¿La fórmula cuadrática de Po-Shen Loh?

08.12.201908.01.2023 Anthonny Arias-García14 comentarios

El Doctor en Matemáticas Po-Shen Loh, ha descubierto una nueva forma — ¡más simple! — para deducir la fórmula cuadrática y así calcular la solución de las ecuaciones cuadráticas, es decir, aquellas que se expresan de la forma $Ax^2+ Bx+C=0$ . Esta fórmula ha estado frente a nuestras narices.

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Perdón, ¿quién?

Po-Shen, quien obtuvo su título como matemático en el Instituto de Tecnología de California (Caltech), su maestría en la universidad de Cambridge y finalmente su doctorado en Princeton en el año 2009, ha trabajado arduamente en el desarrollo de nuevas técnicas para la enseñanza de las matemáticas. Es el fundador de la plataforma gratuita de aprendizaje personalizado expii.com, una empresa social respaldada por su serie de cursos de matemáticas en línea, es profesor de matemáticas en la Universidad Carnegie Mellon y entrenador nacional del equipo de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de EE. UU.

¡Los babilonios tenían el secreto!

De acuerdo con lo publicado por Po-Shen en su artículo y lo relatado por el MIT technology review, los babilonios encontraron la ahora famosa fórmula cuadrática para ahorrarse en la engorrosa tarea de pagar impuestos. Particularmente el problema que tenían los babilonios que trabajaban con cultivos fue: dada una factura de impuestos que debe pagarse sobre los cultivos, ¿en cuánto debería aumentar el tamaño de mi campo para pagarla?

Entonces, tomando en cuenta un cultivo cuadrado (o en su defecto rectangular), si el tamaño de este es desconocido se presentará inevitablemente una ecuación cuadrática expresada de la forma $Ax^2 +Bx+C=0$ y su solución se calcula con la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A}$

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La nueva deducción de la fórmula…

Po-Shen partió del hecho que si una ecuación cuadrática de la forma $x^2 + Bx + C = 0$ tiene dos soluciones R y S, entonces podemos factorizar y reescribir la expresión que la define como sigue:

$\displaystyle x^2 + Bx + C = (x-R)(x-S)$

A partir de aquí utiliza una técnica archiconocida y es que, al presentarse una ecuación de la forma $x^2 + Bx + C = 0$ , ésta puede factorizarse hallando dos números que sumados sean igual a B y multiplicados sean igual a C. De esta forma, tenemos las siguientes igualdades:

$R+S = -B$

$R \cdot S = C$

Añadimos el hecho de que la suma de dos números es exactamente -B cuando el promedio de estos es $-\frac{B}{2}$ . Así, R y S deben ser dos números de la forma $-\frac{B}{2} \pm z$ , donde z es un número arbitrario. Entonces, como el producto de esta forma debe ser igual a C, existe una equivalencia entre las siguientes expresiones:

$R \cdot S = C$

$(-\frac{B}{2} + z) \cdot (-\frac{B}{2} - z) = C$

$(-\frac{B}{2})^2 - z^2 = C$

$\frac{B^2}{4} - z^2 = C$

$- z^2 = C - \frac{B^2}{4}$

$z^2 = \frac{B^2}{4} -C$

$z = \pm \sqrt{ \frac{B^2}{4} -C}$

Entonces, como en un principio hemos dicho que R y S son las soluciones de nuestra ecuación cuadrática, entonces al sustituir z en la expresión $-\frac{B}{2} \pm z$ concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $x^2 + Bx + C = 0$ viene dada por

$\displaystyle -\frac{B}{2} \pm \sqrt{\frac{B^2}{4}-C}$

Veamos como aplicar esta fórmula cuando se nos presenta una ecuación cuadrática.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

$x^2 + 5x+6 = 0$

Identificando los coeficientes B=5 y C=6, entonces la solución de esta ecuación viene dada de la siguiente forma

$-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{5^2}{4}-6}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}-6}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25-24}{4}}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{1}{2}$

Solución (1):

$= -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{-5+1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Solución (2):

$= -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{-5-1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $x^2 + 5x+6$ viene dada por $x = -2$ y $x = -3$ .

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

$3x^2 +9x-12 = 0$

Debemos notar que si el coeficiente A es distinto de 1 tal como se presenta en este ejemplo, es conveniente sacarlo como factor común para obtener la fórmula $3(x^2 +3x-4) = 0$ y entonces, consideramos los coeficientes B=3 y C=-4 de nuestro nuevo factor.

$-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{3^2}{4}-(-4)}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}+4}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9+16}{4}}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{5}{2}$

Solución (1):

$= -\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}$

$= \dfrac{-3+5}{2}$

$= \dfrac{2}{2}$

$= 1$

Solución (2):

$= -\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2}$

$= \dfrac{-3-5}{2}$

$= \dfrac{-8}{2}$

$= -4$

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $3x^2 +9x-12 = 0$ viene dada por $x = 1$ y $x = -4$ .

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

$-x^2 +7x-10 = 0$

Debemos notar que si el coeficiente A es distinto de 1 tal como se presenta en este ejemplo, es conveniente sacarlo como factor común para obtener la fórmula $-(x^2 -7x+10) = 0$ y entonces, consideramos los coeficientes B=-7 y C=10 de nuestro nuevo factor.

$= -\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}$

$= -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{(-7)^2}{4}-10}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}-10}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49-40}{4}}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \dfrac{3}{2}$

Solución (1):

$= \dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2}$

$= \dfrac{7+3}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

Solución (2):

$= \dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2}$

$= \dfrac{7-3}{2}$

$= \dfrac{4}{2}$

$= 2$

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $-x^2 +7x-10 = 0$ viene dada por $x=5$ y $x=2$ .

El artículo formal del Dr. Po-Shen Loh fue publicado en Arxiv.org (un repositorio de artículos científicos de la Universidad de Cornell que cuenta hasta la fecha con 1.628.829 artículos en los campos de física, matemática, informática, biología cuantitativa, finanzas cuantitativas, estadística, ingeniería eléctrica y ciencia de sistemas, y economía) y puede consultarse en el siguiente enlace: https://arxiv.org/abs/1910.06709

Inecuaciones Polinómicas y la Tabla de Análisis de Signos

05.12.201908.01.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

Para calcular la solución de una inecuación lineal basta con usar las técnicas despeje que normalmente se usan para calcular una ecuación lineal, y como resultado, generalmente obtenemos un conjunto infinito de número.

Para calcular la solución de una inecuación cuadrática, factorizamos el polinomio cuadrático y recurrimos a la Ley de los Signos, para analizar los dos casos posibles a partir del signo de cada factor involucrado.

Para calcular la solución de una inecuación polinómica, también recurriremos a la factorización de polinomios, sin embargo, el análisis de cada caso puede ser engorroso pues a medida que aumentan los factores, también aumentan los casos. Es por esto, que recurriremos a una herramienta que nos permita analizar el signo del polinomio de una forma global.

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¿Qué es una inecuación polinómica?

Una inecuación polinómica, es una inecuación que involucra a una una potencia de la variable $x$ . Formalmente, si consideramos un conjunto de $n$ números reales $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ , definimos una inecuación polinómica como una inecuación que se puede expresar de la siguiente forma:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0$

Donde « $>$ » representa cualquier desigualdad $>$ , $\geq$ , $<$ ó $\leq$ .

Si definimos $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ , entonces podemos expresar una inecuación polinómica de la siguiente forma:

$P(x) > 0$

La Tabla de Análisis de Signos

La técnica que usaremos para calcular la solución de este tipo de inecuaciones, consiste en calcular las raíces del polinomio $P(x)$ , factorizarlo a partir de sus raíces y posteriormente, analizar el signo de cada factor a lo largo de cada número real, es decir, para qué valores de $x$ cada factor es positivo o negativo.

En los siguientes ejemplos explicaremos cómo usar una Tabla de Análisis de Signos o simplemente Tabla de Signos (coloquialmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) para calcular la solución de inecuaciones polinómicas.

La tabla de análisis de signos está basada en el Teorema de Sturm, que en términos llanos, permite determinar la cantidad de raíces de un polinomio en un intervalo a partir de la cantidad de veces que varía el signo de dicho polinomio en dicho intervalo.