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Resta de Fracciones

25.04.202025.04.2020 Anthonny Arias-García3 comentarios

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros tales que $b$ y $d$ son distintos de cero. Definimos la resta de las fracciones $\frac{a}{b}$ menos $\frac{c}{d}$ , restando el producto de $a$ por $d$ menos el producto de $b$ por $c$ y dividiendo todo esto entre el producto de $b$ por $d$ , de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una \textbf{copa} tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la resta entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de $\frac{1}{2}$ menos $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la resta de $\frac{7}{3}$ menos $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la resta de $1$ menos $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la resta de $\frac{3}{11}$ menos $6$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}$

Suma de Fracciones

25.04.202029.05.2020 Anthonny Arias-García6 comentarios

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros tales que $b$ y $d$ son distintos de cero. Definimos la suma de las fracciones $\frac{a}{b}$ más $\frac{c}{d}$ , sumando el producto de $a$ por $d$ más el producto de $b$ por $c$ y dividiendo todo esto entre el producto de $b$ por $d$ , de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una copa tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de $\frac{1}{2}$ más $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Ejemplo 2

Efectúe la suma de $\frac{7}{3}$ más $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la suma de $1$ más $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la suma de $\frac{3}{11}$ más $6$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}$

Fracciones

25.04.202013.12.2022 Anthonny Arias-García6 comentarios

Las fracciones son una forma alternativa para denotar la división entre dos números y generalmente se usan para expresar proporciones, por ejemplo, para expresar las tres cuartas partes de una cantidad escribimos $\frac{3}{4}$ o por ejemplo, para denotar la mitad de una torta simplemente escribimos $\frac{1}{2}$ . Es posible representar las fracciones de forma gráfica para facilitar su entendimiento.

Fracciones | totumat.com

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Formalmente, si consideremos dos números enteros $a$ y $b \neq 0$ , entonces diremos que $a$ es el numerador de la fracción y $b$ es el denominador de la fracción, y así, la división $a \div b$ estará representada por la siguiente expresión

Fracciones | totumat.com

La raya entre ambos números usualmente es llamada raya de fracción, el número sobre la raya se conoce como numerador y el número bajo la raya se conoce como denominador.

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Propiedades de las Fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, encontraremos expresiones muy particulares que podemos identificar cuando queremos simplificar operaciones matemáticas. Consideremos $a$ un número entero distinto de cero y veamos a continuación cuales son estas fracciones.

Uno dividio entre uno, es igual a uno. De forma general, si consideramos cualquier número real distinto de cero, la división de este número por él mismo, es igual a uno, entonces,

$\dfrac{1}{1} = 1$ .

$\dfrac{a}{a} = 1$ .

Cualquier número entero se puede expresar como la división de él mismo con uno, esta información será últil cuando se nos presenten operaciones entre números expresados en fracciones y números enteros.

$\dfrac{a}{1} = a$ .

Al dividir cero por cualquier número real distinto de cero, el resultado siempre será el mismo, cero.

$\dfrac{0}{a} = 0$

Por el contrario, si tomamos cualquier número real, este no podrá ser dividio por cero pues esta operación no está definida, es decir, la división por cero no está definida.

$\dfrac{a}{0}$

no está definida.

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Ley de los Signos para las Fracciones

Ya que las fracciones representan divisiones, podemos también establecer la ley de los signos para la división, si $a$ y $b$ son números enteros positivos tal que $b$ es distinto de cero, entonces

El resultado de dividir un número positivo entre un número positivo, es positivo.

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

El resultado de dividir un número positivo entre un número negativo, es negativo.

$\displaystyle \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$

El resultado de dividir un número negativo entre un número positivo, es negativo.

$\displaystyle \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$

El resultado de dividir un número negativo entre un número negativo, es positivo.

$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$

La ventaja en el uso de las fracciones es que nos proveen rigidez en los resultados y así evitamos errores de aproximación o redondeo al efectuar divisiones, es por esto que es necesario dominar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre las fracciones.

