Caso: «Mayor que»

Al definir el valor absoluto de un número real, hemos visto que es igual a la distancia entre dicho número y el número cero. Partiendo de esta definición, pudimos definir ecuaciones que involucran el valor absoluto de una variable.

De forma que si queremos determinar todos los números que cuya distancia entre cuya distancia a cero es igual a $5$ , entonces planteamos la siguiente ecuación: $|x| = 5$ y finalmente, determinamos que estos números son $5$ y $-5$ .

Pero, ¿y si queremos determinar todos los números cuya distancia a cero es mayor que $5$ ? Para dar respuesta a esta pregunta, podemos plantear la siguiente inecuación:

$|x| > 5$

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Entonces, ¿qué números satisfacen dicha inecuación? Podemos tantear las respuestas, por ejemplo: el número $2$ no la satisface, pues $|2|=2$ y $2$ no es mayor que $5$ . Así podemos probar con los números $3$ , $4$ y $5$ pero ninguno de estos números satisface la inecuación.

Sin embargo, si consideramos $6$ , $7$ u $8$ podemos ver que estos números sí satisfacen la inecuación y en general podemos decir que cualquier número mayor que $5$ satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación?

La respuesta es no, pues si consideramos $-6$ , $-7$ u $-8$ entonces estos números también satisfacen la inecuación y en general podemos decir que cualquier número menor que $-7$ satisface la inecuación.

Razonando de esta forma, podemos concluir que cualquier número que sea mayor que $5$ o menor que $-5$ satisface la inecuación $|x| > 5$ . Gráficamente, podemos representar todos estos números en la recta real de la siguiente forma:

En general, diremos que al considerar una inecuación de la forma $|x| > a$ , donde $a$ es un número real; la solución viene dada por todos los números mayores que $a$ ó todos los números menores que $a$ , formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

$\Large \left| x \right| > a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x > a \\ \text{\'o} \\ x < -a \end{array} } \right.$

Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si sólo hay empanadas, solo hay pastelitos o hay ambas cosas, igual van a comer.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x+3| > 1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} x + 3 > 1 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x + 3 < -1 & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x + 3 > 1$

$\Rightarrow x > 1 - 3$

$\Rightarrow x > - 2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $-2$ , formalmente,

$(-2,+\infty)$

Solución (2):

$x + 3 < -1$

$\Rightarrow x < -1 - 3$

$\Rightarrow x < - 4$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $-4$ , formalmente,

$(-\infty,-4)$

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)$

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|4x+1| \geq 7$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} 4x+1 \geq 7 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ 4x+1 \leq -7 & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$4x+1 \geq 7$

$\Rightarrow 4x \geq 7 - 1$

$\Rightarrow 4x \geq 6$

$\Rightarrow x \geq \frac{6}{4}$

$\Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$

Solución (2):

$4x+1 \leq -7$

$\Rightarrow 4x \leq -7 - 1$

$\Rightarrow 4x \leq -8$

$\Rightarrow x \leq -\frac{8}{4}$

$\Rightarrow x \leq -2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$(-\infty,-2]$

Solución General:
$(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$

Ejemplo 3: Valor absoluto mayor que un número negativo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad

$|-2x+16| > -8$

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿cuándo un número positivo es mayor que un número negativo?

La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

$\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|2x-1|> -x+3$

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} 2x-1>-x+3 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ 2x-1<-(-x+3) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$2x - 1 > -x + 3$

$\Rightarrow 2x > -x + 3 + 1$

$\Rightarrow 2x > -x + 4$

$\Rightarrow 2x + x > 4$

$\Rightarrow 3x > 4$

$\Rightarrow x > \frac{4}{3}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $\frac{4}{3}$ , formalmente,

$\left( \frac{4}{3},+\infty \right)$

Solución (2):

$2x - 1 < -(-x + 3)$

$\Rightarrow 2x - 1 < x - 3$

$\Rightarrow 2x < x -3 + 1$

$\Rightarrow 2x < x - 2$

$\Rightarrow 2x - x < -2$

$\Rightarrow x < -2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $-2$ , formalmente,

