Hemos visto que una ecuación expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y$ , se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea $\frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0$ y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solución.

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Forma General de una Ecuación de Bernoulli

Para cualquier número natural $n$ , diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n$

Los casos para los cuales $n=0$ y $n=1$ fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Así que veremos a continuación, el caso en el que $n \geq 2$ . Podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

$u=y^{1-n}$

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2$

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por $3x$ para obtener

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar $u=y^{1-n}$ que en este caso, $n=2$ , por lo tango estará expresada como $u=y^{-1}$ de donde podemos despejar $y$ elevando a $-1$ y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a $\frac{1}{1-n}$ ambos lados de la ecuación para obtener que

$y=u^{-1}$

Será necesario calcular el diferencial de $y$ , así que usando la regla de la cadena concluimos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}$

Entonces, sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

$\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2$

$\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}$

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por $-u^{-2}$ y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

Identificamos la función $P(x)$ que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

$P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}$

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

$\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C$

$\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2$

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar $u$ en función de $x$ , volvemos a sustituirla para obtener $y$

$y^{-1} = 4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{4x + Cx^2}$

Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

24.09.202012.05.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Funciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Las ecuaciones diferenciales que veremos a continuación se pueden reescribir como ecuaciones diferenciales de variables separables luego de recurrir a una variable auxiliar, sin embargo, debemos verificar primero que cumplan con una condición. Definamos entonces los elementos que determinarán el criterio para poder calcular su solución.

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Decimos que una función $f(x,y)$ es una función homogénea de grado $\alpha$ si para algún número real $\alpha$ se satisface las siguiente igualdad:

$f(t \cdot x,t \cdot y)=t^{\alpha} \cdot f(x,y)$

Veamos algunos ejemplos de este tipo de funciones para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = x^2 - y^2$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2 - (ty)^2$
$\; = \; t^2x^2 - t^2y^2$
$\; = \; t^2(x^2 - y^2)$
$\; = \; t^2 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $2$ .

Ejemplo 2

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = x^2 + xy$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2 + (tx)(ty)$
$\; = \; t^2x^2 + t^2xy$
$\; = \; t^2(x^2 + xy)$
$\; = \; t^2 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $2$ .

Ejemplo 3

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = 4 x^2y^5 - 9x^4y^3$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; 4 (tx)^2(ty)^5 - 9(tx)^4(ty)^3$
$\; = \; 4(t^2x^2)(t^5y^5) - 9(t^4x^4)(t^3y^3)$
$\; = \; 4t^7x^2y^5 - 9t^7x^4y^3$
$\; = \; t^7(4x^2y^5 - 9x^4y^3)$
$\; = \; t^7 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $7$ .

Ejemplo 4

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = 6 xy^3 + 5x^4 + 17$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; 6 (tx)(ty)^3 + 5(tx)^4 + 17$
$\; = \; 6 (tx)(t^3y^3) + 5(t^4x^4) + 17$
$\; = \; 6 t^4xy^3 + 5 t^4x^4 + 17$

En este caso, no es posible sacar $t^4$ como un factor común y en consecuencia, la función $f$ no se puede expresar de la forma $t^{\alpha} f(x,y)$ , por lo tango, no es una función homogénea de grado $\alpha$ .

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Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Al considerar la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ , hemos podido clasificar algunas ecuaciones de esta forma como Ecuaciones Exactas y aunque hemos encontrado otras no exactas, se han podido reducir a ecuaciones exactas, sin embargo, no siempre podemos aplicar ese método establecido en estos casos.

Entonces, debemos establecer una nueva forma de clasificar este tipo de ecuaciones. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial expresada de la siguiente forma:

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

Decimos que esta es una ecuación homogénea de grado $\alpha$ si las funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones de homogéneas de grado $\alpha$ .

Si $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de grado $\alpha$ , será posible reducir esta ecuación a una ecuación diferencial homogénea de variables separables recurriendo a una de las siguientes variables auxiliares para efectuar una sustitución de variable

$u=\frac{y}{x} \ \text{ o } \ v=\frac{x}{y}$

Notando que podemos reescribir estas dos expresiones respectivamente de la siguiente forma:

$y = ux \ \text{ o } \ x = vy$

Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(x^2-2y^2)dx + (2x^2+3xy)dy = 0$

Debemos recurrir a una sustitución de variable para reducirla a una ecuación diferencial de variables separables, pero antes es necesario verificar que las funciones $M(x,y) = (x^2-2y^2)$ y $N(x,y) = (2x^2+3xy)$ son ambas funciones homogéneas de grado $\alpha$ .