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Fracciones propias e impropias

Una forma de clasificar las fracciones es considerando el tamaño de su numerador y su denominador, pues estos determinarán la porción que realmente representan. Si $a$ y $b$ son dos enteros tal que $b \neq 0$ , tenemos que

Si $a < b$ , diremos que la fracción es $\frac{a}{b}$ es propia, es decir, si el numerador es menor que el denominador.
Si $a \geq b$ , diremos que la fracción es $\frac{a}{b}$ es impropia, es decir, si el numerador es mayor o igual que el denominador.

Para aclarar esta idea, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

La fracción $\frac{1}{2}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 2

La fracción $\frac{7}{15}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 3

La fracción $\frac{4}{9}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 4

La fracción $\frac{6}{20}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 5

La fracción $\frac{5}{3}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 6

La fracción $\frac{10}{4}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 7

La fracción $\frac{20}{12}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 8

La fracción $\frac{75}{44}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

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Fracciones Mixtas

Al leer una receta de cocina es común encontrarse con medidas para los ingredientes como una taza y media de azúcar o, es por esto que podemos encontrar recipientes con medidas de $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ o $\frac{1}{8}$ . Esto también ocurre cuando se compran alimentos que deben ser pesados, como un kilo y cuarto de queso o tres kilos y medios de carne.

Las fracciones son ideales para expresar este tipo de medidas, justamente están diseñadas para medir porciones, por ejemplo, para escribir una taza y media se puede escribir $1 + \frac{1}{2}$ que a su vez es igual a $\frac{3}{2}$ . Sin embargo, la forma en que se escriben pueden no presentar comodidad o claridad en la práctica, es por esto que se definen las fracciones mixtas (o números mixtos), entonces, que en vez de escribir $1 + \frac{1}{2}$ , se escribe

$1\tfrac{1}{2}$

De esta forma, definimos las fracciones mixtas para separar la parte entera de su parte no entera, esta última usualmente representada con una fracción propia. Cualquier fracción mixta se puede reescribir como una fracción impropia, pues si $a$ , $b$ y $c$ son números enteros positivos, entonces la siguiente fracción mixta

$a\tfrac{b}{c}$

se reescribe como una fracción impropia sumando $a$ con $\frac{b}{c}$ , es decir,

$a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

Veamos algunos ejemplos de cómo reescribir fracciones mixtas.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Reescriba la fracción mixta $1\tfrac{1}{2}$ como una fracción impropia.

$1\tfrac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Ejemplo 10

Reescriba la fracción mixta $1\tfrac{1}{8}$ como una fracción impropia.

$1\tfrac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

Ejemplo 11

Reescriba la fracción mixta $2\tfrac{3}{4}$ como una fracción impropia.

$2\tfrac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Ejemplo 12

Reescriba la fracción mixta $2\tfrac{3}{4}$ como una fracción impropia.

$3\tfrac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Ejemplo 13

Reescriba la fracción mixta $5\tfrac{9}{16}$ como una fracción impropia.

$5\tfrac{9}{16} = 5 + \frac{9}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{89}{16}$

Q, que denota los Números Racionales

Los Números Racionales y sus operaciones

02.11.201913.12.2022 Anthonny Arias-García17 comentarios

Los números racionales y la división

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de forma equitativa, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

Esta situación es representada con la división de números y se representa matemáticamente usando la siguiente notación:

$2 \div 4$

Esto se lee «dos dividido entre cuatro» e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales.

Existen distintos métodos para calcular divisiones, uno de ellos es el método de división larga. En todo caso, ya sea que hagamos el desarrollo de la operación a mano o que usemos una calculadora, el resultado que obtenemos al efectuar la división $2 \div 4$ es $0,5$ .

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división $1 \div 2$ cuyo resultado es $0,5$ .