$\left(-\infty,-2 \right)$

Definimos la solución parcial a partir de todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
$\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $-x+3$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|2x-1|> -x+3$ siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)$

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|-3x+2| \geq 4x+1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} -3x+2 \geq 4x+1 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ -3x+2 \leq -(4x+1) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$-3x+2 \geq 4x+1$

$\Rightarrow -3x \geq 4x+1-2$

$\Rightarrow -3x \geq 4x - 1$

$\Rightarrow -3x -4x \geq - 1$

$\Rightarrow -7x \geq - 1$

$\Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7}$

$\Rightarrow x \leq \frac{1}{7}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $\frac{1}{7}$ , formalmente,

$\left(-\infty, \frac{1}{7} \right]$

Solución (2):

$-3x+2 \leq -(4x+1)$

$\Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1$

$\Rightarrow -3x \leq -4x-1-2$

$\Rightarrow -3x \leq -4x - 3$

$\Rightarrow -3x +4x \leq - 3$

$\Rightarrow x < -3$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $-2$ , formalmente,

$\left(-\infty,-2 \right)$

Solución Parcial:
$\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $4x+1$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|-3x+2| \geq 4x+1$ siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$4x+1 < 0 \Rightarrow 4x < -1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]$

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x-2| \geq x+4$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} x-2 \geq x+4 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x-2 \leq -(x+4) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x-2 \geq x+4$

$\Rightarrow x \geq x+4+2$

$\Rightarrow x \geq x+6$

$\Rightarrow x - x \geq 6$

$\Rightarrow 0 \geq 6$

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad $0 \geq 6$ , esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío $\emptyset$ pues no hay ningún valor de $x$ que la satisfaga.

Solución (2):

$x-2 \leq -(x+4)$

$\Rightarrow x-2 \leq -x-4$

$\Rightarrow x \leq -x-4+2$

$\Rightarrow x + x \leq -2$

$\Rightarrow 2x \leq -2$

$\Rightarrow x \leq -\frac{2}{2}$

$\Rightarrow x \leq - 1$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $-1$ , formalmente,

$\left(-\infty,-1 \right]$

Solución Parcial:
$\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x+4$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|x-2| \geq x+4$ siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]$

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x+3| > x-6$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} x+3 > x-6 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x+3 < -(x-6) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x+3 > x-6$

$\Rightarrow x > x - 6 - 3$

$\Rightarrow x > x - 9$

$\Rightarrow x - x > - 9$

$\Rightarrow 0 > - 9$

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad $0 > - 9$ , esta desigualdad es verdadera, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ pues cualquier valor de $x$ que la satisface.

Solución (2):

$x+3 < -(x-6)$

$\Rightarrow x+3 < -x+6$

$\Rightarrow x < -x+6-3$

$\Rightarrow x < -x+3$

$\Rightarrow x + x < 3$

$\Rightarrow 2x < 3$

$\Rightarrow x < \frac{3}{2}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$\left(-\infty, \frac{3}{2} \right]$

Solución Parcial:
$\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x-6$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|x+3| > x-6$ siempre se cumple. Pero notemos que si unimos el conjunto que obtenemos de esta condición, independientemente de cual sea, la solución será la misma: el conjunto de los números reales $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ .

Introducción a las ecuaciones con valor absoluto

29.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es una distancia?

Si consideramos dos objetos posicionados en dos lugares distintos, siempre habrá un espacio que los separa, al espacio más pequeño que los separa, se conoce como la distancia entre ellos dos y es posible medir este espacio fijando patrones, por ejemplo: metros, kilometros, bananas, pies, pulgadas o hasta canchas de fútbol americano.

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto, debemos definir una herramienta que nos permita medir la magnitud de un número.

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¿Qué es el valor absoluto de un número?

