Habiendo definido los cofactores de una matriz, podemos establecer un método que nos permite calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada de tamaño $n$ .

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El Método de Laplace

Al considerar una columna $j$ , el Método de Laplace indica que el determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot c(a_{ij})$

En otras palabras, debemos escoger una columna, multiplicar cada elemento de la columna por su cofactor y sumar estos productos. Veamos el caso para una matriz cuadrada $A$ de tamaño tres para tener esta idea más clara, formalmente,

Podemos calcular su determinante escogiendo la primera columna y plantear la siguiente suma:

Determinantes - Método de Laplace | totumat.com

Podemos calcular su determinante escogiendo la segunda columna y plantear la siguiente suma:

Podemos calcular su determinante escogiendo la tercera columna y plantear la siguiente suma:

Veamos entonces, con algunos ejemplos como calcular determinantes de matrices cuadradas de tamaño tres.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 2.

$= ( -9 ) \big[ ( -4 ) - ( 0 ) \big] + ( -2 ) \big[ ( -8 ) - ( 0 ) \big] + ( 4 ) \big[ ( -6 ) - ( -2 ) \big]$

$= ( -9 ) ( -4 ) + ( -2 ) ( -8 ) + ( 4 ) ( -4 )$

$= ( 36 ) + ( 16 ) + ( -16 )$

$36$

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 1.

$= ( -3 ) \big[ ( 7 ) - ( 35 ) \big] + ( -3 ) \big[ ( 1 ) - ( -30 ) \big] + ( 0 ) \big[ ( 7 ) - ( -42 ) \big]$

$= ( -3 ) ( -28 ) + ( -3 ) ( 31 ) + ( 0 ) ( 49 )$

$= ( 84 ) + ( -93 ) + ( 0 )$

$-9$

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 3.

$= ( -2 ) \big[ ( -20 ) - ( -8 ) \big] + ( -7 ) \big[ ( -10 ) - ( -2 ) \big] + ( 1 ) \big[ ( -16 ) - ( -8 ) \big]$

$= ( -2 ) ( -12 ) + ( -7 ) ( -8 ) + ( 1 ) ( -8 )$

$= ( 24 ) + ( 56 ) + ( -8 )$

$72$

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 1.

$= ( -3 ) \big[ ( 9 ) - ( -5 ) \big] + ( -4 ) \big[ ( -2 ) - ( 2 ) \big] + ( -2 ) \big[ ( -10 ) - ( -18 ) \big]$

$= ( -3 ) ( 14 ) + ( -4 ) ( -4 ) + ( -2 ) ( 8 )$

$= ( -42 ) + ( 16 ) + ( -16 )$

$-42$

Menores y Cofactores

19.06.202020.02.2025 Anthonny Arias-García8 comentarios

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