Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ un conjunto de $n$ incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

$\Delta = |A|$

Si $\Delta \neq 0$ , podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos $\Delta_{x_1}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz $C$ , es decir,

Definimos $\Delta_{x_2}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz $C$ , es decir,

Continuando así, definimos $\Delta_{x_j}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Finalmente, definimos $\Delta_{x_n}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

$x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.$

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}$

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}$

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}$

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}$

Sistemas de Ecuaciones Lineales

30.07.202012.04.2026 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma $ax + by + c = 0$ y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de $x$ y $y$ que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices $A$ , $X$ y $C$ ; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz $A$ es una matriz cuadrada y si esta es una matriz no-singular, es decir, si $|A| \neq 0$ . Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.

Cómo conectarse a internet de CANTV #SinLuz

21.07.202010.09.2023 Anthonny Arias-García10 comentarios

Asegúrese de recibir supervisión o asesoría de un experto.

¿Es que a ustedes se les va la luz?, me han preguntado.

El servicio eléctrico en Venezuela a caído en picada desde hace años, particularmente en la Región Andina este problema se ha sentido con mayor intensidad que en el resto del país. Aunque en twitter se pueden encontrar en tiempo real una infinidad de reportes siguiendo la etiqueta #SinLuz, en algunos portales de noticias y de organizaciones sin fines de lucro, se presentan balances mensuales de las horas en las que el servicio eléctrico es inexistente, tal como el que presenta PROMEDEHUM:

#MéridaSeApaga: En junio las horas sin electricidad en #Mérida disminuyeron en un 43%. La puesta en funcionamiento de la Hidroeléctrica Fabricio Ojeda, dio un leve respiro, sin embargo, expertos aseguran que no será por mucho tiempo.

Informe: https://t.co/4G70k3Ssne pic.twitter.com/SkfXtm5d9O
— PROMEDEHUM (@promedehum) July 21, 2020

Estos insistentes y prolongados cortes de luz llevan a la población a buscar alternativas, en algunas poblaciones del páramo merideño han tomado la iniciativa de usar paneles solares tal como lo reseña Liliana Rivas en Cinco8, sin embargo, no en todas partes se puede considerar esta opción.

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También se va el internet…

Hay que destacar que cuando ocurre un apagón, también cesa conexión a internet pues los dispositivos de los proveedores funcionan con energía eléctrica. Hace unos días una amiga me comentó que un amigo de ella le conectó una batería de laptop a su módem inalámbrico de CANTV y con eso ha podido tener conexión a internet cuando se va la luz pero no me dio detalles al respecto.

La idea de hacer este tipo de conexiones retumbó en mi cabeza y junto con un vecino, haciendo ensayo y error, logramos conectar la batería de una laptop al módem. Así que en esta ocasión, le comparto algunos detalles sobre como hice esta conexión, pues debido a la pandemia que estamos enfrentando el distanciamiento social nos exige conexión a internet para mantenernos comunicados.

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Batería de Laptop + Módem = Internet

Elementos necesarios

Los elementos indispensables para esta conexión, son:

Batería de Laptop.

Cable de Transformador.

Módem Inalámbrico.

módem de cantv con clave de acceso | totumat.com

Indicaciones

Verificar el voltaje

Lo primero que deben verificar antes de hacer cualquier conexión es verificar el voltaje de la batería y el voltaje del módem. Es importante que el voltaje de salida de la batería sea menor que el voltaje de entrada del módem, en otro caso, se puede quemar el módem.

Especificaciones de Batería de Canaima | totumat.com

Especificaciones de módem de CANTV | totumat.com

Para este caso, el voltaje de salida de la batería es 10.8V y el voltaje de entrada del módem es de 12V, así que no se presenta el riesgo de sobrecarga.

Preparar el cable

Para el cable, tomé un cargador de celular viejo que tenía guardado y probé que la punta fuera de la misma medida que la de mi módem.

Después de comprobar que tuvieran la misma medida, corté la punta del cable que proviene del transformador de corriente, retiré el plástico de seguridad que recubre el cable y a cada punta le adosé unas puntas metálicas que tenía guardadas para facilitar la conexión y que encajan perfectamente con la batería. Sin embargo, esto no es indispensable.

Identificar las cargas

Es importante identificar cual es el cable que lleva la carga negativa y cual lleva la carga positiva. Para este cable particular, el azul lleva la carga negativa y el marrón la carga positiva. Con una rápida búsqueda en internet, se puede determinar qué función cumple cada cable, aunque generalmente para los transformadores de corriente, el cable negro con la raya blanca lleva la carga positiva y el totalmente negro lleva la carga negativa.

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Finalmente, conecta estos tres elementos de modo que la batería proveerá al módem con electricidad. Posteriormente conecta el módem a la toma de CANTV para que este le provea conexión ADSL y así conectarse a internet.

Conexión de batería de canaima a módem de CANTV | totumat.com

Para finalizar esta publicación les presento un video donde hice la conexión:

Espero que les sea de ayuda, más aún, en estos tiempos de penurias.

Otro ejemplo

Les comparto unas fotografías de cómo le preparé los cables para una vecina que me pidió el favor de hacer la conexión entre la batería de su laptop y su módem.

Cálculo de Matriz Inversa – Regla de Cramer

27.06.202005.04.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Pasos para calcular de Matriz Inversa
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular $A$ , por ahora veremos solo uno de ellos.

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Pasos para calcular de Matriz Inversa

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz $A$ :

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que

$|A| \neq 0$

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz $A$ y con ellos, construimos la matriz de cofactores $C(A)$ . Es decir, una matriz tal que,

$[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})$

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de $A$ , la denotamos por

$adj(A)$

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz $A$ como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de $A$ . Es decir,

$A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}$

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

$A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

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