Autor: Anthonny Arias-García

Sub-Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

Operaciones entre Funciones y su Dominio

Anthonny Arias-García5 comentarios
  1. Dominio de Operaciones entre Funciones
    1. Dominio de la suma de dos funciones
    2. Dominio de la resta de dos funciones
    3. Dominio del producto entre dos funciones
    4. Dominio del cociente entre dos funciones
  2. Ejemplos
    1. Ejemplo 1: Dominio de la suma de dos funciones
    2. Ejemplo 2: Dominio de la resta de dos funciones
    3. Ejemplo 3: Dominio del producto entre dos funciones
    4. Ejemplo 4: Dominio del cociente entre dos funciones

Hasta ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible definir nuevas funciones a partir de ellas haciendo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre funciones elementales.

Consideremos dos funciones f : A \longrightarrow B y g : C \longrightarrow D. Entonces, podemos definir la suma, resta, multiplicación o división entre estas dos funciones como una nueva función cuyas imágenes son el resultado de la suma, resta, multiplicación o división entre las imágenes correspondientes, respectivamente. Lo interesante de este tipo de operaciones es que el dominio la nueva función se verá restringido.

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Dominio de Operaciones entre Funciones

Dominio de la suma de dos funciones

La imagen de x a través de la suma de las funciones f y g es la suma de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f + g \big)(x) = f(x) + g(x)

Dom\big( f + g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio de la resta de dos funciones

La imagen de x a través de la resta de las funciones f y g es la resta de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f - g \big)(x) = f(x) - g(x)

Dom\big( f - g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio del producto entre dos funciones

La imagen de x a través del producto de las funciones f y g es el producto de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f \cdot g \big)(x) = f(x) \cdot g(x)

Dom\big( f \cdot g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio del cociente entre dos funciones

La imagen de x a través del cociente de las funciones f entre g es el cociente de las imágenes respectivas, formalmente,

\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}

Dom \left( \dfrac{f}{g} \right) = Dom(f) \cap Dom(g) - \{x : g(x) = 0 \}

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Veamos con algunos ejemplos como determinar el dominio de algunas funciones definidas como el resultado de la operación entre funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1: Dominio de la suma de dos funciones

Sean f(x)=x^2 y g(x)=5x definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f + g \big)(x) = x^2 + 5x

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f + g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}

Ejemplo 2: Dominio de la resta de dos funciones

Sean f(x)=\sqrt{x} y g(x)=7x+1 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f - g \big)(x) = \sqrt{x} - (7x+1)

Considerando que Dom(f) = [0,+\infty) y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = [0,+\infty) \cap \mathbb{R} = [0,+\infty)

Ejemplo 3: Dominio del producto entre dos funciones

Sean f(x)=-\text{\rm e}^{x-7} y g(x)=\frac{1}{x+2}+2 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( -\text{\rm e}^{x-7} \big) \cdot \left( \frac{1}{x+2}+2 \right)

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}-\{-2\}, entonces concluimos que

Dom(f \cdot g) = \mathbb{R} \cap \left ( \mathbb{R}-\{-2\} \right) = \mathbb{R} - \{-2\}

Ejemplo 4: Dominio del cociente entre dos funciones

Sean f(x)=\ln(x+3)-5 y g(x)=\sqrt[4]{-x+6}+10 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{ 4\ln(x+3)-5}{\sqrt[4]{-x+6}+10}

Considerando que Dom(f) = (-3,+\infty) y que Dom(g) = [-\infty,6] , entonces concluimos que

Dom(\dfrac{f}{g}) = (-3,+\infty) \cap [-\infty,6] - \{ 6 \} = (-3,6] - {6} = (-3,6)

Ejemplos resueltos – Transformación de funciones

Anthonny Arias-García7 comentarios
  1. Ejemplo 1: Transformación de una función cuadrática
  2. Ejemplo 2: Transformación de una función raíz cuadrada
  3. Ejemplo 3: Transformación de una función de proporcionalidad inversa
  4. Ejemplo 4: Transformación de una función logarítmica
  5. Ejemplo 5: Transformación de una función exponencial

Al graficar funciones elementales transformadas, se sugiere ver paso a paso cada una de las alteraciones que se han hecho sobre esta, de esta forma puede entender con mayor detalle su gráfico en el plano cartesiano. Veamos entonces algunos ejemplos de transformaciones de funciones elementales.

