los factores $u$ y $dv$ que están involucrados en la integral notamos que además de estas dos variables debemos contar también con $du$ y $v$ para poder aplicar el método de integración por partes. ¿Cómo lo hacemos?

Calculamos $du$ a partir de $u$ usando las técnicas de derivación que conocemos.
Calculamos $v$ a partir de $dv$ usando las técnicas de integración que conocemos.

Veamos entonces como aplicar este método para calcular la integral de la función $f(x) = \ln(x)$ , es decir,

$\displaystyle \int \ln(x) \, dx$

Para este caso en particular podemos considerar $u=ln(x)$ y $dv=dx$ , entonces

$\displaystyle u=\ln(x) \ \Rightarrow \ du = \frac{1}{x} \, dx$

$\displaystyle dv=dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \, dx$

$\displaystyle \ \Rightarrow \ v = x$

Notemos que hemos descartado la constante $C$ al calcular $v$ . Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Método de Integración por Partes | totumat.com

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \frac{1}{x}x \, dx = \int \frac{x}{x} \, dx = \int \, dx = x + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x + C$

La idea de este método es obtener del lado derecho de la igualdad una integral más simple de la que estamos calculando originalmente. Veamos en lo siguientes ejemplos las estrategias para proceder usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = x\ln(x)$ , es decir,

$\displaystyle \int x\ln(x) \, dx$

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores $u$ y $dv$ es de vital importancia para calcular la integral propuesta, es por esto que no nos debemos confiar en el orden que estos aparecen a primera vista. Cambiemos entonces el orden de los factores para plantear lo siguiente

$\displaystyle u=\ln(x) \ \Rightarrow \ du = \frac{1}{x}\, dx$

$\displaystyle dv=x\, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int x\, dx$

$\displaystyle \ \Rightarrow \ v = \frac{x^2}{2}$

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{4} + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int x\ln(x) \, dx = \ln(x) \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C$

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = x \textit{\Large e}^x$ , es decir,

$\displaystyle \int x \textit{\Large e}^x \, dx$

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores $u$ y $dv$ es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

$u=x \ \Rightarrow \ du = dx$

$dv=\textit{\Large e}^x \, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \textit{\Large e}^x \, dx$

$\ \Rightarrow \ v = \textit{\Large e}^x$

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^x \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x} \, dx = \textit{\Large e}^x + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int x \textit{\Large e}^x \, dx = x \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x + C$

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Ejemplo 3

Calcule la integral de $f(x) = x^2 \textit{\Large e}^x$ , es decir,

$\displaystyle \int x \textit{\Large e}^x \, dx$

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores $u$ y $dv$ es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

$\displaystyle u=x^2 \ \Rightarrow \ du = 2x \, dx$

$\displaystyle dv=\textit{\Large e}^x \, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \textit{\Large e}^x \, dx$

$\displaystyle \ \Rightarrow \ v = \textit{\Large e}^x$

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^x 2x \, dx = 2 \int x\textit{\Large e}^x \, dx = 2 \left( x\textit{\Large e}^x + \textit{\Large e}^x \right) + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int x^2 \textit{\Large e}^x \, dx \$

$\displaystyle = \ x^2 \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x - 2 \left( x\textit{\Large e}^x + \textit{\Large e}^x \right) + C$

$\displaystyle \ = \ x^2 \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x - 2 x\textit{\Large e}^x - 2 \textit{\Large e}^x + C$

$\displaystyle \ = \ x^2 \textit{\Large e}^x - 2 x\textit{\Large e}^x - 3 \textit{\Large e}^x + C$

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

En estos ejemplos hemos visto los casos más básicos del Método de Integración por Partes para facilitar su entendimiento, sin embargo, hay casos para funciones más complejas en las que se puede usar.

