Etiqueta: Ley de Los Signos

Ley de los Signos

Anthonny Arias-García3 comentarios

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales a y b; y para ser enfáticos, los denotaremos con +a y +b. En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con -a y -b, entonces tenemos que:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

Para efectuar el producto 2 \cdot \sqrt(5), el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

Ejemplo 3

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto (-3) \cdot \frac{1}{3}, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-3) \cdot \frac{1}{3} = - ( 3 \cdot \frac{1}{3} ) = -1

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 6

Para efectuar el producto 10 \cdot (-\sqrt{7}), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}

Ejemplo 7

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-x) \cdot (-x), donde x es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2

Inecuaciones Cuadráticas, caso «menor que»

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. ¿Cuándo el producto de dos números es negativo?
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1, «menor que»
      2. Ejemplo 2, «menor o igual que»

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el segundo caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «menor que» o «menor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales a, b y c, expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

ax^2 + bx + c < 0

Tomando en cuenta que si conocemos las raíces del polinomio ax^2 + bx + c, éste se puede reescribir como el producto de dos factores y de esta forma, desarrollamos una técnica para calcular la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la Ley de los Signos para la Multiplicación y planteando la siguiente pregunta:

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Sean p y q dos números reales. Si consideremos el producto p \cdot q, ¿cuándo este producto es negativo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por menos es menos y menos por más es menos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad p \cdot q < 0, son las siguientes:

\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q < 0\\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q > 0 \end{array} } \right.

Es decir, los p y q deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» (\leq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x+4) \cdot (x-1) < 0

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores (x+4) y (x-1), deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+4 > 0 & \text{y} & x-1 < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+4 < 0 & \text{y} & x-1 > 0 & (2) \end{array} } \right.

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -4 & \text{y} & x < 1 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -4 & \text{y} & x > 1 & (2) \end{array} } \right.

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-4,+\infty) y (-\infty,1) así

(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-4) y (1,+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos igual al conjunto vacío. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si alguien lleva una u otra cosa o ambas cosas, igual van a comer.

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + x - \dfrac{3}{4} \leq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son a=1, b=1 y c=-\frac{3}{4}, planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ 1 \pm 2 }{ 2 } \end{array}

Así, las raíces del polinomio cuadrático x^2 + x – \dfrac{3}{4} son x_1 = -\frac{ 1 }{ 2 } y x_2 = \frac{ 3 }{ 2 }, por lo tanto, podemos factorizarlo como (x - ( -\frac{ 1 }{ 2 } )) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } ) y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores (x + \frac{ 1 }{ 2 } ) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } ), deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+\frac{ 1 }{ 2 } > 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+\frac{ 1 }{ 2 } < 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } > 0 & (2) \end{array} } \right.

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x < \frac{ 3 }{ 2 } & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x > \frac{ 3 }{ 2 } & (2) \end{array} } \right.

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -\frac{1}{2} y menores que \frac{3}{2} al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\frac{1}{2},+\infty) y (-\infty,\frac{3}{2}) así

\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -\frac{1}{2} y mayores que \frac{3}{2} al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-\frac{1}{2}) y (\frac{3}{2},+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos igual al conjunto vacío. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Inecuaciones Cuadráticas, caso «mayor que»

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. ¿Cuándo el producto de dos números es positivo?
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1, «mayor que»:
      2. Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el primero caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «mayor que» o «mayor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales a, b y c, expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

ax^2 + bx + c > 0

Tomando en cuenta que si conocemos las raíces del polinomio ax^2 + bx + c, éste se puede reescribir como el producto de dos factores y de esta forma, desarrollamos una técnica para calcular la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la Ley de los Signos para la Multiplicación y planteando la siguiente pregunta:

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?

Sean p y q dos números reales. Si consideremos el producto p \cdot q, ¿cuándo este producto es positivo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por más es más y menos por menos es más, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad p \cdot q > 0, son las siguientes:

\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q > 0 \\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q < 0 \end{array} } \right.