Si $a$ es un número real, definimos valor absoluto de $a$ como la distancia que hay entre $a$ número y el número cero. El valor absoluto de $a$ se denota encerrando el número $a$ con dos barras verticales de al siguiente manera $|a|$ y formalmente se expresa así:

$\large \left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{lcr} a & \text{si} & a \geq 0\\ \text{\'o} & & \\ -a & \text{si} & a < 0 \end{array} } \right.$

Ejemplos

Consideremos dos números, uno negativo y otro negativo, y veamos cómo calcular el valor absoluto de estos usando la definición formal:

Ejemplo 1

Si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que $3>0$ , por lo tanto $|3|=3$ . Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número $3$ y el número cero, es igual a $3$ .

Ejemplo 2

Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que $-2<0$ , por lo tanto $|-2|=-(-2)=2$ . Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número $-2$ y el número cero, es igual a $2$ .

Nota: El valor absoluto de cero, es igual a cero, pues la distancia entre el cero y él mismo es igual a cero. Por otra parte, el valor absoluto de cualquier número real distinto de cero, al ser una medida, siempre es un número positivo.

Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: $|x| = 5$ , ¿qué números son los que satisfacen la igualdad? Sabemos que $|5|=5$ por lo que podemos concluir que $x=5$ es una solución de esta ecuación. Sin embargo, debemos notar que $|-5|=5$ , asi que podemos concluir que $x=-5$ también es una solución de esta ecuación.

En vista de que hay dos valores de $x$ que satisfacen la igualdad, entonces la solución de la ecuación está definida por el conjunto $\{-5,5\}$ pues ambos valores satisfacen la ecuación.

De forma general, si consideramos la ecuación $|x| = a$ , entonces los valores que satisfacen esta inecuación son $a$ y el opuesto aditivo de $a$ , es decir, $-a$ . Esto lo podemos expresar con la siguiente equivalencia.

$\displaystyle \Large \left| x \right| = a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = a \\ \text{\'o} \\ x = -a \end{array} } \right.$

Ejemplos

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones lineales que involucran el valor absoluto de una variable.

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x|=7$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left| x \right| = 7 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = 7 \\ \text{\'o} \\ x = -7 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x = 7$

Solución (2):

$x = -7$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-7,7\}$ .

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x+4|=1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|x+4| = 1 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 4 = 1 \\ \text{\'o} \\ x + 4 = -1 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x + 4 = 1$

$\Rightarrow x = 1 - 4$

$\Rightarrow x = - 3$

Solución (2):

$x + 4 = -1$

$\Rightarrow x = -1 - 4$

$\Rightarrow x = - 5$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-3,-5\}$ .

Ejemplo 5

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|-x+5|=9$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|-x+5|=9 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} -x + 5 = 9 \\ \text{\'o} \\ -x + 5 = -9 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$-x + 5 = 9$

$\Rightarrow -x = 9 - 5$

$\Rightarrow -x = 4$

$\Rightarrow x = - 4$

Solución (2):

$-x + 5 = -9$

$\Rightarrow -x = -9 - 5$

$\Rightarrow -x = -14$

$\Rightarrow x = 14$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-4,14\}$ .

Ejemplo 6

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|6x-10|=5$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|6x-10|=5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 6x - 10 = 5 \\ \text{\'o} \\ 6x - 10 = -5 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$6x - 10 = 5$

$\Rightarrow 6x = 5 + 10$

$\Rightarrow 6x = 15$

$\Rightarrow x = \dfrac{15}{6}$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{2}$

Solución (2):

$6x - 10 = -5$

$\Rightarrow 6x = -5 + 10$

$\Rightarrow 6x = 5$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{6}$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ \frac{5}{6} , \frac{5}{2} \right\}$ .

Ejemplo 7: El valor absoluto igual a un número negativo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|2x+7|=-12$

Recordemos que el valor absoluto, al ser una medida, es siempre mayor o igual a cero. Por lo tanto, no existe un valor de $x$ para el cual el valor absoluto sea igual al número negativo $-12$ . En resumen, si nos preguntamos: ¿cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: nunca.