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Método de Sustitución de Variable

30.04.202018.08.2025 Anthonny Arias-García4 comentarios

Método de Sustitución de Variable
1. La Variable Auxiliar
2. Ejemplos

Consideremos la función $f(x)=(x+3)^2$ , ¿de qué forma calcularía usted la integral de esta función? Si consideramos únicamente las reglas básicas de integración, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable y calcular la integral del polinomio resultante de la siguiente manera:

$\int (x+3)^2 \, dx =\int (x^2 + 6x + 9) \, dx$

Y tras consultar la tabla de integrales y aplicar las propiedades aprendidas, tenemos que,

$\int x^2 \, dx + \int 6x \, dx +\int 9 \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 x^2 + 9x + C$

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Método de Sustitución de Variable

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la integral de la función $f(x) = (x+3)^{20}$ . Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso pudiera ser engorroso, más aún si consideramos una función expresada como $f(x) = (x+3)^{200}$ . Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, entonces a partir de la Regla de la Cadena para la derivada de funciones compuestas podemos concluir lo siguiente

$\displaystyle \int f'\big(g(x)\big) g'(x) \, dx = f\big(g(x)\big) + C$

La Variable Auxiliar

De esta forma, podemos simplificar funciones dentro de una integral considerando una variable auxiliar $t = g(x)$ y sustituyéndola en la función. Tomando en cuenta que el diferencial de la variable $t$ viene dado por $dt = g'(x)dx$ , podemos reescribir esta última igualdad de la siguiente forma:

$\displaystyle \int f'(t) \, dt = f(t) + C$

A esta simplificación la llamaremos Método de Sustitución de Variable, y retomando el ejemplo que habíamos considerado, calculemos la integral de $f(x) = (x+3)^{20}$ .

Debemos considerar una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y la idea es que al simplificarla podamos usar las herramientas que conocemos actualmente. Entonces, si consideramos la variable auxiliar $t=x+3$ , su diferencial será $dt = (x+3)' dx = (1) dx = dx$ , y así obtenemos la siguiente igualdad:

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función $t^{20}$ se calcula de forma directa, por lo tanto,

$\int t^{20} \, dt = \frac{t^{21}}{21} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original para obtener que

$\int (x+3)^{20} \, dx = \frac{(x+3)^{21}}{21} + C$

Veamos algunos ejemplos en los que el método de sustitución de variable requiere un poco más de ingenio pues no siempre será tan directo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = (x-5)^{7}$ , es decir,

$\displaystyle \int (x-5)^{7} \, dx$

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

$t=x-5$
$\Rightarrow \ dt = (x-5)' dx = dx$

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función $t^{7}$ se calcula de forma directa y obtenemos

$\displaystyle \frac{t^{8}}{8} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

$\displaystyle \int (x-5)^{7} \, dx = \frac{(x-5)^{8}}{8} + C$

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = (x^2+9)^{11}2x$ , es decir,

$\displaystyle \int (x^2+9)^{11}2x \, dx$

Notamos que esta función está definida como un producto de funciones y pese a que no hay una regla general para el producto, podemos calcular la integral con una sustitución de variables. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

$t=x^2+9$
$\Rightarrow \ dt = (x^2+9)' dx = 2xdx$

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función $t^{11}$ se calcula de forma directa y obtenemos

$\frac{t^{12}}{12} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

$\displaystyle \int (x^2+9)^{12} \, dx = \frac{(x^2+9)^{12}}{12} + C$

Ejemplo 3

Calcule la integral de $f(x) = \textit{\Large e}^{6x-1}$ , es decir,

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^{6x-1} \, dx$

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

$t=6x-1$
$\Rightarrow \ dt = (6x-1)' dx = 6dx$

Debemos notar que no podemos sustituir el diferencial $dx$ tal como lo hicimos en los ejemplos anteriores porque en este caso $dt=6dx$ , y si nos fijamos en la función original, no aparece el factor $6dx$ . Entonces podemos incluir $t$ pero no $dt$ , ya que no aparece el $6$ que necesitamos para poder sustituir el diferencial $dt$ .

