Funciones Trascendentes

28.12.201908.04.2023 Anthonny Arias-García2 comentarios

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma $x^n$ donde $n$ es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes o Funciones Trascendentales. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

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Función Exponencial

Si $a$ es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de $a$ multiplicado por él mismo $n$ veces, donde $n$ es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}$

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$a^0 = 1$
$a^1 = a$
$a^{-1} = \frac{1}{a}, \ a \neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

Definimos la función exponencial como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=a^x$ . Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando $a=\text{\Large e}$ , que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente $2.71828182846\ldots$ . Graficamos la función $f(x)=\text{\Large e}^{x}$ de la siguiente forma:

Note que cuando $x$ adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

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Función Logarítmica

Si $a$ un número natural, $b$ un número positivo y $c$ un número real. Entonces definimos el logaritmo base $a$ como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

$\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b$

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(a) = 1$
$\log_a(a^n) = n$

Se define entonces la función logaritmo base $b$ de $x$ como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \log_b(x)$ . Al escribir $\log(x)$ se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de $x$ . Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como $f(x)=\log_\text{e}(x)$ y su notación es $f(x)=\ln(x)$ . Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma:

Note que cuando $x$ adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.

Las funciones elementales

27.12.201923.03.2023 Anthonny Arias-García5 comentarios

En las matemáticas, existen funciones muy particulares que sientan la base para definir otras funciones más complejas, a este conjunto de funciones se les llama Funciones Elementales. Veamos entonces cada una de estas, definiendo su dominio más grande y su rango. Además, veremos la representación gráfica de éstas en el plano cartesiano.

Visualmente, identificamos el dominio de una función trazando rectas verticales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el dominio si una recta corta a la curva que define la función $f$ y al Eje X al mismo tiempo.

Visualmente, identificamos el rango de una función trazando rectas horizontales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el rango si una recta corta a la función $f$ y al Eje Y al mismo tiempo.

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Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como $f(x) = x^q$ , con $q \in \mathbb{Q}$ . A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Funciones Algebraicas

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En ocasiones denotaremos esta función con la letra $I$ , de la siguiente forma $I(x)=x$ .

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [0,+\infty]$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real $x$ con la $x$ -ésima parte de $1$ .

Imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre $x$ personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño $\frac{1}{x}$ . Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una.

Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero, por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función $\frac{1}{x^2}$ , es muy parecida a la función $\frac{1}{x}$ , salvo que ésta es positiva cuando los valores de $x$ son negativos. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

$Rgo(f) = (0,\infty)$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido decrecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número $x$ se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt{x}$ . Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = [0,+\infty)$

$Rgo(f) = [0,+\infty)$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número $x$ se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt[3]{x}$ . Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Funciones Trascendentes

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma $x^n$ donde $n$ es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

Función Exponencial

Si $a$ es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de $a$ multiplicado por él mismo $n$ veces, donde $n$ es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}$

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$a^0 = 1$
$a^1 = a$
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = (0,+\infty)$

Note que cuando $x$ adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Función Logarítmica

Si $a$ un número natural, $b$ un número positivo y $c$ un número real. Entonces definimos el logaritmo base $a$ como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

$\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b$

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(a) = 1$
$\log_a(a^n) = n$

$Dom(f) = (0,+\infty)$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

Note que cuando $x$ adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.

Funciones Trigonométricas

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que $\pi$ es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

Función Seno

Definimos el seno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = sen(x)$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

Función Coseno

Definimos el coseno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = cos(x)$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que esta función es igual a cero para los valores de $x$ tales que $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , además repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

Función Tangente

Definimos la tangente del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario, que será también el cociente del seno de $\alpha$ entre el coseno de $\alpha$ . Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: Dom(f) \rightarrow [-1,1], \ f(x) = tan(x)$

$Dom(f) = \{ x : x \neq (2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{N} \}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que a medida que esta función se acerca a $-\frac{\pi}{2}$ esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje $x=-\frac{\pi}{2}$ , por otra parte a medida que se acerca a $\frac{\pi}{2}$ esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje $x=\frac{\pi}{2}$ . Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , donde $k$ es un número entero.

Funciones Reales

26.12.201923.03.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Qué es una función?

Las funciones constituyen un importante elemento de las matemáticas pues a través de ellas se pueden definir relaciones entre cualquier tipo de conjuntos ricas en propiedades. Veremos cuales son las funciones más básicas que podemos definir sentándonos en los números reales, sin embargo, el universo de funciones va mucho más allá.

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Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , definimos una función que va desde el conjunto $A$ hasta el conjunto $B$ como una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento del conjunto $A$ con un único elemento de $B$ . Al conjunto $A$ lo llamaremos conjunto de salida y al conjunto $B$ lo llamaremos conjunto de llegada.