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|2x+1|=x+4$

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta ecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta igualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|2x+1|=x+4 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 2x + 1 = x + 4 \\ \text{\'o} \\ 2x + 1 = -(x + 4) \\ \end{array} } \right.$

Solución (1):

$2x + 1 = x + 4$

$\Rightarrow 2x = x + 4 - 1$

$\Rightarrow 2x = x + 3$

$\Rightarrow 2x - x = 3$

$\Rightarrow x = 3$

Solución (2):

$2x + 1 = -(x + 4)$

$\Rightarrow 2x + 1 = -x - 4$

$\Rightarrow 2x = -x - 4 - 1$

$\Rightarrow 2x = -x - 5$

$\Rightarrow 2x + x = - 5$

$\Rightarrow 3x = - 5$

$\Rightarrow x = - \frac{5}{3}$

Considerando la expresión $x+4$ , no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable $x$ . Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto $\left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}$ .

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x+4$ es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

Si $x=3$ , entonces $x+4 = 3 +4 = 7$ , por lo tanto $x=3$ sí es una solución de la ecuación.
Si $x=-\frac{5}{3}$ , entonces $x+4 = -\frac{5}{3} +4 = \frac{7}{3}$ , por lo tanto $x=-\frac{5}{3}$ sí es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}$ .

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x+7|=2x+5$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|x+7|=2x+5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 7 = 2x + 5 \\ \text{\'o} \\ x + 7 = -(2x + 5) \\ \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x + 7 = 2x + 5$

$\Rightarrow x = 2x + 5 - 7$

$\Rightarrow x = 2x - 2$

$\Rightarrow x -2x = - 2$

$\Rightarrow -x = - 2$

$\Rightarrow x = 2$

Solución (2):

$x + 7 = -(2x + 5)$

$\Rightarrow x + 7 = -2x - 5$

$\Rightarrow x = -2x - 5 - 7$

$\Rightarrow x = -2x - 12$

$\Rightarrow x + 2x = - 12$

$\Rightarrow 3x = - 12$

$\Rightarrow x = - \frac{12}{3}$

$\Rightarrow x = - 4$

Considerando la expresión $2x + 5$ , no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable $x$ . Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto $\left\{-4 , 2 \right\}$ .

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de $x$ para los cuales la expresión $2x + 5$ es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

Si $x=2$ , entonces $2x+5 = 2(2) +4 = 4+4 = 8$ , por lo tanto $x=2$ sí es una solución de la ecuación.
Si $x=-4$ , entonces $2x+5 = 2(-4) +4 = -8+4 = -4$ , por lo tanto $x=-4$ no es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ 2 \right\}$ .

Inecuaciones Cuadráticas, caso «menor que»

27.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1, «menor que»
  2. Ejemplo 2, «menor o igual que»

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el segundo caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «menor que» o «menor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c < 0$

Tomando en cuenta que si conocemos las raíces del polinomio $ax^2 + bx + c$ , éste se puede reescribir como el producto de dos factores y de esta forma, desarrollamos una técnica para calcular la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la Ley de los Signos para la Multiplicación y planteando la siguiente pregunta:

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es negativo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por menos es menos y menos por más es menos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q < 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q < 0\\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q > 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los $p$ y $q$ deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» ( $\leq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$(x+4) \cdot (x-1) < 0$

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x+4)$ y $(x-1)$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+4 > 0 & \text{y} & x-1 < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+4 < 0 & \text{y} & x-1 > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -4 & \text{y} & x < 1 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -4 & \text{y} & x > 1 & (2) \end{array} } \right.$

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-4,+\infty)$ y $(-\infty,1)$ así

$(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-4)$ y $(1,+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos igual al conjunto vacío. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si alguien lleva una u otra cosa o ambas cosas, igual van a comer.