Para solucionar esta situación, multiplicamos y dividimos por $6$ dentro de la integral (básicamente estamos multiplicando por $1$ así que la función permanece inalterada) para obtener

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^{t} \frac{6}{6} \, dx$

Multiplicando el $6$ del numerador por el diferencial $dx$ obtenemos el factor $6dx$ que estamos buscando para sustituir el diferencial $dt$ de la siguiente manera

Como $\frac{1}{6}$ es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

$\displaystyle \frac{1}{6} \int \textit{\Large e}^{t} \, dt = \frac{1}{6} \textit{\Large e}^{t} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^{6x-1} \, dx = \frac{1}{6} \textit{\Large e}^{6x-1} + C$

Nota: Es importante notar que aunque este es el correcto proceder, al final sustituimos $dx$ por $\frac{dt}{6}$ . De esta forma, podemos tomar algunas ligerezas y despejar $dx$ una vez que se ha calculado el diferencial $dt$ . Entonces, haciendo un abuso del lenguaje, podemos en estos casos, considerar los diferenciales $dx$ y $dt$ como si fueran factores para despejarlos en ecuaciones.

Ejemplo 4

Calcule la integral de $f(x) = \frac{1}{5x+8}$ , es decir,

$\displaystyle \int \frac{1}{5x+8} \, dx$

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

$t=5x+8$
$\Rightarrow \ dt = 5dx$
$\Rightarrow \ \frac{dt}{5} = dx$

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Como $\frac{1}{5}$ es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

$\displaystyle \frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{5} \ln|t| + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

$\displaystyle \int \frac{1}{5x+8} \, dx = \frac{1}{5} \ln|5x+8| + C$

Ejemplo 5

Calcule la integral de $f(x) = x\sqrt[3]{-4x^2+1}$ , es decir,

$\displaystyle \int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx$

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

$t=-4x^2+1$
$\Rightarrow \ dt = -8xdx$
$\Rightarrow \ \frac{dt}{-8} = xdx$

Notemos que no siempre es necesario despejar $dx$ enteramente pues en este caso nos basta obtener la expresión $xdx$ ya que $\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx = \int \sqrt[3]{-4x^2+1} \cdot x \, dx$

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Como $\frac{1}{-8}$ es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

$\displaystyle -\frac{1}{8} \int t^{\frac{1}{3}} \, dt = -\frac{1}{8} \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{3}{32} t^{\frac{4}{3}} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

$\displaystyle \int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx = -\frac{3}{32} (-4x^2+1)^{\frac{4}{3}} + C$

Ejemplo 6

Calcule la integral de $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ , es decir,

$\displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx$

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

$t=\ln(x)$
$\Rightarrow \, dt = \frac{1}{x} \, dx$

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Calculamos esta integral de forma directa para obtener

$\frac{t^2}{2} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

$\displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{\left( \ln(x) \right)^2}{2} + C$

En estos ejemplos hemos visto los casos más básicos del Método de Sustitución de Variables para facilitar su entendimiento, sin embargo, hay casos para funciones más complejas en las que se puede usar.

Propiedades de la Integral Indefinida

28.04.202027.03.2024 Anthonny Arias-García6 comentarios

Operaciones entre Integrales
1. Ejemplos

Al considerar funciones elementales, podemos determinar su integral recurriendo a una tabla de integrales, sin embargo, al toparse con operaciones de suma y resta entre dos funciones elementales, es necesario considerar algunas de las propiedades que nos permiten calcular la integral de funciones.

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Operaciones entre Integrales

Empezaremos estudiando la integral de funciones generadas a partir de algunas operaciones básicas entre funciones elementales, particularmente sobre la suma, la resta y la multiplicación por un escalar. Formalmente, Sean $f(x)$ una función y $k$ un escalar, entonces tenemos que

Integral de la Suma

$\displaystyle \int \left[ f(x) + g(x) \right] \ dx = \int f (x) \ dx + \int g (x) \ dx$

Es decir, la integral de la suma de funciones es igual a la suma de la integral de funciones.