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Ejemplo 1: Transformación de una función cuadrática

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=x^2+1.

Paso I: x^2.

Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: x^2+1.

Trasladamos la función hacia arriba en 1 unidad.

Paso III: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [1,+\infty)

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Ejemplo 2: Transformación de una función raíz cuadrada

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=\sqrt{x+1}.

Paso I: \sqrt{x}. Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: \sqrt{x+1}. Trasladamos la función hasta el punto donde se anula el argumento, es decir, hasta el punto donde x+1=0. Por lo tanto, se traslada hasta x=-1.

Paso III: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = [-1,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

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Ejemplo 3: Transformación de una función de proporcionalidad inversa

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=\dfrac{1}{x+3}-2.

Paso I: \frac{1}{x}. Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: \dfrac{1}{x+3}. Trasladamos la función hasta el punto donde se anula el argumento, es decir, hasta el punto donde x+3=0. Por lo tanto, se traslada hasta x=-3.

Paso III: \dfrac{1}{x+3}-2. Trasladamos la función hacia abajo en 2 unidades.

Paso IV: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = \mathbb{R}-\{ -3 \}

Rgo(f) = \mathbb{R}-\{ -2 \}

Nota: Cuando hay más de una transformación involucrada es conveniente aplicarlas de adentro hacia afuera, es decir, considerar las alteraciones que están dentro del argumento y después las que están fuera.

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Ejemplo 4: Transformación de una función logarítmica

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=\ln(-x+3)-1.

Paso I: \ln(x). Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: \ln(-x). Multiplicamos el argumento por -1, pasando lo que está a la derecha del Eje Y hacia la izquierda.

Paso III: \ln(-x+3). Trasladamos la función hasta el punto donde se anula el argumento, es decir, hasta el punto donde -x+3=0. Por lo tanto, se traslada hasta x=3.

Paso IV: \ln(-x+3)-1. Trasladamos la función hacia abajo en 1 unidad.

Paso V: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = (-\infty,3)

Rgo(f) = \mathbb{R}

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Ejemplo 5: Transformación de una función exponencial

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función |{\rm e}^{x}-1|.

Paso I: {\rm e}^{x}. Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: {\rm e}^{x}-1. Trasladamos la función hacia abajo en 1 unidad.

Paso III: |{\rm e}^{x}-1|. Aplicamos el valor absoluto a la función, pasando lo que está por debajo del Eje X hacia arriba y lo que está por encima del Eje X, permanece igual. Notando que el eje imaginario ahora estará en 1.

Paso IV: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty)

¡Feliz año nuevo!

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Transformación de funciones

Anthonny Arias-García6 comentarios
  1. Traslación de Funciones
    1. Traslaciones en el Eje Y
    2. Traslaciones en el Eje X
  2. Reflexión de Funciones
    1. Respecto al Eje X
    2. Respecto al Eje Y
  3. Valor Absoluto de una Función
  4. Contracción y expansión de Funciones
    1. Respecto al Eje X
    2. Respecto al Eje Y

Las funciones elementales tienen variaciones que vienen dadas cuando se altera la expresión que las define al sumar, restar, multiplicar o dividir por un escalar.

Para entender las transformaciones de funciones o alteraciones que podemos efectuar sobre una función elemental, dibujemos primero el bosquejo de la gráfica de una función a la cual le podamos efectuar las transformaciones. Consideremos f(x) una función que pasa por el origen, es decir, tal que f(0)=0 y sea a > 0 un número real. Supongamos que la gráfica de la función f(x) es la siguiente:

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Traslación de Funciones

Traslaciones en el Eje Y

Si consideramos la función f(x) + a, estamos sumando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia arriba en el Eje Y de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x) - a, estamos restando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia abajo en el Eje Y de la siguiente forma:

Notemos que hemos sumado a fuera de la función, es decir, hemos sumando a a la función como un todo. Es por esto que la traslación se ha dado en el Eje Y. Básicamente, lo que está ocurriendo es que si y=f(x) estamos graficando y \pm a. A continuación veremos una traslación que altera la imagen de la función si no las pre-imágenes de esta, es decir, los elementos del dominio.