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^2 + x - \dfrac{3}{4} \leq 0$

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son $a=1$ , $b=1$ y $c=-\frac{3}{4}$ , planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

$\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ 1 \pm 2 }{ 2 } \end{array}$

Así, las raíces del polinomio cuadrático x^2 + x – \dfrac{3}{4} son $x_1 = -\frac{ 1 }{ 2 }$ y $x_2 = \frac{ 3 }{ 2 }$ , por lo tanto, podemos factorizarlo como $(x - ( -\frac{ 1 }{ 2 } )) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

$\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0$

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x + \frac{ 1 }{ 2 } ) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+\frac{ 1 }{ 2 } > 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+\frac{ 1 }{ 2 } < 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x < \frac{ 3 }{ 2 } & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x > \frac{ 3 }{ 2 } & (2) \end{array} } \right.$

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que $-\frac{1}{2}$ y menores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\frac{1}{2},+\infty)$ y $(-\infty,\frac{3}{2})$ así

$\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]$

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que $-\frac{1}{2}$ y mayores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-\frac{1}{2})$ y $(\frac{3}{2},+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset$

Solución General:
$\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]$

Inecuaciones Cuadráticas, caso «mayor que»

25.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1, «mayor que»:
  2. Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el primero caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «mayor que» o «mayor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c > 0$

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es positivo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por más es más y menos por menos es más, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q > 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q > 0 \\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q < 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los números $p$ y $q$ deben ser ambos positivos al mismo tiempo o ambos negativos al mismo tiempo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «mayor o igual» ( $\geq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

También pudiera interesarte

Ejemplos

Ejemplo 1, «mayor que»:

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$(x-2) \cdot (x+3) > 0$

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x-2)$ y $(x+3)$ , ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x-2 > 0 & \text{y} & x+3 > 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x-2 < 0 & \text{y} & x+3 < 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > 2 & \text{y} & x > -3 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < 2 & \text{y} & x < -3 & (2) \end{array} } \right.$

Solución (1):

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(2,+\infty)$ y $(-3,+\infty)$ así

$(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)$

Solución (2):

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\infty,2)$ y $(-\infty,-3)$ así

$(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)$

Solución General:
$(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)$

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si sólo hay empanadas, solo hay pastelitos o hay ambas cosas, igual van a comer.

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^2 + 6x + 8 \geq 0$

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son $a=1$ , $b=6$ y $c=8$ , planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

$\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ -6 \pm 2 }{ 2 } \end{array}$

Así, las raíces del polinomio cuadrático $x^2 + 6x + 8$ son $x_1 = -2$ y $x_2 = -4$ , por lo tanto, podemos factorizarlo como $(x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 ))$ y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

$(x +2) \cdot (x +4) \geq 0$

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x+2)$ y $(x+4)$ , ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+2 > 0 & \text{y} & x+4 > 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+2 < 0 & \text{y} & x+4 < 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -2 & \text{y} & x > -4 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -2 & \text{y} & x < -4 & (2) \end{array} } \right.$

Solución (1):

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -2 y mayores que -4 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $[-2,+\infty)$ y $[-4,+\infty)$ así

$[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)$

Solución (2):

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -2 y menores que -4 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(-\infty,-4)$ así

$(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]$

Solución General:
$[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]$

Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos más básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática.

Intervalos

24.11.201923.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares pues al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

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Intervalos no acotados

Definimos los intervalos no acotados, como aquellos intervalos que contienen a todos los números mayores que un número fijo. Formalmente, sea $a$ un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a, hasta más infinito

$\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ , pero no contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, hasta más infinito

$\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ , y sí contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo abierto en a, desde menos infinito

$\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)$
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (excluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que $a$ , pero no contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, desde menos infinito

$\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]$
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (incluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que $a$ , y sí contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalos acotados

Sentando base en los intervalos que van hasta o desde el infinito, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales $a$ y $b$ tal que $a < b$ , entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b) = (a,b)$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, no contiene a $a$ y no contiene a $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

$[a,+\infty) \cap (-\infty,b) = [a,b)$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, sí contiene a $a$ y no contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b] = (a,b]$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, no contiene a $a$ y sí contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b)= [a,b]$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, sí contiene a $a$ y sí contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos y así, facilitar su ilustración de una forma más intuitiva. Veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.