Usualmente denotaremos a las funciones con la letra $f$ , entonces una función que va de $A$ en $B$ se denota como

$f: A \longrightarrow B$

y formalmente diremos que corresponde a cada elemento $a \in A$ con un único elemento $b \in B$ . Consideremos algunos ejemplos para entender mejor este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A=\{ 1, 2 \}$ y $B=\{ a, b \}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow b$

Esta regla de correspondencia sí determina una función, ya que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A=\{ 1, 2, 3 \}$ y $B=\{ a, b, c, d \}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow b$
$3 \rightarrow c$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que al elemento $d \in B$ no lo hemos correspondido con ningún elemento, se mantiene el hecho de que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A={ 1, 2, 3 }$ y $B={ a, b, c }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow a$
$3 \rightarrow b$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que los elementos $1 \in A$ y $2 \in A$ los hemos correspondido con el mismo elemento $a \in B$ , se mantiene el hecho de que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función

Sean $A={ 1, 2, 3 }$ y $B={ a, b, c }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$1 \rightarrow b$
$2 \rightarrow b$
$3 \rightarrow c$

Esta regla de correspondencia no determina una función. Pues podemos notar inmediatamente que al elemento $1 \in A$ no lo hemos correspondido con un único elemento de $B$ si no con dos elementos, que en este caso son $a,b \in B$ .

Ejemplo 5: Regla general para una función particular

Sean $A=\mathbb{N}$ y $B={ 1 }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow 1$
$2 \rightarrow 1$
$3 \rightarrow 1$
$4 \rightarrow 1$
$\vdots$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Sin embargo, aunque podemos hacernos una idea de todas las correspondencias que ésta hace, no podemos listarlas todas de forma exhaustiva.

Es por esto que podemos decir que en general, para cualquier elemento $n \in \mathbb{N}$ , podemos definir esta regla de correspondencia así:

$n \rightarrow 1$

Ejemplo 6: Notación de función

Formalmente, si correspondemos a un elemento $a \in A$ con un único elemento $b \in B$ , la notación para definir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos a través de una función $f$ es la siguiente:

$f(a) = b$
Esta expresión se lee f de a es igual b.

Entonces en nuestro último ejemplo, podemos definir la función de la siguiente forma:

$f: \mathbb{N} \longrightarrow { 1 }, \ f(n) = 1$

Ejemplo 7: Notación de función

Sean $A=\mathbb{N}$ y $B=\mathbb{N}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$f(n) = n$

Esta regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con él mismo, sí determina una función.

Dominio de una función

Definimos el dominio de una función $f: A \rightarrow B$ como el conjunto de elementos donde ella está definida y lo denotamos como $Dom(f)$ .

Es importante notar que el dominio de la función $f$ es exactamente igual al conjunto de salida, es decir, el conjunto $A$ .

Rango de una función

Si $a$ es un elemento del dominio de la función $f$ , diremos que $f(a)$ es la imagen de $a$ a través de la función $f$ .

Definimos el rango de la función $f: A \rightarrow B$ como el conjunto de todas las imágenes del conjunto $A$ a través de la función $f$ y lo denotamos como $Rgo(f)$ .

Es importante notar que el rango de la función $f$ está contenido en el conjunto de llegada, es decir, el conjunto $B$ .

Funciones Reales

Definiremos las funciones reales como aquellas funciones cuyo conjunto de salida es el conjunto de los números reales y el conjunto de llegada es el conjunto de los números reales, es decir, definidas como

$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$

Si consideramos la variable $y=f(x)$ . Se llama a la variable $x$ como variable independiente y a la variable $y$ como variable dependiente. Esto se debe a que los valores que tendrá la expresión que define a $y=f(x)$ depende enteramente de la variable $x$ . La expresión $f(x)$ se lee f de x.

A partir de las variable independiente $x$ y la variable dependiente $y$ , podemos definir pares ordenados y así, expresar a las funciones reales con subconjuntos en el Plano Cartesiano, de la siguiente forma:

$\left\{ \big( x , y \big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: y = f(x) \right\}$

Definiendo la regla general de correspondencia de una función, podemos indicar con claridad qué valores son los que estamos correspondiendo evaluando la función, es decir, sustituyendo el valor de la variable independiente por un número real dado y así determinar el valor de la variable dependiente con quien ha sido correspondido.

Veamos en los siguientes ejemplos como evaluar funciones en un número real.

