La Ecuación General de la Recta

19.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

Al definir las rectas, hemos dicho que la ecuación canónica de la recta permite expresar de forma analítica, cualquier recta en el plano cartesiano, sin embargo, hay un tipo de rectas que no se puede expresar de esta forma.

Para entender esto, veamos la ecuación punto-punto y estudiemos dos casos que nos interesarán de forma particular. Si consideramos dos puntos en el plano cartesiano, digamos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , dependiendo de los valores de valores que estos tengan en el Eje X y eje Y, se pudieran presentar los siguientes casos:

Si $y_2 = y_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{0}{r}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.
Si $x_2 = x_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{r}{0}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.

De esta forma, podemos notar que en el primer caso, la pendiente es nula y; en el segundo caso, la pendiente no está definida, pues la división entre cero no está definida. Entonces, ¿cómo definimos las rectas que pasan a través de estos puntos?

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La Ecuación General de la Recta

Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar de forma general, todas las rectas en el plano cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como una ecuación explícita, sino como una ecuación implícita. Es decir, no como una variable ( $y$ ) que depende explícitamente de otra variable ( $x$ ), sino como una relación entre ambas variables.

Entonces, si $a$ , $b$ y $c$ son números reales tal que $a$ y $b$ no son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables $x$ y $y$ a través de una igualdad de la siguiente forma:

$ax + by + c = 0$

De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

Si $a = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $y=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si $b = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $x=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X y su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (1,2)$ y $P_2 = (-3,2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{2 - 2}{-3 - 1}$
$= \frac{0}{-4}$
$= 0$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$
$\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 2 = 0$
$\Rightarrow \ y = 2$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 2$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(x,2)$ .

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Ejemplo 2

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-1,5)$ y $P_2 = (-1,-2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es $-1$ . Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}$
$= \frac{-7}{0}$

La división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
$\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)$
$\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))$
$\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )$
$\Rightarrow \ x + 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = - 1$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $x = -1$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(-1,y)$ .

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente trazar la recta que pasa a través de estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos cómo hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $x + y - 1 = 0$ .

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ y = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,1)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(1,0)$

Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $2x - 3y + 4 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0$
$\Rightarrow \ -3y = -4$
$\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}$
$\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, \frac{4}{3} \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0$
$\Rightarrow \ 2x = -4$
$\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}$
$\Rightarrow \ x = -2$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(-2,0)$

Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $5x - y - 1 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ - y = 1$
$\Rightarrow \ y = - 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, -1 \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ 5x = 1$
$\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{1}{5} , 0 \right)$

Ecuación Punto-Punto

18.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

La fórmula de la Ecuación Punto-Punto
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al considerar un punto adicional, a través de ambos puntos punto, sólo pasará una única recta. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable $y$ en relación a la variable $x$ .

Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en $y$ entre el incremento en $x$ y para esto usamos la siguiente fórmula:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ planteando la siguiente fórmula:

$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$
ó
$\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)$

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con dos puntos de ella.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (2,2)$ y $P_2 = (3,3)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{3 - 2}{3 - 2}$

$= \dfrac{1}{1}$

$= 1$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y - 2 = x - 2$

$\Rightarrow \ y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-4,1)$ y $P_2 = (3,-1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{-1 - 1}{3 - (-4)}$

$= \dfrac{-2}{7}$

$= -\dfrac{2}{7}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_2$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$

$\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 3)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7}$

$\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) - \frac{1}{7} \Rightarrow \ y = -\frac{1}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,-\frac{1}{7} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = -\frac{1}{7} \Rightarrow \ x = -\frac{1}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{1}{2} , 0 \right)$

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-2,-2)$ y $P_2 = (5,1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{5 - (-2)}{1 - (-2)}$

$= \dfrac{7}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}$

$\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = \frac{7}{3} (0) + \frac{8}{3} \Rightarrow \ y = \frac{8}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,\frac{8}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} \Rightarrow \ -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3} \Rightarrow \ x = -\frac{8}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{8}{7} , 0 \right)$

Ecuación Punto-Pendiente

14.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al fijar un ángulo de inclinación, a través de dicho punto, sólo pasará una única recta que tenga ese ángulo de inclinación. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

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La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente

Si una recta pasa por un punto en el plano cartesiano, digamos $(x_0, y_0)$ y su ángulo de inclinación induce una pendiente de $m$ , podemos determinar la ecuación que la define planteando la siguiente fórmula:

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

A esta fórmula la llamaremos ecuación punto-pendiente y a partir de esta igualdad, podemos determinar la ecuación canónica de dicha recta, simplemente despejando la variable $y$ .

