R: Formulario del Modelo Clásico de Regresión Lineal

18.11.202020.04.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

A continuación se presentan las fórmulas usadas para desarrollar la teoría del Modelo Clásico de Regresión Lineal (MCRL), acompañadas por su sintaxis en R de forma respectiva.

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Medias

Media de la variable X:

$\dfrac{\sum X_i}{n}$

m.X <- sum(X)/length(X)
# o también
m.X <- mean(X)

Media de la variable Y:

$\dfrac{\sum Y_i}{n}$

m.Y <- sum(Y)/length(Y)
# o también
m.Y <- mean(Y)

Estimadores

Pendiente

$\hat{\beta}_2 = \dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}$

beta2 <- sum((X - m.X)*(Y - m.Y))/sum((X - m.X)^2)

Intercepto

$\hat{\beta}_1 = \overline{Y} - \hat{\beta}_2 \overline{X}$

beta1 <- m.Y - beta2*m.X

Residuos

$\hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i$

res <- Y - Y.e

$\sum \hat{u}_i^2 = \sum( Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2$

SCR <- sum(res^2)

$\sum \hat{u}_i^2 = \sum y_i^2 - \dfrac{(\sum x_i y_i)^2}{\sum x_i^2}$

SCR <- sum((Y-Y.e)^2) - (sum((X-m.X)*(Y-m.Y)))^2/sum((X-m.X)^2)

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Varianza y Error Estándar

$var(\hat{\beta}_2) = \dfrac{\sigma^2}{\sum x_i^2}$

$ee(\hat{\beta}_2) = \dfrac{\sigma}{ \sqrt{\sum x_i^2} }$

var.beta1 <- sigma2.e*sum( X^2 )/(length(X) * sum( (X-m.X)^2 ))
ee.beta1 <- sqrt(var.beta1)

$var(\hat{\beta}_1) = \dfrac{ \sum X_i^2 }{n \sum x_i^2} \cdot \sigma^2$

$ee(\hat{\beta}_1) = \sqrt{ \dfrac{ \sum X_i^2 }{n \sum x_i^2} } \cdot \sigma$

var.beta1 <- sigma2.e*sum( X^2 )/(length(X) * sum( (X-m.X)^2 ))
ee.beta1 <- sqrt(var.beta1)

$\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\sum \hat{u}_i^2}{n-2}$

sigma2.e <- SCR/(lenght(X)-2)

$\hat{\sigma} = \sqrt{\dfrac{\sum \hat{u}_i^2}{n-2}}$

ee.e <- sqrt(sigma2.e)

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Covarianza

$cov(\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_2) = - \overline{X} var(\hat{\beta}_2)$

cov.b1b2 <- -m.X (sigma2.e/sum((X-m.X)^2))

Bondad de Ajuste

$r^2 = \dfrac{SCE}{SCT} = \dfrac{\sum (\hat{y}_i - \overline{Y})^2}{\sum (Y_i - \overline{Y})^2}$

r2 <- sum((Y.e - m.Y)^2)/sum((Y - m.Y)^2)

$r^2 = 1 - \dfrac{SCR}{SCT} = 1 - \dfrac{ \sum \hat{u}_i^2}{\sum (Y_i - \overline{Y})^2}$

r2 <- 1 - sum((Y - Y.e)^2)/sum((Y - m.Y)^2)

$r^2 = \dfrac{(\sum x_i y_i)^2}{\sum x_i^2 \sum y_i^2}$

r2 <- (sum((X-m.X)*(Y-m.Y))^2/(sum((X - m.X)^2)*sum((Y - m.Y)^2))

$r = \dfrac{\sum x_i y_i}{\sqrt{\sum x_i^2 \sum y_i^2}}$

r <- sum((X-m.X)*(Y-m.Y))/sqrt(sum((X - m.X)^2)*sum((Y - m.Y)^2))

$r^2 = \dfrac{(\sum y_i \hat{y}_i)^2}{(\sum y_i^2) (\sum \hat{y}^2)}$

r2 <- (sum(Y-m.Y)*(Y-Y.e))^2/(sum((Y - m.Y)^2)*sum((Y - Y.e)^2))