Integral de la Resta

$\displaystyle \int \left[ f(x) - g(x) \right] \ dx = \int f (x) \ dx - \int g (x) \ dx$

Es decir, la integral de la resta de funciones es igual a la resta de la integral de funciones.

Integral del Producto por un Escalar

$\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f (x) \ dx$

Coloquialmente hablando, lo que está ocurriendo es que si un escalar está multiplicando a una función, dicho escalar sale de la integral para multiplicar a toda la integral.

Notemos que no se ha definido una propiedad para el producto y la división porque pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DEL PRODUCTO O DIVISIÓN ENTRE DOS FUNCIONES, así que si bien podemos separar las sumas, no podemos separar los productos ni divisiones.

Veamos en los siguientes ejemplos que usando estas propiedades y la tabla de integrales, podemos empezar a calcular la integral de funciones un poco más complejas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = x^2 + x$ , es decir,

$\int (x^2 + x) \, dx$

Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

$\int x^2 dx + \int x \, dx$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$\frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2$

Notemos que para cada una de las funciones, al calcular la integral se han generado dos familias diferentes de antiderivadas, es por esto que hemos usado dos constantes $C_1$ y $C_2$ , sin embargo, podemos agrupar estas dos constantes en una sola constante $C$ y concluir que

$\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = 3x^5 - 2x + 9$ , es decir,

$\int (3x^5 - 2x + 9) dx$

Debemos notar que esta función está definida como la suma de tres funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

$\int 3x^5 \, dx -\int 2x \, dx +\int 9 \, dx$

Tomando en cuenta que algunas de ellas están siendo multiplicadas por escalares, sacamos estos escalares de las integrales para obtener la siguiente expresión

$3\int x^5 \, dx - 2\int x \, dx + \int 9 \, dx$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos y sacado sus escalares, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas,

$3\frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - C_2 + 9x + C_3$

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

$\int (3x^5 - 2x + 9) \, dx = \frac{x^6}{2} - x^2 + 9x + C$

Ejemplo 3

Calcule la integral de $f(x) = 7 \textit{\Large e}^x + \sqrt{x}$ , es decir,

$\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx$

La integral de la función exponencial no debería presentar dificultad alguna pero si nos fijamos en la raíz cuadrada de $x$ , ¿está en la tabla? Claro que sí, pero debemos reescribirla, pues $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces,

$7 \int \textit{\Large e}^x \, dx + \int x^{\frac{1}{2}} \, dx$

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$7 \textit{\Large e}^x + C_1 + \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_2$

Simplificamos operando las fracciones involucradas en el exponente y en el denominador obteniendo

$7 \textit{\Large e}^x + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

Efectuando la división de fracciones involucrada concluimos que

$\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = 7 \textit{\Large e}^x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Ejemplo 4

Calcule la integral de $f(x) = \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x}$ , es decir,

$\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx$

Cada uno de los sumandos se puede reescribir para aplicar la regla del exponente, sin embargo, debemos ser cuidadosos con la función $\frac{1}{x}$ pues al reescribirla como $x^{-1}$ no se puede aplicar la regla del exponente pero no hay de que preocuparse pues la integración de esta es directa de la tabla.

Separemos cada uno de los sumandos y saquemos las constantes,

$6 \int \frac{1}{x^5} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \, dx + 3\int \frac{1}{x} \, dx$

Reescribimos las funciones que se necesiten reescribir,

$6 \int x^{-5} \, dx +-\frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx$

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$6 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) - C_2 + 3 \ln|x| + C_3$

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

$\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx= - \frac{3}{2x^4} + \frac{1}{2x} + 3 \ln|x| + C$

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