En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división $7 \div 14$ cuyo resultado es $0,5$ .

Notemos que se nos pueden presentar varias situaciones en el que obtenemos el valor $0,5$ , es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado $0,5$ . Pero, ¿qué significa $0,5$ ?

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¿Qué son los números racionales?

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b $\neq$ 0), definiremos un nuevo número de la forma $\frac{a}{b}$ que representa el resultado de la división $a \div b$ . Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por $\mathbb{Q}$ y estará definido de la siguiente manera:

$\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}; \, b\neq 0 \right\}$

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma $a \div 1$ para notar que $3 \div 1 = 3$ , $10 \div 1 = 10$ , $-2 \div 1 = -2$ , $45 \div 1 = 45$ . En general si $a \in \mathbb{Z}$ entonces $a \div 1 = a$ . Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

$\displaystyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo $\frac{1}{2} = 0,5$ o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo $\frac{1}{3} = 0,333333\ldots$

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com — Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

$\displaystyle \frac{a}{1} = a$

$\displaystyle \frac{a}{a} = 1, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{0}{a} = 0, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{a}{0}, \, \text{no est\'a definida}$

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una «Ley de los Signos para la Multiplicación», también hay una Ley de los Signos para la división. Si $a>0$ y $b>0$ , entonces

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{\ \ \ b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{\ \ \ a}{-b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \ \ \ \frac{a}{b}$

La expresión $\frac{a}{b}$ también se conoce como Fracción.

Habiendo definido los Números Racionales como el conjunto que alberga todas las divisiones posibles entre números enteros, dentro de este conjunto, podemos definir operaciones básicas. Para formalizar, consideremos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros con $b$ y $d$ $\neq 0$ , entonces por definición $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son dos números racionales. Las operaciones que podemos definir entre estos números, con las siguientes:

Suma de números racionales

Definiremos la suma entre estos dos números racionales de la siguiente forma:

Suma de Fracciones | totumat.com

De forma particular, si dos números racionales comparten el mismo denominador, será posible (a través de una serie de equivalencias) sumar sus numeradores y mantener el mismo denominador para la suma, es decir,

Suma de Fracciones con igual denominador | totumat.com

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de $\frac{1}{2}$ más $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Ejemplo 2

Efectúe la suma de $\frac{7}{3}$ más $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la suma de $1$ más $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la suma de $\frac{3}{11}$ más $6$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}$

Resta de números racionales

Notemos que la resta se puede definir de la misma forma que la suma usando expresiones equivalentes para $-\frac{c}{d}$ , como $\frac{-c}{d}$ o $\frac{c}{-d}$ . Simplemente debemos tomar en cuenta la ley de los signos al multiplicar números enteros, es decir,

Resta de Fracciones | totumat.com — Resta de fracciones

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de $\frac{1}{2}$ menos $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la resta de $\frac{7}{3}$ menos $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la resta de $1$ menos $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la resta de $\frac{3}{11}$ menos $6$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}$

Producto entre números racionales

Definiremos el producto entre estos dos números racionales, multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, de la siguiente forma:

Producto o Multiplicación de Fracciones | totumat.com

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de $1$ por $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de $\frac{3}{11}$ por $6$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}$

División entre números racionales

Definimos la división entre estos dos números racionales, reescribiendo esta división nuevamente como una fracción y aplicando lo que en algunos países se conoce como la doble c y en otros se conoce como la ley del sándwich; y es como sigue:

División de Fracciones | totumat.com — División de fracciones

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de $\frac{1}{2}$ entre $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ejemplo 2

Efectúe la división de $\frac{7}{3}$ entre $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}$

Ejemplo 3

Efectúe la división de $1$ entre $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Ejemplo 4

Efectúe la división de $\frac{3}{11}$ entre $6$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}$

Esta definición de los números racionales está atada a las Fracciones y las operaciones aquí descritas están desarrolladas de una forma más extensa en los siguientes enlaces: