Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al considerar un punto adicional, a través de ambos puntos punto, sólo pasará una única recta. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

También pudiera interesarte

La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable $y$ en relación a la variable $x$ .

Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en $y$ entre el incremento en $x$ y para esto usamos la siguiente fórmula:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ planteando la siguiente fórmula:

$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$
ó
$\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)$

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con dos puntos de ella.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (2,2)$ y $P_2 = (3,3)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{3 - 2}{3 - 2}$

$= \dfrac{1}{1}$

$= 1$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y - 2 = x - 2$

$\Rightarrow \ y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-4,1)$ y $P_2 = (3,-1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{-1 - 1}{3 - (-4)}$

$= \dfrac{-2}{7}$

$= -\dfrac{2}{7}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_2$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$

$\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 3)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7}$

$\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) - \frac{1}{7} \Rightarrow \ y = -\frac{1}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,-\frac{1}{7} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = -\frac{1}{7} \Rightarrow \ x = -\frac{1}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{1}{2} , 0 \right)$

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-2,-2)$ y $P_2 = (5,1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{5 - (-2)}{1 - (-2)}$

$= \dfrac{7}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}$

$\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = \frac{7}{3} (0) + \frac{8}{3} \Rightarrow \ y = \frac{8}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,\frac{8}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} \Rightarrow \ -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3} \Rightarrow \ x = -\frac{8}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{8}{7} , 0 \right)$

Ecuación Punto-Pendiente

14.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al fijar un ángulo de inclinación, a través de dicho punto, sólo pasará una única recta que tenga ese ángulo de inclinación. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

También pudiera interesarte

La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente

Si una recta pasa por un punto en el plano cartesiano, digamos $(x_0, y_0)$ y su ángulo de inclinación induce una pendiente de $m$ , podemos determinar la ecuación que la define planteando la siguiente fórmula:

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

A esta fórmula la llamaremos ecuación punto-pendiente y a partir de esta igualdad, podemos determinar la ecuación canónica de dicha recta, simplemente despejando la variable $y$ .

Veamos con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con estos dos elementos.