Es decir, los números p y q deben ser ambos positivos al mismo tiempo o ambos negativos al mismo tiempo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «mayor o igual» (\geq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

También pudiera interesarte

Ejemplos

Ejemplo 1, «mayor que»:

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x-2) \cdot (x+3) > 0

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores (x-2) y (x+3), ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, así

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x-2 > 0 & \text{y} & x+3 > 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x-2 < 0 & \text{y} & x+3 < 0 & (2) \end{array} } \right.

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > 2 & \text{y} & x > -3 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < 2 & \text{y} & x < -3 & (2) \end{array} } \right.

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución (1):

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (2,+\infty) y (-3,+\infty) así

(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución (2):

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,2) y (-\infty,-3) así

(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si sólo hay empanadas, solo hay pastelitos o hay ambas cosas, igual van a comer.

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + 6x + 8 \geq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son a=1, b=6 y c=8, planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ -6 \pm 2 }{ 2 } \end{array}

Así, las raíces del polinomio cuadrático x^2 + 6x + 8 son x_1 = -2 y x_2 = -4, por lo tanto, podemos factorizarlo como (x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 )) y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

(x +2) \cdot (x +4) \geq 0

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores (x+2) y (x+4), ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, así

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+2 > 0 & \text{y} & x+4 > 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+2 < 0 & \text{y} & x+4 < 0 & (2) \end{array} } \right.

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -2 & \text{y} & x > -4 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -2 & \text{y} & x < -4 & (2) \end{array} } \right.

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución (1):

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -2 y mayores que -4 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos [-2,+\infty) y [-4,+\infty) así

[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución (2):

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -2 y menores que -4 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,-2) y (-\infty,-4) así

(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos más básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática.

Los números enteros y sus operaciones

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. ¿Qué son los números enteros?
  2. Operaciones entre Números Enteros
    1. Suma y Resta de Números Enteros
      1. Ejemplos
        1. Ejemplo 1
        2. Ejemplo 2
        3. Ejemplo 3
        4. Ejemplo 4
    2. El producto de Enteros y la Ley de los Signos
      1. Ejemplo
        1. Ejemplo 5
        2. Ejemplo 6
        3. Ejemplo 7
        4. Ejemplo 8

¿Qué son los números enteros?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Puede el resultado de esta situación representarse con un número natural?

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Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por 0 y nos representará ninguna cantidad.

El número cero permite definir una nueva gama de números, de la siguiente forma: Si a es un número natural entonces definimos un nuevo número -a como su opuesto aditivo, que tendrá la siguiente propiedad:

a + (-a) = (-a) + a = 0

Nota: Podemos decir, además, que a es el opuesto aditivo de -a.

Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales a y b, entonces al sumar a con el opuesto aditivo de b, la operación a+(-b) se conoce como la resta y la escribimos de la siguiente forma:

a-b

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número 0 y el opuesto aditivo de cada número natural. Lo denotaremos por \mathbb{Z} y lo expresamos extensivamente así:

\mathbb{Z} = \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}

Este conjunto continúa de manera indefinida siguiendo la secuencia de los números naturales 1,2,3,4, \ldots y además, siguiendo la secuencia de los opuestos aditivos de los números naturales -1,-2,-3,-4, \ldots, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva.

También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta. Los números naturales se escriben hacia la derecha y sus opuestos aditivos se escriben hacia la izquierda, el cero se escribe el medio de ambos, así

Representación gráfica de los números enteros | totumat.com

Es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

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Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

suma de números enteros tres más dos es igual a cinco | totumat.com
tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

resta de números enteros dos menos tres es igual a menos uno | totumat.com
dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Para efectuar la suma 7 +10, ambos números tienen signo positivo, así que los sumamos y mantenemos el signo positivo.

7 +10 = 17

Ejemplo 2

Para efectuar la suma 9 + (-3), estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 9 es el mayor, así que dejamos el signo positivo.

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

Para efectuar la suma (-20) + 11, estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 20 es el mayor, así que dejamos el signo negativo.

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

Para efectuar la suma (-37) + (-23), ambos números tienen signo negativo, así que los sumamos y mantenemos el signo negativo.

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60

El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros? Debemos entonces definir los Números Racionales.