Ejemplos: evaluación de funciones

Ejemplo 8

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=x$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=2$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $2$ de la siguiente forma:

$f(2)=2$

Esto quiere decir que la función corresponde al número dos con el número dos.

Ejemplo 9

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=-x+3$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=5$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $5$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(5)= -(5)+3 = -2$

Esto quiere decir que la función corresponde al número cinco con el número menos dos.

Ejemplo 10

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=x^2 + 6$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=-1$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $-1$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(-1)= (-1)^2+6 = 1+6 = 7$

Esto quiere decir que la función corresponde al número menos uno con el número siete.

Ejemplo 11

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=\sqrt{x} - 8$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=9$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $9$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(9)= \sqrt{9} - 8 = 3-8 = -5$

Esto quiere decir que la función corresponde al número nueve con el número menos cinco.

Punto de Intersección entre dos rectas | totumat.com

El Punto de Intersección entre dos rectas

23.12.201905.06.2024 Anthonny Arias-García8 comentarios

Si dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos rectas es el punto donde ellas dos son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ y = m_1 x + b_1$

$l_2 : \ y = m_2 x + b_2$

El punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no indagaremos sobre este tema pues notando que las rectas están expresadas de la forma pendiente ordenada, simplemente igualaremos las expresiones que las definen para posteriormente calcular el valor de las incógnitas.

Veamos con algunos ejemplos como calcular el punto de intersección entre dos rectas utilizando esta técnica.

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = 3x-3$ y $l_2 : y = -x + 1$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = 3x-3$
$l_2 : \ y = -x + 1$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$3x-3 = -x + 1$

$\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3$

$\Rightarrow \ 4x = 4$

$\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}$

$\Rightarrow \ x = 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $y$ . Sustituyamos el valor de $x=1$ en $l_1$ :

$y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0$

Notemos que si sustituimos el valor de $x=1$ en la recta $l_2$ , obtenemos el mismo valor para $y$ :

$y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = (1,0)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 2

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -4x-2$ y $l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = -4x-2$
$l_2 : \ y = \frac{1}{4}x + 3$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3$

$\Rightarrow \ -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2$

$\Rightarrow \ -\frac{17}{4}x = 5$

$\Rightarrow \ x = -\frac{20}{17}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=-\frac{20}{17}$ . Sustituyamos este valor en $l_1$ :

$y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow \ y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow \ y = \frac{46}{17}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 3

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = x+5$ y $l_2 : y = 2$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta horizontal, simplemente sustituimos el valor de $y$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $x$ . Entonces, si $y=2$ tenemos que

$2 = x+5 \Rightarrow \ -x = 5-2 \Rightarrow \ -x = 3 \Rightarrow \ x = -3$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -3 , 2 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 4

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2$ y $l_2 : x = -1$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta vertical, simplemente sustituimos el valor de $x$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $y$ . Entonces, si $x=-1$ tenemos que

$y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow \ y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow \ y = \frac{11}{5}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 5

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -3$ y $l_2 : x = 4$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_1$ una recta horizontal y $l_2$ una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de intersección entre ellas dos es $(4,-3)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

Hemos visto los casos de intersecciones donde las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$
$l_2 : \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

Nuevamente, el punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Sin embargo, la forma de abordar este tipo de casos es ligeramente diferente a caso pendiente-ordenada.

En estos casos no tiene sentido igualar la dos expresiones que definen las rectas, así que la técnica para hallar la solución consiste en efectuar operaciones entre ambas ecuaciones para anular una de las dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones.

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$ y $l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 2 x + 2 y - 1 = 0$
$l_2 : \ - 2 x + y + 4 = 0$

En este caso particular, podemos notar que en una ecuación está la expresión $2x$ y en la otra, la expresión $-2x$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $y$ , y así obtener el valor $y_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x + 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y = -3$

$\Rightarrow \ y = -\frac{3}{3}$

$\Rightarrow \ y = - 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y=-1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y=-1$ en $l_1$ :

$2 x + 2 (-1) - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 2 - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 3 = 0$

$\Rightarrow \ 2x = 3$

$\Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 7

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$ y $l_2 : x + y - 2 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ x + y - 2 = 0$

En el caso anterior pudimos anular con relativa sencillez la variable $x$ pero en este caso particular, podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por $5$ obtenemos

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ 5x + 5y - 10 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $-5y$ y en la otra, la expresión $5y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$8x + 0y - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8x - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8y = 8$

$\Rightarrow \ y = \frac{8}{8}$

$\Rightarrow \ y = 1$

$3 (1) - 5 y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ 3 - 5y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ -5x + 5 = 0$

$\Rightarrow \ -5x = -5$

$\Rightarrow \ x = \frac{-5}{-5}$

$\Rightarrow \ x = 1$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( 1, 1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 8

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0$ y $l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 6 x - 5 y + 4 = 0$
$l_2 : \ 4 x + 3 y - 5 = 0$

En este caso debemos notar que las variables están acompañadas por distintos coeficientes, así que no basta con multiplicar sólo una ecuación para anular términos. Debemos entonces, multiplicar ambas ecuaciones por números que nos ayuden a anular sumandos. Multipliquemos la primera ecuación por $4$ y la segunda ecuación por $-6$ .

