Combinatorias

06.03.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Entonces, considerando cinco personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

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Considerando una colección de objetos distintos, una r-combinación de estos es simplemente una forma de escoger $r$ de estos objetos (sin importar el orden), en términos de conjuntos, podemos decir que una r-combinación es cualquier subconjunto de tamaño $r$ de la colección de objetos. Por ejemplo, si tenemos cinco bolas, una azul, una roja, una amarilla, una verde y una naranja; una 3-combinación es la siguiente:

Entonces, considerando todas las 3-combinaciones, incluyendo la que ya vimos, tenemos:

En total podemos contar diez 3-combinaciones, pero listar todas las combinaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos tomar tres bolas de las cinco bolas, contemos primero todas las 3-permutaciones posibles:

Para fijar la primera bola, podemos considerar cinco opciones. Notemos que si contamos combinaciones, cualquiera de las tres posiciones es indiferente.

Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo cuatro opciones. Notemos que si contamos combinaciones, cualquiera de las dos posiciones restantes es indiferente.

Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo tres opciones. Notemos que si contamos combinaciones, la última posición es indiferente.

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de 3-permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .

Pero debemos tomar en cuenta que la posición en la que estas se encuentran es indiferente, el Método del Producto nos indica que la cantidad total posiciones indiferentes será el producto de las posiciones indiferentes cuando se ha fijado cada bola, es decir, $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .

De esta forma, el Método de la División nos indica que la cantidad de 3-combinaciones, será la división de todas las 3-permutaciones entre todos los casos indiferentes, es decir,

$\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{60}{6} = 10$

De formar general, si consideramos n objetos distintos, el total de r-combinaciones distintas se calcula con la siguiente división:

$\frac{n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ (n - r + 1)}{r \ \cdot \ (r-1) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 1}$

Las r-combinaciones de $n$ objetos se denota de la forma $C(n,r)$ , y usando permutaciones, también podemos reescribir el cociente que las definen de la siguiente forma:

$\frac{P(n,r)}{P(r,r)}$

Usando expresiones factoriales, también podemos expresar las r-combinaciones como el coeficiente binomial:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Tomando en cuenta que el factorial de cero es igual a uno, es decir, $latex0! = 1$. Entonces, notamos que una n-combinación de una colección de n objetos, es exactamente igual a uno. Veamos con algunos ejemplos como contar todas las r-combinaciones en distintas situaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Este problema se puede abordar contando todas las 3-combinaciones posibles de cinco objetos y estas son:

$C(5,3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$

Ejemplo 2

Considerando una bolsa con siete bolas de distinto color, si se sacan cuatro bolas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sacar cuatro de ellas?

Este problema se puede abordar contando todas las 4-combinaciones posibles de siete objetos y estas son:

$C(7,4) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Ejemplo 3

En una carrera de 100 metros planos compiten ocho personas, si a las tres últimas personas se les da un premio por participar indistintamente, ¿de cuántas formas posibles pueden otorgarse estos premios al culminar esta carrera?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-combinaciones posibles de ocho objetos y estas son:

$C(8,3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Permutaciones

04.03.202107.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando tres personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

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Considerando una colección de objetos distintos, una permutación de estos es simplemente una forma de ordenarlos uno tras otro. Por ejemplo, si tenemos tres bolas, una azul, una roja y una amarilla, una permutación es la siguiente:

Y reordenándolas, consideremos todas las permutaciones, incluyendo la que ya vimos

En total podemos contar seis permutaciones, pero listar todas las permutaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos entonces recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos ordenar estas tres bolas:

Para fijar la primera bola, podemos considerar tres opciones.

Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo dos opciones.

Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo una opción.

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .

De formar general, si consideramos $n$ objetos distintos, el total de permutaciones distintas se calcula con el siguiente producto:

$n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ (n-2) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1$

Este producto se puede resumir usando la notación de factorial, que se expresa con un signo de exclamación de la siguiente forma:

$n!$

Veamos con algunos ejemplos como contar todas las permutaciones en distintas situaciones.

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