Veamos con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con estos dos elementos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,1)$ y tiene pendiente $m=1$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow (y - 1) = 1 \cdot (x - 1)$

$\Rightarrow y - 1 = x - 1$

$\Rightarrow y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(5,2)$ y tiene pendiente $m=3$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 3 \cdot (x - 5)$

$\Rightarrow \ y - 2 = 3x - 15$

$\Rightarrow \ y = 3x - 13$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 3x - 13$ y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma $(x,0)$ y $(0,y)$ . Entonces,

$x= 0 \Rightarrow y = 3(0) - 13 \Rightarrow y = - 13$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,-13)$

$y= 0 \Rightarrow 0 = 3x - 13 \Rightarrow -3x = - 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{13}{3},0 \right)$

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-1)$ y tiene pendiente $m=-2$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow \ (y - (-1)) = -2 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -2x + 4$

$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma $(x,0)$ y $(0,y)$ . Entonces,

$x= 0 \Rightarrow y = -2(0) + 3 \Rightarrow y = 3$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,3)$

$y= 0 \Rightarrow 0 = -2x + 3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{3}{2},0 \right)$

Rectas

13.12.201912.04.2026 Anthonny Arias-García7 comentarios

La Recta Identidad

Una vez que hemos definido el Plano Cartesiano enfocaremos nuestro interés en estudiar subconjuntos de él, por ejemplo, consideremos todos los puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano que cumplen con la condición $y=x$ , es decir,

$\{ (x,y) : y=x, x \in R \}$ .

Para entender mejor este conjunto, podemos hacer una representación gráfica considerando algunos valores de $x$ para sustituir en la expresión $y=x$ y de esta forma, calcular el valor de $y$ correspondiente.

Si $x=0$ , entonces $y=x$ implica que $y=0$ .
Si $x=1$ , entonces $y=x$ implica que $y=1$ .
Si $x=2$ , entonces $y=x$ implica que $y=2$ .
Si $x=-1$ , entonces $y=x$ implica que $y=-1$ .
Si $x=-2$ , entonces $y=x$ implica que $y=-2$ .

A partir de estos valores, podemos definir una tabla de valores que nos permitirá ubicar cada par ordenado en el plano cartesiano. Notando que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva pues son infinitos, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

Recta Identidad Función Identidad Función Afín | totumat.com

Diremos que graficar es dibujar la representación gráfica de un conjunto en el plano cartesiano.

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A partir de la Recta Identidad, podemos definir conjunto haciendo pequeñas variaciones sobre ella, ya sea sumando números a la variable o multiplicando la variable.

Traslación de rectas

Ejemplo 1

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 2

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al sumar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; en cambio, al restar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia arriba.
Si $a<0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia abajo.

Inclinación de rectas

Ejemplo 3

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=2x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 4

El conjunto $\{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al multiplicar la variable por $2$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido antihorario; en cambio, al multiplicar la variable por $\frac{1}{2}$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido horario.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
Si $0<a<1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.

Reflexión de rectas

Ejemplo 5

El conjunto $\{ (x,y) : y = -x, x \in R \}$ podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Notamos que al multiplicar por $-1$ , hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba.

En general, si $a>0$ , entonces un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}$ representa a la recta $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ reflejada respecto al Eje X.

La Ecuación Canónica de la Recta

Hemos visto que al sumar un número a la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando su posición, y por otra parte, al multiplicar la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando el ángulo de inclinación.

Dicho esto, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

$\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}$

Donde $m$ será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta y; $b$ es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define y las denotaremos con la letra $l$ (por la palabra line en inglés). Por lo tanto, podemos escribir una recta de la siguiente forma:

$l : y=m \cdot x + b$

A esta ecuación se le conoce como La Ecuación Canónica de la Recta, aunque en algunos libros de texto también se conoce como la ecuación pendiente-ordenada o pendiente-intercepto.

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.

El Plano Cartesiano

11.12.201911.01.2023 Anthonny Arias-García7 comentarios

Al definir ecuaciones donde sólo se estudia una incógnita, hemos visto que podemos representar las solución de estas, en una recta real. Más aún, si consideramos una expresión algebraica que involucra una variable, esta variable se puede ubicar de igual manera, en una recta real.

Sin embargo, al estudiar la relación entre dos variables o dos incógnitas a través de una igualdad, nos bastará sólo una recta real para representar la solución que estas representan. Por lo tanto, es necesario definir una estructura matemática que nos permita representar de forma analítica y de forma gráfica, estas relaciones.

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El Producto Cartesiano

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de $A$ por $B$ como un nuevo conjunto que alberga todos los elementos de la forma $(a,b)$ , donde el primer elemento pertenece a $A$ y el segundo elemento pertenece a $B$ . Formalmente lo expresamos el producto de cartesiano de la siguiente forma:

$A \times B = \{ (a,b) : a \in A \ y \ b \in B \}$

A cada elemento de la forma $(a,b)$ lo llamaremos par ordenado, esto se debe a que el orden en el que aparecen tiene vital importancia, pues el primer elemento pertenece a $A$ y el segundo elemento pertenece a $B$ .

Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo está definido el producto cartesiano entre ellos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando $A=\{ 1,2\}$ y $B=\{7,8\}$ , podemos expresar de forma exhaustiva el producto $A \times B$ . Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo conjunto, entonces

$A \times B = \{ (1,7) ; (1,8) ; (2,7) ; (2,8) \}$

Ejemplo 2

Considerando $A=\{ -1,3,4\}$ y $B=\{4,9,11\}$ , podemos expresar de forma exhaustiva el producto $A \times B$ . Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que

$A \times B = \{ (-1,4) ; (-1,9) ; (-1,11) ; (3,4) ; (3,9) ; (3,11) ; (4,4) ; (4,9) ; (4,11) \}$

Ejemplo 3

Considerando $A=\{ 1,2\}$ y $B=\mathbb{N}$ , podemos expresar de forma exhaustiva el producto $A \times B$ . Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos

$A \times B = \{ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ;...$
$(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ;... \}$

Ejemplo 4

Considerando $A=\mathbb{N}$ y $B=\mathbb{N}$ , ¿cómo expresamos el producto $A \times B$ ? La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

Ejemplo 5

Considerando $A=\mathbb{Z}$ y $B=\mathbb{N}$ , exprese el producto $A \times B$ . Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

El Plano Cartesiano

Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos $A=\mathbb{R}$ y $B=\mathbb{R}$ , definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y, de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto

$\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) : x \in \mathbb{R}, \ y \in \mathbb{R} \}$

Puntos en el Plano

A cada par ordenado $(x,y)$ lo llamaremos punto del plano donde $x$ representa la coordenada en el Eje X (o abscisa) y $y$ representa la coordenada en el Eje Y (u ordenada). Particularmente el punto (0,0) será conocido como el origen del plano.

En el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par ordenado de números reales, es decir, cualquier punto. Para esto, ubicamos la coordenada en el Eje X y en ella trazamos una recta imaginaria vertical, ubicamos la coordenada en el Eje Y y en ella trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Veamos concretamente cómo ubicar puntos en el plano considerando los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 6

Si consideramos el punto $(1,2)$ , debemos ubicar el número $1$ en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número $2$ en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto $(1,2)$ se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 7

Si consideramos el punto $(-2,-2)$ , debemos ubicar el número $-2$ en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número $-2$ en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto $(-2,-2)$ se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 8

Si consideramos el punto $(-1,0)$ , debemos ubicar el número $-1$ en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra al ubicar el número $0$ en el Eje Y, no nos trasladamos ni hacia arriba ni hacia abajo. El punto $(-1,0)$ se ubica donde se encuentra el número $-1$ en el Eje X.

Ejemplo 9

Si consideramos el punto $(0,2)$ , debemos ubicar el número $2$ en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal, por otra al ubicar el número $0$ en el Eje X, no nos trasladamos ni a la izquierda ni a la derecha. El punto $(0,2)$ se ubica donde se encuentra el número $2$ en el Eje Y.

Los cuadrantes del plano

En le plano cartesiano podemos encontrar cuatro regiones fundamentales que nos ayudarán ubicar los puntos con mayor facilidad. Diremos que la región definida por los puntos con coordenadas, es el primer cuadrante y, contando en sentido antihorario, definimos los demás cuadrantes. De forma que,

La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x > 0$ y $y > 0$ es el primer cuadrante.
La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x < 0$ y $y > 0$ es el segundo cuadrante.
La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x < 0$ y $y < 0$ es el tercer.
La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x > 0$ y $y < 0$ es el tercer cuadrante.

La Ecuación General de la Recta

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Ejemplos

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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La Recta Identidad

Traslación de rectas

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Inclinación de rectas

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Reflexión de rectas

Ejemplo 5

La Ecuación Canónica de la Recta

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El Producto Cartesiano

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

El Plano Cartesiano

Puntos en el Plano

Ejemplos

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Los cuadrantes del plano

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