$l_1 : \ 24 x - 20 y + 16 = 0$
$l_2 : \ -24 x - 18 y + 30 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $24x$ y en la otra, la expresión $-24y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x - 38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y = -36$

$\Rightarrow \ y = \frac{38}{36}$

$\Rightarrow \ y = \frac{19}{18}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y = \frac{19}{18}$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y = \frac{19}{18}$ en $l_2$ :

$4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x - \frac{11}{6} = 0$

$\Rightarrow \ 4 x = \frac{11}{6}$

$\Rightarrow \ x = \frac{11}{24}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Rectas paralelas, rectas secantes y rectas perpendiculares

22.12.201922.03.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

Al considerar dos rectas $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ podemos establecer dos tipos de interacciones entre ellas, recordando que las rectas en realidad definen conjuntos en el plano cartesiano, consideremos los dos casos posibles.

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Rectas Paralelas

En términos de conjuntos, diremos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es el conjunto vacío.

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir,

$m_1 = m_2$ .

Gráficamente, diremos que dos rectas son paralelas si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas paralelas | totumat.com — dos rectas que nunca se encuentran

Rectas que se cortan (secantes)

En términos de conjuntos, diremos que dos rectas se intersectan o son secantes si tienen exactamente un elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es un solo punto (en algunos textos se dice intersecan, sin embargo, al hablar de las rectas como de conjuntos usaremos la palabra intersectan).

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que se intersectan si sus pendientes son diferentes, es decir,

$m_1 \neq m_2$

Gráficamente, diremos que dos rectas se intersectan en un solo punto si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas que se cortan en un solo punto | totumat.com

Rectas Perpendiculares

Más aún, diremos que si dos rectas que se intersectan, estas son perpendiculares si forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a $-1$ , es decir,

$m_1 \cdot m_2 = -1$

Gráficamente, diremos que dos rectas que se intersectan en un solo punto, son perpendiculares, si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas perpendiculares | totumat.com

Considerando este tipo de interacciones, veamos algunos ejemplos en los que la información de una recta puede ser usada para calcular la ecuación de otra sabiendo cómo se relacionan estas dos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (1,4)$ y es paralela al la recta $l_2 : y = -2x -2$

Al observar la ecuación de la recta $l_1$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = -2$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas paralelas, la pendiente $m_1 = m_2 = -2$ .

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,4)$ y tiene pendiente $m_1 = -2$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - 4) = -2 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 4 = -2x - 1$
$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -2(0) + 3 \Rightarrow \ y = 3$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,3)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -2x + 3 \Rightarrow \ 2x = 3 \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{3}{2},0 \right)$

Rectas paralelas y rectas que se cortan | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (2,-3)$ y es perpendicular a la recta $l_2 : y = 3x + 1$

Al observar la ecuación de la recta $l_2$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = 3$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas perpendiculares, tenemos que el producto de las pendientes $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Sabiendo esto, despejamos la pendiente que estamos buscando:

$m_1 \cdot 3 = -1 \Rightarrow \ m_1 = -\frac{1}{3}$

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-3)$ y tiene pendiente $m_1 = 3$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - (-3)) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$
$\Rightarrow \ y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
$\Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}(0) - \frac{7}{3} \Rightarrow \ y = - \frac{7}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0 , - \frac{7}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} \Rightarrow \ \frac{1}{3}x = - \frac{7}{3} \Rightarrow \ x = - 7$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -7 , 0 \right)$

Función Exponencial

Función Logarítmica

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Funciones Algebraicas

Función Identidad

Función Cuadrática

Función Cúbica

Función de proporcionalidad inversa

Función Raíz Cuadrada

Función Raíz Cúbica

Funciones Trascendentes

Función Exponencial

Función Logarítmica

Funciones Trigonométricas

Función Seno

Función Coseno

Función Tangente

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¿Qué es una función?

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Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

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Ejemplo 6: Notación de función

Ejemplo 7: Notación de función

Dominio de una función

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Ejemplos: evaluación de funciones

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Ejemplo 9

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

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Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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Rectas Paralelas

Rectas que se cortan (secantes)

Rectas Perpendiculares

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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