Traslaciones en el Eje X

Para entender este tipo de traslaciones debemos tener claro el concepto de argumento de la función. Al considerar una función, cada elemento de su dominio será una pre-imagen de ésta y el argumento de la función será la expresión que define estas pre-imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender mejor esta idea:

  • Si f(x)=x, la expresión que define el argumento de la función es x.
  • Si f(x)=x^2, estamos considerando la función cuadrática y la expresión que define el argumento es x.
  • Si f(x)=(x+1)^2, la expresión que define el argumento de esta función cuadrática es x+1. Hemos restado 1 al argumento de la función x^2.
  • Si f(x)=\sqrt{x+3}, la expresión que define el argumento de la función es x+3. Hemos sumado 3 al argumento de la función \sqrt{x}.
  • Si f(x)=\dfrac{1}{x-2}, la expresión que define el argumento de la función es x-2. Hemos restado 2 al argumento de la función \frac{1}{x}.
  • Si f(x)=\text{\rm \Large e}^{2x+7}, la expresión que define el argumento de la función es 2x+7. Hemos multiplicado por 2 y sumado 7 en el argumento de la función \text{\rm \Large e}^{x}.
  • Si f(x)=\ln(x-8), la expresión que define el argumento de la función es x-8. Hemos restado 8 al argumento de la función \ln(x).

Si consideramos la función f(x+a), estamos sumando a a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x+a)=0 \Rightarrow x + a = 0 \Rightarrow x=-a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en -a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la izquierda en el Eje X de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x-a), estamos restando a a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x-a)=0 \Rightarrow x - a = 0 \Rightarrow x=a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la derecha en el Eje X de la siguiente forma:

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Reflexión de Funciones

Respecto al Eje X

Si consideramos la función -f(x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X pasan a estar por debajo y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si consideramos la función f(-x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las pre-imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las pre-imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la derecha y todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la izquierda de la siguiente forma:

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Valor Absoluto de una Función

Si consideramos el Valor Absoluto la función f(x), es decir, |f(x)|, debemos tomar en cuenta que

|f(x)| = f(x) \text{ si } f(x) > 0
ó
|f(x)| = -f(x) \text{ si } f(x) < 0

Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función permanecen positivas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X permanecen inalterados y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

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Contracción y expansión de Funciones

Al considerar funciones, definimos un escalar simplemente como un número constante, que tal como lo dice su nombre, altera la escala de estas.

Respecto al Eje X

Si a>1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más rápido, haciendo que se expanda la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Si a<1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más lento, haciendo que se contraiga la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si a<1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen después de lo que la alcanzaba, haciendo que se expanda la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:

Si a>1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen antes de lo que la alcanzaba, haciendo que se contraiga la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:

Funciones Trigonométricas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Función Seno
  2. Función Coseno
  3. Función Tangente

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que \pi es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

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Función Seno

Definimos el seno del ángulo \alpha como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = sen(x)

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud 2\pi durante todo su dominio.

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [-1,1]

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Función Coseno

Definimos el coseno del ángulo \alpha como el cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = cos(x)

Note que esta función es igual a cero para los valores de x tales que x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, además repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud 2\pi durante todo su dominio.

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [-1,1]

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Función Tangente

Definimos la tangente del ángulo \alpha como el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario, que será también el cociente del seno de \alpha entre el coseno de \alpha. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

f: Dom(f) \rightarrow [-1,1], \ f(x) = tan(x)

Note que a medida que esta función se acerca a -\frac{\pi}{2} esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje x=-\frac{\pi}{2}, por otra parte a medida que se acerca a \frac{\pi}{2} esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje x=\frac{\pi}{2}. Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, donde k es un número entero.

Dom(f) = \{x \in \mathbb{R} : x \neq (2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}\}

Rgo(f) = \mathbb{R}