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Estadísticos

Estadístico F

$F = \dfrac{\hat{\beta}_2^2 \sum x_i^2}{ \hat{\sigma}^2 }$

F.c <- beta2^2 * sum((X-m.X)^2)/sigma2.e
#p-value de F.c
pf(F.c,1,length(X)-2,lower.tail = F)

Estadístico t

# Dos colas
qt(alpha/2,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)

# Una cola
qt(alpha,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)

Estadístico chi cuadrado $\mathbf{\chi}^2$

# Cola izquierda
qchisq(alpha/2,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)

# Cola derecha
qchisq(1-alpha/2,df=df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)

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Intervalos de Confianza

$\hat{\beta}_2 \pm t_{\alpha/2} ee(\hat{\beta}_2)$

li.beta2 <- beta2 - qt(alpha/2, df=length(escolaridad)-2,lower.tail=F)*ee.beta2
ls.beta2 <- beta2 + qt(alpha/2, df=length(escolaridad)-2,lower.tail=F)*ee.beta2

$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2} ee(\hat{\beta}_1)$

li.beta1 <- beta1 - qt(alpha/2, df=length(escolaridad)-2,lower.tail=F)*ee.beta1
ls.beta1 <- beta1 + qt(alpha/2, df=length(escolaridad)-2,lower.tail=F)*ee.beta1

$P \left[ (n-2) \dfrac{\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{\alpha/2}} \leq \sigma^2 \leq (n-2) \dfrac{\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}} \right] = 1-\alpha$

li.sigma2 <- (length(escolaridad)-2)*sigma2.e/qchisq(alpha/2,df=length(escolaridad)-2,lower.tail=F)
ls.sigma2 <- (length(escolaridad)-2)*sigma2.e/qchisq(1-alpha/2,df=length(escolaridad)-2,lower.tail=F)

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Predicción

$\hat{Y}_o = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_0$

latex Y.0 <- beta1 + beta2*X.0

Varianza de la Predicción Media

$var(\hat{Y}_0) = \sigma^2 \left[ \dfrac{1}{n} + \dfrac{(X_0 - \overline{X})^2}{\sum x_i^2} \right]$

$ee(\hat{Y}_0) = \sigma\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{(X_0 - \overline{X})^2}{\sum x_i^2} }$

varm.Y.0 <- sigma2.e*(1/length(X)+(X.0-m.X)^2/sum((X-m.X)^2))
eem.C.0 <- sqrt(varm.C.0)

Intervalo de Confianza de la Predicción Media

$P \big[ \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_0 - t_{\alpha/2} ee(\hat{Y}_0) \leq \beta_1 + \beta_2 X_0 \leq \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_0 + t_{\alpha/2} ee(\hat{Y}_0) \big] = 1 - \alpha$

li.C.0 <- beta1 + beta2*X.0 - qt(0.025,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)*eem.C.0
ls.C.0 <- beta1 + beta2*X.0 + qt(0.025,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)*eem.C.0

Varianza de la Predicción Individual

$var(Y_0 - \hat{Y}_0) = E[Y_0 - \hat{Y}_0]^2 = \sigma^2 \left[ 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{(X_0 - \overline{X})^2}{\sum x_i^2} \right]$

$ee(\hat{Y}_0) = \sigma\sqrt{1+\dfrac{1}{n} + \dfrac{(X_0 - \overline{X})^2}{\sum x_i^2} }$

vari.Y.0 <- sigma2.e*(1+1/length(X)+(X.0-m.X)^2/sum((X-m.X)^2))
eei.C.0 <- sqrt(vari.C.0)

Intervalo de Confianza de la Predicción Media

$P \big[ \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_0 - t_{\alpha/2} ee(\hat{Y}_0) \leq \beta_1 + \beta_2 X_0 \leq \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_0 + t_{\alpha/2} ee(\hat{Y}_0) \big] = 1 - \alpha$

li.C.0 <- beta1 + beta2*X - qt(0.025,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)*eei.C.0
ls.C.0 <- beta1 + beta2*X + qt(0.025,df=length(X)-2,lower.tail = FALSE)*eei.C.0

Propiedades de los Determinantes

17.11.202006.04.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcular determinantes, ya sea por el Método de Laplace o por el Método de Sarrus puede resultar en un proceso extenso, es por esto que estudiaremos con detenimiento cómo la forma en la que está definida una matriz, nos puede ahorrar tiempo a la hora de calcular el determinante.

También pudiera interesarte

En esta sección están expuestas las siguientes propiedades con sus respectivos ejemplos:

Determinante del Producto de Matrices

Si consideramos dos matrices cuadradas $A$ y $B$ , el determinante del producto entre estas dos matrices $A \times B$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ multiplicado por el determinante de la matriz $B$ , es decir,

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,

Determinante del Producto de Matrices | totumat.com

El producto de estos dos determinantes es igual a -588, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Ejemplo 2

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a -405, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Ejemplo 3

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a 2064, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Ejemplo 4

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a -4851, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Determinante de la matriz transpuesta

Si consideramos una matriz cuadrada $A$ , el determinante de la matriz transpuesta $A^T$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ , es decir, $\left| A \right| = \left| A^T \right|$ .

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Ejemplo 6

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Ejemplo 7

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Ejemplo 8

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Determinante de descomponer elementos como sumandos

Si consideramos una matriz y descomponemos todos los elementos de una fila en dos sumandos, el determinante de la matriz se puede descomponer como la suma de dos determinantes donde la primera matriz contiene sólo los primeros sumandos y la otra matriz contiene sólo los segundos sumandos.

Formalmente, si consideramos una matriz $A$ donde cada elemento elemento $a_{ij}$ de la fila $i$ se puede descomponer como $a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}$ , entonces tenemos que

Determinante de descomponer elementos como sumandos | totumat.com

Por otra parte, si consideramos una matriz $A$ donde cada elemento elemento $a_{ij}$ de la columna $i$ se puede descomponer como $a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}$ , entonces tenemos que

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila $1$ .

Descomponemos los elementos de la fila $1$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Ejemplo 10

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna $1$ .

Descomponemos los elementos de la columna $1$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Ejemplo 11

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila $2$ .

Descomponemos los elementos de la fila $2$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Ejemplo 12

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna $1$ .

Descomponemos los elementos de la columna $1$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Determinante de multiplicar un escalar por una fila o columna

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta al multiplicar una fila o una columna por un escalar $k$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ multiplicada por el escalar $k$ , es decir, $k \cdot \left| A \right|$

Determinante de multiplicar un escalar por fila o columna | totumat.com

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $9$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $9 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la fila 1 por la el escalar 9 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 14

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $5$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $5 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 5 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 15

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $6$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $6 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 16

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $4$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $4 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la columna 1 por la el escalar 4 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de multiplicar un escalar por una matriz

Si consideramos una matriz $A$ cuadrada de tamaño $n$ , el determinante de la matriz que resulta al multiplicar esta matriz por un escalar $k$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ multiplicada por el escalar $k$ elevado a la $n$ , es decir, $k^n \cdot \left| A \right|$

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

Ejemplos

Ejemplo 17

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar $3$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $3^2 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la matriz $A$ por la el escalar 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 18

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar $6$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $6^3 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la matriz $A$ por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con fila o columna cero

Si consideramos una matriz $A$ tal que al menos una de sus filas o una de sus columnas está compuesta de ceros, el determinante esta matriz es igual a cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 19

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 20

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 21

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 22

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas iguales

Si consideramos una matriz $A$ tal que al menos dos de sus filas o al menos dos de sus columnas son iguales, el determinante esta matriz es igual a cero. Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 23

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas o sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 24

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 25

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra

Si consideramos una matriz $A$ tal que al menos una de sus filas o al menos una de sus columnas es proporcional a otra, es decir, que está expresada como un múltiplo de otra, el determinante esta matriz es igual a cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 26

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 27

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 28

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 29

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes

Si consideramos una matriz $A$ tal que el conjunto de sus filas o el conjunto de sus columnas es linealmente dependiente, es decir, tal que al menos una de sus filas o al menos de sus columnas está expresada como combinación lineal de las otras, el determinante esta matriz es igual a cero.

También podemos afirmar que si las filas o las columnas de una matriz son linealmente independientes, entonces su determinante es distinto de cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 30

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la fila $1$ está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 31

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la fila $3$ está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 32

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la columna $1$ está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 33

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la columna $2$ está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con intercambio de filas o columnas

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta de intercambiar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ pero con signo contrario, es decir, igual a $-\left| A \right|$ .

Formalmente, si intercambiamos la fila $i$ por la $j$ , tenemos que

Por otra parte, si intercambiamos la columna $i$ por la $j$ , tenemos que

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

Ejemplos

Ejemplo 34

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 35

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la columna 1 por la columna 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 36

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 37

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la columna 1 por la columna 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta de sumar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ .

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 38

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $2$ a la fila $3$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $2$ a la fila $3$ .

Ejemplo 39

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $3$ a la fila $1$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $3$ a la fila $1$ .

Ejemplo 40

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $1$ a la columna $2$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $1$ a la columna $2$ .

Ejemplo 41

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $3$ a la columna $2$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $3$ a la columna $2$ .

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta de sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar o de sumar a columna otra columna multiplicada por un escalar, es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ .

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

Ejemplos

Ejemplo 42

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $4$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $4$ .

Ejemplo 43

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $3$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $3$ .

Ejemplo 44

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $1$ a la columna $3$ multiplicada por $10$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $1$ a la columna $3$ multiplicada por $10$ .

Ejemplo 45

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $3$ a la columna $2$ multiplicada por $7$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $3$ a la columna $2$ multiplicada por $7$ .

Determinante de la Matriz Inversa

Si consideramos $A$ una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de $A$ como una nueva matriz $A^{-1}$ que cumple con la siguiente condición:

$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}$

El determinante de la matriz inversa de $A$ se puede deducir fácilmente de las otras propiedades y es exactamente igual al inverso multiplicativo del determinante de $A$ , es decir,

$|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$

Esto se debe a

$A^{-1} \times A = \mathbf{I}$
$\Rightarrow \ | A^{-1} \times A | = |\mathbf{I}|$
$\Rightarrow \ | A^{-1} | \cdot | A | = 1$
$\Rightarrow \ | A^{-1} | = \dfrac{1}{| A |}$

Operaciones entre filas y columnas de una matriz

13.11.202008.05.2024 Anthonny Arias-García4 comentarios

Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

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Operaciones elementales por fila

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación $f_i \longleftrightarrow f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la fila $3$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

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Suma de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{31}$ es igual a $-3$ .

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{51}$ es igual a $11$ .

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si $i$ es una fila de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la fila $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow k \cdot f_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la fila $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la fila $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la fila $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la fila $5$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Matrices equivalentes por filas

Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz $B$ se obtiene a partir de una matriz $A$ a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices $A$ y $B$ son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

$A \stackrel{f}{\sim} B$

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ , haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad $\mathbf{I}$ .

Método de Reducción Gaussiana | totumat.com

Operaciones elementales por columna

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación $c_i \longleftrightarrow c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la columna $3$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Suma de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ , entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si $i$ es una columna de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la columna $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow k \cdot c_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la columna $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la columna $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Desigualdades

02.11.202020.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Tipos de Desigualdades

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

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Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo $>$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo. Por ejemplo:

$10 > 8$ , se lee diez es mayor que ocho.
$3 > -9$ , se lee tres es mayor que menos nueve.
$-5 > -16$ , se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo $\geq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$7 \geq 4$ , se lee siete es mayor o igual que cuatro.
$10 \geq -7$ , se lee diez es mayor o igual que menos siete.
$-1 \geq -4$ , se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
$3 \geq 3$ , se lee tres es mayor o igual que tres.
$-8 \geq -8$ , se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo $<$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo. Por ejemplo:

$2 < 5$ , se lee dos es menor que 5.
$-13 < 0$ , se lee menos trece es menor que cero.
$-6 < -2$ , se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo $\leq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$11 \leq 20$ , se lee diez es menor o igual que veinte.
$-3 \leq 14$ , se lee menos tres es menor o igual que catorce.
$-22 \leq -9$ , se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
$6 \leq 6$ , se lee seis es menor o igual que seis.
$-10 \leq -10$ , se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, podemos ir más allá y establecer relaciones entre números representados con una incógnita, esto lo haremos planteando inecuaciones.

El punto de equilibrio del mercado

31.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Una vez que hemos estudiado las ecuaciones de demanda y las ecuaciones de oferta, es claro que los productores prefieren vender a un precio alto y los consumidores prefieren comprar a un precio bajo, es por esto que se debe llegar a un consenso entre ambas partes de forma que ninguna de las dos se vea perjudicada.

Recordando que estas ecuaciones definen rectas, podemos, de forma matemática, establecer este consenso definiendo el punto de equilibrio del mercado como el punto de intersección entre ambas rectas. Gráficamente, está interpretado de la siguiente forma:

Calculando el punto de equilibrio, es posible fijar el precio de un artículo, de forma que los consumidores demandarán la misma cantidad de unidades que los productores están ofertando. Dicho precio será conocido como el precio de equilibrio y las cantidades serán conocidas como cantidades de equilibrio.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo calcular el punto de equilibrio en una economía simple una vez que ya contamos con las ecuaciones de demanda y oferta.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las ecuaciones $p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}$ y $p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$ que describen la demanda y la oferta de zanahorias en una pequeña tienda de verduras de la ciudad. Calcule el punto de equilibrio de este mercado.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}$
$p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{10}{3} - \frac{215}{9}$

$\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{185}{9}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{185}{9} \ }{-\frac{20}{9}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{37}{4}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e = \frac{37}{4} \approx 9,25$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e = \frac{37}{4}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{37}{4} \right) + \frac{10}{3} = \frac{75}{4} \approx 18,75$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{37}{4}, \frac{75}{4} \right) = (9,25 \ ; \ 18,75)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Ejemplo 2

Considerando las ecuaciones $p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$ y $p = \frac{7}{8} \cdot q - 5$ que describen la demanda y la oferta zapatos para dama en una zapatería. Calcule el punto de equilibrio de este mercado.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$

$p = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

$\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = -5 - \frac{7795}{44}$

$\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{8015}{44}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{8015}{44} \ }{-\frac{147}{88}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{2290}{21}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e=\frac{2290}{21} \approx 109.04$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e=\frac{2290}{21}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{2290}{21} \right) - 5 = \frac{1085}{12} \approx 90,41$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{2290}{21} , \frac{1085}{12} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Impuestos Especiales

Como parte de sus políticas económicas, los gobiernos tienden a aplicar impuestos adicionales sobre ciertos artículos con el fin de generar más ingresos, por otra parte, también se dan subsidios a los productores con el fin de que disminuir los precios de ciertos artículos y así los consumidores puedan acceder a dichos artículos con mayor facilidad.

Al estudiar las ecuaciones de demanda y oferta, una vez fijado el precio de un artículo, este precio cuenta con dos interpretaciones dependiendo de cuál de los dos entes involucrados se están estudiando, concretamente, si consideramos $(p,q)$ el punto equilibrio del mercado, entonces

Para los consumidores, $p$ denota el precio que pagarán a cambio de $q$ unidades del artículo. Es por esto que en ocasiones se llama precio del demandante y se denota con $p_d$ o por su nombre en inglés consumer price y se denota con $p_c$ .
Para los productores, $p$ denota el precio que recibirán a cambio de $q$ unidades del artículo. Es por esto que en ocasiones se llama precio del oferente y se denota con $p_o$ o por su nombre en inglés supplier price y se denota con $p_s$ .

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado

Supongamos que el gobierno impone un impuesto de $t$ Perolitos (Ps.) sobre un determinado artículo. Entonces, los productores de este artículo estarán recibiendo $t$ Ps. menos por cada unidad de dicho artículo, esto en comparación con el precio que los consumidores pagan, es decir, $p_o = p_d - t$ .

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Entonces, si originalmente $p_o = m \cdot q + b$ es la ecuación de oferta del artículo, entonces, la ecuación de oferta una vez que se ha fijado el impuesto de $t$ Ps. quedará expresada de la forma $p_d - t = m \cdot q + b$ y despejando $p_d$ , obtenemos que

$p_d = m \cdot q + b + t$

Gráficamente, se está trasladando la curva de oferta original en $t$ unidades hacia arriba en el Eje P, generando así, un nuevo punto de equilibrio de la siguiente forma

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, como la imposición de un impuesto afecta el punto de equilibrio del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando en cuenta que el precio que se ha fijado un impuesto de $2$ Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

$p - 2 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} + 2$

$\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{16}{3}$

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}$

$p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{16}{3}$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{16}{3}$

$\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{16}{3} - \frac{215}{9}$

$\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{167}{9}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{167}{9} \ }{-\frac{20}{9}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{167}{20}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e = \frac{167}{20} \approx 8,35$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e = \frac{167}{20}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{167}{20} \right) + \frac{16}{3} = \frac{77}{4} \approx 19,25$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{167}{20}, \frac{77}{4} \right) = ( 8,35 \ ; \ 19,25)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano para comparar ambas ecuaciones de oferta.

La curva de oferta una vez que se impone el impuesto es una traslación de la curva de oferta original en $2$ unidades hacia arriba en el Eje P. Este aumento en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original $(9,25 \ ; \ 18,75)$ con el nuevo punto de equilibrio $(8,35 \ ; \ 19,25)$ , notamos que la demanda baja de $9,25$ unidades a $8,35$ unidades.

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Ejemplo 2

Considerando las ecuaciones $p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$ y $p = \frac{7}{8} \cdot q - 5$ que describen la demanda y la oferta de zapatos para dama en una zapatería. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de $8$ Ps. por unidad.

Tomando en cuenta que el precio que se ha fijado un impuesto de $8$ Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

$p - 8 = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

$\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 + 8$

$\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q + 3$

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$

$p = \frac{7}{8} \cdot q + 3$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q + 3$

$\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = 3 - \frac{7795}{44}$

$\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{7663}{44}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{7663}{44} \ }{-\frac{147}{88}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{15326}{147}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e=\frac{15326}{147} \approx 104,25$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e=\frac{15326}{147}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{15326}{147} \right) + 3 = \frac{7915}{84} \approx 94,22$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{15326}{147} , \frac{7915}{84} \right) = (104.25 \ ;\ 94,22)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

La curva de oferta una vez que se impone el impuesto es una traslación de la curva de oferta original en $8$ unidades hacia arriba en el Eje P. Este aumento en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original $(109,04 \ ; \ 90,41 )$ con el nuevo punto de equilibrio $(104,25 \ ;\ 94,22)$ , notamos que la demanda baja de $109,04$ unidades a $104,25$ unidades.

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Efecto del subsidio en el equilibrio del mercado

Supongamos que el gobierno otorga un subsidio de $s$ Perolitos (Ps.) a los productores de determinado artículo. Entonces, los productores de este artículo estarán recibiendo $s$ Ps. más por cada unidad de dicho artículo, esto en comparación con el precio que los consumidores pagan, es decir, $p_o = p_d + s$ .

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Entonces, si originalmente $p_o = m \cdot q + b$ es la ecuación de oferta del artículo, entonces, la ecuación de oferta una vez que se ha otorgado el subsidio de $s$ Ps. quedará expresada de la forma $p_d + s = m \cdot q + b$ y despejando $p_d$ , obtenemos que

$p_d = m \cdot q + b - s$

Gráficamente, se está trasladando la curva de oferta original en $s$ unidades hacia abajo en el Eje P, generando así, un nuevo punto de equilibrio de la siguiente forma

Efecto del subsidio en el equilibrio del mercado | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo otorgar un subsidio afecta el punto de equilibrio del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando en cuenta que el precio que se ha otorgado un subsidio de $2$ Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

$p + 2 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3} - 2$

$\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{4}{3}$

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}$

$p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{4}{3}$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{4}{3}$

$\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{4}{3} - \frac{215}{9}$

$\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{203}{9}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{203}{9} \ }{-\frac{20}{9}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{203}{20}$

$\Rightarrow \ q \approx 10,15$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e = \frac{203}{20} \approx 10,15$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e = \frac{203}{20}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{203}{20} \right) + \frac{4}{3} = \frac{73}{4} = 18,25$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{203}{20} , \frac{73}{4} \right) = (10,15 \ ;\ 18,25)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano para comparar ambas ecuaciones de oferta.

La curva de oferta una vez que se otorga el subsidio es una traslación de la curva de oferta original en $2$ unidades hacia abajo en el Eje P. Esta disminución en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original $(9,25 \ ; \ 18,75)$ con el nuevo punto de equilibrio $(10,15 \ ;\ 18,25)$ , notamos que la demanda sube de $9,25$ unidades a $10,15$ unidades.

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Ejemplo 2

Tomando en cuenta que el precio que se ha otorgado un subsidio de $8$ Ps. por unidad, entonces tendremos una nueva ecuación de oferta definida por

$p + 8 = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

$\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5 - 8$

$\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 13$

Contando con esta nueva ecuación de oferta, definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$

$p = \frac{7}{8} \cdot q - 13$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q - 13$

$\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = -13 - \frac{7795}{44}$

$\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{8367}{44}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{8367}{44} \ }{-\frac{147}{88}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{5578}{49}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e = \frac{5578}{49} \approx 113,83$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e = \frac{5578}{49}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{5578}{49} \right) - 13 = \frac{2425}{28} \approx 86,60$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{5578}{49} , \frac{2425}{28} \right) = (113,83 \ ;\ 86,60)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

La curva de oferta una vez que se otorga el subsidio es una traslación de la curva de oferta original en $8$ unidades hacia abajo en el Eje P. Esta disminución en el precio tiene un impacto en la demanda, pues si consideramos el punto de equilibrio original $(109,04 \ ; \ 90,41 )$ con el nuevo punto de equilibrio $(113,83 \ ;\ 86,60)$ , notamos que la demanda sube de $109,04$ unidades a $113,83$ unidades.

Medias

Estimadores

Pendiente

Intercepto

Residuos

Varianza y Error Estándar

Covarianza

Bondad de Ajuste

Estadísticos

Estadístico F

Estadístico t

Estadístico chi cuadrado

Intervalos de Confianza

Predicción

Varianza de la Predicción Media

Intervalo de Confianza de la Predicción Media

Varianza de la Predicción Individual

Intervalo de Confianza de la Predicción Media

Comparte

Determinante del Producto de Matrices

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Determinante de la matriz transpuesta

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Determinante de descomponer elementos como sumandos

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Determinante de multiplicar un escalar por una fila o columna

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Determinante de multiplicar un escalar por una matriz

Ejemplos

Ejemplo 17

Ejemplo 18

Determinante de una matriz con fila o columna cero

Ejemplos

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Ejemplo 21

Ejemplo 22

Determinante de una matriz con filas o columnas iguales

Ejemplos

Ejemplo 23

Ejemplo 24

Ejemplo 25

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra

Ejemplos

Ejemplo 26

Ejemplo 27

Ejemplo 28

Ejemplo 29

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes

Ejemplos

Ejemplo 30

Ejemplo 31

Ejemplo 32

Ejemplo 33

Determinante de una matriz con intercambio de filas o columnas

Ejemplos

Ejemplo 34

Ejemplo 35

Ejemplo 36

Ejemplo 37

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas

Ejemplos

Ejemplo 38

Ejemplo 39

Estadístico chi cuadrado $\mathbf{\chi}^2$