$M(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2-2(ty)^2$
$\; = \; t^2x^2-2t^2y^2$
$\; = \; t^2(x^2-2y^2)$
$\; = \; t^2 M(x,y)$

$N(tx,ty)$

$\; = \; 2(tx)^2+3(tx)(ty)$
$\; = \; 2t^2x^2+3t^2xy$
$\; = \; t^2(2x^2+3xy)$
$\; = \; t^2 N(x,y)$

Habiendo verificado que $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son ambas funciones homogéneas de grado $2$ , podemos recurrir a la siguiente variable auxiliar

$u=\frac{y}{x} \Rightarrow y=ux$

De esta forma, podemos sustituirla en nuestra ecuación diferencial. Notemos también, que si queremos hacer esta sustitución, debemos calcular el diferencial $dy$

$dy = udx + xdu$

Entonces, sustituimos los elementos $y$ y $dy$ en la ecuación diferencial.

$(x^2-2y^2)dx + (2x^2+3xy)dy = 0$

$\Rightarrow \big( x^2-2(ux)^2 \big)dx + \big( 2x^2+3x(ux) \big)( udx + xdu) = 0$

Una vez que hemos hecho la sustitución de las variables, manipulamos algebraicamente las expresiones que definen la ecuación diferencial con el fin de separar las variables.

$( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2+3x^2u)( udx + xdu) = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2+3x^2u )udx + \big( 2x^2+3x^2u \big)xdu = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2u+3x^2u^2 )dx + ( 2x^3+3x^3u )du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 + 2x^2u+3x^2u^2 )dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 -2u^2 + 2u + 3u^2 ) x^2 dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 + 2u + u^2 ) x^2 dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 + 2u + u^2 ) x^2 dx = - (2+3u ) x^3 du$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^2}{x^3}dx = -\frac{(2+3u )}{( 1 + 2u + u^2 )} du$

$\; \Rightarrow \; \frac{1}{x}dx = -\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2} du$

Ya que las variables están separadas, procedemos a calcular las respectivas integrales notando que la integral del lado derecho, es decir, $-\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2}$ ; debe calcularse usando el método de las fracciones simples. Entonces,

$\int -\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2} du = \int \frac{1}{x}dx$

$\; \Rightarrow \; -\frac{1}{1+u} - 3\ln(1+u) = ln(x) + c$

$\; \Rightarrow \; \frac{1}{1+u} + 3\ln(1+u) + ln(x) = c$

Finalmente, sustituimos la variable $u$ y obtenemos la solución general de la ecuación diferencial que viene expresada de forma implícita como

$\frac{1}{1+\frac{y}{x}} + 3\ln \left(1+\frac{y}{x} \right) + \ln(x) = c$

Ecuaciones Exactas y No Exactas

22.09.202012.05.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Diferencial Exacto

Consideremos una función definida en varias variables expresada de la forma $z=f(x,y)$ y supongamos que sus derivadas parciales son continuas en una región $R$ del plano $XY$ . Definimos su diferencial como

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

Particularmente, si la variable $z$ permanece constante, su diferencial será igual a cero, entonces estará expresado de la siguiente forma:

$0 = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

Tomando en cuenta el diferencial de $z$ y su particularidad cuando $z=c$ , decimos que una expresión de la forma $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ es un diferencial exacto en una región $R$ del plano $XY$ si corresponde con el diferencial de una función $f(x,y)$ , es decir, tal que

$M(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \ \text{ y } \ N(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

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Ecuaciones Exactas

Los diferenciales exactos sientan una base para definir una nueva clasificación para las ecuaciones diferenciales. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria expresada de la forma

$M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0$

Diremos que esta es una Ecuación Exacta si $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ es un diferencial exacto.

A continuación veremos un criterio que nos indicará las condiciones que deben cumplir las funciones $M$ y $N$ para que estas definan un diferencial exacto.

Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)

Sean $M(x,y)$ y $N(x,y)$ dos funciones continuas con derivadas parciales continuas en un una región $R$ una región rectangular en el plano $XY$ en su interior, entonces una condición necesaria y suficiente para que $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ sea un diferencial exacto es

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

Estableciendo este criterio, veamos ahora que si consideramos una ecuación diferencial expresada de la forma $M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0$ entonces podemos seguir un procedimiento que nos permitirá calcular la solución de ésta.

En los siguientes ejemplos ilustraremos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, usando indistintamente la notación $M_y$ para $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $N_x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ pues así facilitamos la escritura.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(2x + 3)dx + (13y - 4)dy = 0$

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones $M$ y $N$ ; y posteriormente calculamos sus derivadas parciales $M_y$ y $N_x$ .

$M(x,y) = 2x+3 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 0$
$N(x,y) = 13y-4 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 0$

Ambas derivadas parciales son iguales a cero, es decir, $M_y = N_x$ . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: $(2x + 3)dx + (13y - 4)dy$ es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones $M$ y $N$ corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3 \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = 13y - 4$

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función $f(x,y)$ que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3$ e integramos esta función respecto a la variable $x$ , obtenemos la función $f(x,y)$ de la siguiente manera:

$\int \frac{\partial f}{\partial x} dx = \int (2x + 3) dx \Rightarrow f(x,y) = x^2 + 3x + g(y)$

Notemos que al ser $f(x,y)$ una función que depende de $x$ y de $y$ , al calcular la integral de esta respecto a $x$ , la variable $y$ se comporta como una constante, entonces $g(y)$ será nuestra constante de integración.

Para determinar la función $g(y)$ , calculamos la derivada de $f(x,y) = x^2 + 3x + g(y)$ respecto a la variable $y$ para obtener que

$\frac{\partial f}{\partial y} = g'(y)$

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces $N(x,y)$ corresponde con el elemento $\frac{\partial f}{\partial y}$ del diferencial de $f(x,y)$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial y} = 13y - 4$ . Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

$g'(y) = 13y - 4$

Entonces integramos $g'(y)$ respecto a la variable $y$ para obtener

$g(y) = \frac{13}{2}y^2 - 4y$

Sustituimos $g(y)$ y concluimos que la función $f$ está definida como

$f(x,y) = x^2 + 3x + \frac{13}{2}y^2 - 4y$

Y recordando que la ecuación diferencial está definida a partir del diferencial de $f(x,y)$ cuando esta función permanece constante, entonces la solución general de nuestra ecuación diferencial viene dada por

$x^2 + 3x + \frac{13}{2}y^2 - 4y = c$

Nota: Pudiéramos calcular la solución de la ecuación planteada usando el método de las variables separables, pero para efectos didácticos, consideramos una ecuación sencilla para explicar el presente método.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy = 0$

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones $M$ y $N$ y; posteriormente calculamos sus derivadas parciales: $M_y$ y $N_x$ . Entonces:

$M(x,y) = 1 + x^2y^3 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 3x^2y^2$
$N(x,y) = x^3y^2 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 3x^2y^2$

Ambas derivadas parciales son iguales a $3x^2y^2$ , es decir, $M_y = N_x$ . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: $(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy$ es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones $M$ y $N$ corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + x^2y^3 \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = x^3y^2$

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función $f(x,y)$ que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivadas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos $\frac{\partial f}{\partial y} = x^3y^2$ e integramos esta función respecto a la variable $y$ , obtenemos la función $f(x,y)$ de la siguiente manera:

$\int \frac{\partial f}{\partial y} dy = \int x^3y^2 dy \Rightarrow f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + h(x)$

Notemos que al ser $f(x,y)$ una función que depende de $x$ y de $y$ , al calcular la integral de esta respecto a $y$ , la variable $x$ se comporta como una constante, entonces $h(x)$ será nuestra constante de integración.

Para determinar la función $h(x)$ , calculamos la derivada de $f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + h(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener que

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^2y^3 + h'(x)$

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces $M(x,y)$ corresponde con el elemento $\frac{\partial f}{\partial x}$ del diferencial de $f(x,y)$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + x^2y^3$ . Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

$1 + x^2y^3 = x^2y^3 + h'(x) \Rightarrow h'(x) = 1$

Entonces integramos $h'(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener

$h(x) = x$

Sustituimos $h(x)$ y concluimos que la función $f$ está definida como

$f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + x$

$\frac{x^3y^3}{3} + x = c$

Ecuaciones No Exactas

Si bien el criterio para un diferencial exacto determina condiciones, no garantiza que todas las ecuaciones sean exactas pues, es posible toparse con ecuaciones diferenciales de la forma

$M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 \text{ tal que } M_y \neq N_x$

En este caso decimos que es una ecuación no exacta pues no se cumple la condición del criterio para un diferencial exacto. Sin embargo, es posible definir un factor $\mu(x,y)$ análogo al factor integrante que definimos para las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, la idea ahora es que al multiplicar este factor por cada uno de los sumandos de nuestra ecuación, obtenemos una ecuación exacta

$\mu(x,y)M(x,y) dx + \mu(x,y)N(x,y)dy = 0$

Definimos este nuevo factor integrante de la siguiente manera:

Si $\frac{M_y - N_x}{N}$ es una función que depende únicamente de la variable $x$ , entonces el factor integrante está definido como $\mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}$
Si $\frac{N_x - M_y}{M}$ es una función que depende únicamente de la variable $y$ , entonces el factor integrante está definido como $\mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x - M_y}{M} dy}$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(y+1)dx + (6x-1)dy=0$

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones $M$ y $N$ ; y posteriormente calculamos sus derivadas parciales $M_y$ y $N_x$ .

$M(x,y) = y+1 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 1$
$N(x,y) = 6x-1 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 6$

Ambas derivadas parciales son distintas, concluimos que esta ecuación diferencial es no exacta, por lo tanto debemos definir el factor integrante que nos permita reducir la ecuación diferencial a una ecuación no exacta. Si consideramos la siguiente expresión

$\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{1 - 6}{6x-1}$

Esta es una expresión que depende únicamente de la variable $x$ , entonces definimos el factor integrante a partir de ella, de la siguiente forma

$\mu(y)$

$\; = \; \textit{\huge e}^{\int \frac{-5}{6x-1} dy}$

$\; = \; \textit{\huge e}^{-\frac{5}{6}\ln(6x-1)}$

$\; = \; (6x-1)^{\frac{-5}{6}}$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de la ecuación diferencial no exacta por el factor integrante

$(6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)dx + (6x-1)^{\frac{1}{6}}dy = 0$

Así, esta ecuación es exacta y podemos garantizar que $M_y = N_x$ . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: $((6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)dx + (6x-1)^{\frac{1}{6}}dy$ es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones $M$ y $N$ corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

$\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1) \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = (6x-1)^{\frac{1}{6}}$

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función $f(x,y)$ que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivadas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos $\frac{\partial f}{\partial y} = (6x-1)^{\frac{1}{6}}$ e integramos esta función respecto a la variable $y$ , obtenemos la función $f(x,y)$ de la siguiente manera:

$\int \frac{\partial f}{\partial y} dy = \int (6x-1)^{\frac{1}{6}} dy \Rightarrow f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + h(x)$

Para determinar la función $h(x)$ , calculamos la derivada de $f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + h(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener que

$\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}} y + h'(x)$

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces $M(x,y)$ corresponde con el elemento $\frac{\partial f}{\partial x}$ del diferencial de $f(x,y)$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)$ . Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

$(6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1) = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}y + h'(x) \Rightarrow h'(x) = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}$

Entonces integramos $h'(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener

$h(x) = (6x-1)^{\frac{1}{6}}$

Sustituimos $h(x)$ y concluimos que la función $f$ está definida como

$f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + (6x-1)^{\frac{1}{6}}$

$(6x-1)^{\frac{1}{6}} \left( y + 1 \right) = c$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales De Primer Orden

19.09.202029.04.2025 Anthonny Arias-García7 comentarios

Definición
1. El Factor Integrante
2. Ejemplos

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables representan sólo una pequeña porción en el universo de las ecuaciones diferenciales, es por esto que debemos generalizar nuestras definiciones paso a paso para poder abordar ecuaciones diferenciales menos triviales.

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Definición

Entonces, definimos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales como aquellas que se expresan de la siguiente forma

$a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)$

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea si $g(x)=0$ , por otra parte, diremos que es no-homogénea si $g(x) \neq 0$ . Podemos notar que toda ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea es de variables separables pues

$\displaystyle a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = 0 \Rightarrow a_1(x) \frac{dy}{dx} = - a_0(x)y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} \cdot y$

Sabiendo esto, en esta sección descartaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas y nos enfocaremos en el caso en que éstas sean no-homogéneas.

Antes de explicar el procedimiento para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, debemos tener claros algunos elementos: Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno, es decir, que está expresada de la siguiente forma

$y' + P(x) y = f(x)$

Y decimos que estandarizar una ecuación diferencial ordinaria lineal es reescribirla en su forma estándar.

El Factor Integrante

El procedimiento que usaremos para calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas se basa en encontrar factor tal que al multiplicarlo por cada sumando de la ecuación, ésta se reduce a una ecuación homogénea. A este factor lo llamaremos factor integrante y lo definimos como

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int P(x)dx}$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:

$5y' - 20y = 30$

Lo primero que debemos notar es que esta ecuación no está expresada en su forma estándar así que aún no podemos identificar la función $P(x)$ para definir nuestro factor integrante, para estandarizarla debemos dividir cada uno de sus sumandos por 5 para obtener

$y' - 4y = 6$

Una vez estandarizada, podemos concluir que $P(x)=-4$ , así que nuestro factor integrante es

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int -4dx} = \textit{\huge e}^{-4x}$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

$\textit{\huge e}^{-4x} y' + \textit{\huge e}^{-4x} (- 4y) = \textit{\huge e}^{-4x} 6$

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto $\textit{\huge e}^{-4x} \cdot y$ , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

Expresados ambos elementos de la ecuación de esta forma, calculamos la integral de ambas expresiones respecto a la variable $x$ tal como se ha planteado al calcular la solución de ecuaciones diferenciales de variables separables.

$\int \frac{d}{dx} \left( \textit{\huge e}^{-4x} y \right) \ dx = \int \textit{\huge e}^{-4x} 6 \ dx \Rightarrow \textit{\huge e}^{-4x} y = \frac{\textit{\huge e}^{-4x}}{-4} 6 + C$

Finalmente, despejamos $y$ para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

$y = -\frac{3}{2} + C\textit{\huge e}^{4x}$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:

$2x^2y' + 4xy = 7x^4$

$y' + \frac{2}{x}y = \frac{7}{2}x^2$

Una vez estandarizada, podemos concluir que $P(x) = \frac{2}{x}$ , así que nuestro factor integrante es

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{2}{x} dx} = \textit{\huge e}^{2\ln(x)} = x^2$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

$x^2 \cdot y' + x^2 \cdot \frac{2}{x} y = x^2 \cdot \frac{7}{2}x^2$

Cuyos sumandos podemos simplificar de la siguiente forma:

$x^2 \cdot y' + 2x \cdot y = \frac{7}{2}x^4$

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto $x^2 \cdot y$ , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

$\int \frac{d}{dx}\left( x^2 y \right) dx = \int \frac{7}{2}x^4 dx \Rightarrow x^2 y = \frac{7}{10}x^5 + C$

Finalmente, despejamos $y$ para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

$y = \frac{7}{10}x^3 + \frac{C}{x^2}$

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea con el problema de valor inicial indicado:

$6x^3y' - 2x^2y = 4x - 6, \ y(1) = 1$

$y' - \frac{1}{3x}y = \frac{2}{3x^2} - \frac{1}{x^3}$

Una vez estandarizada, podemos concluir que $P(x) = - \frac{1}{3x}$ , así que nuestro factor integrante es

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int - \frac{1}{3x} dx} = \textit{\huge e}^{-\frac{1}{3}\ln(x)} = x^{-\frac{1}{3}}$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

$x^{-\frac{1}{3}} \cdot y' - x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3x}y = x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3x^2} - x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{x^3}$

Cuyos sumandos podemos simplificar de la siguiente forma:

$x^{-\frac{1}{3}} \cdot y' - \frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}} y = \frac{2}{3}x^{-\frac{7}{3}} - x^{-\frac{10}{3}}$

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto $x^{-\frac{1}{3}} \cdot y$ , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

$\int \frac{d}{dx}\left( x^{-\frac{1}{3}} \cdot y \right) dx = \int \left( \frac{2}{3}x^{-\frac{7}{3}} - x^{-\frac{10}{3}} \right) \ dx$

$\Rightarrow \ x^{-\frac{1}{3}} \cdot y = -\frac{1}{2}x^{-\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{-\frac{7}{3}} + C$

Finalmente, despejamos $y$ para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

$y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + C x^{\frac{1}{3}}$

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores $x=1$ y $y=1$ en la solución general para posteriormente despejar $C$

$y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + C x^{\frac{1}{3}}$

$\; \Rightarrow \; 1 = -\frac{1}{2(1)} + \frac{3}{7(1)^2} + C (1)^{\frac{1}{3}}$
$\; \Rightarrow \; 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{7} + C$
$\; \Rightarrow \; 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = C$
$\; \Rightarrow \; \frac{15}{14} = C$
$\; \Rightarrow \; C = \frac{15}{14}$

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial $y(1)=1$ es

$y =-\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + \frac{15}{14} x^{\frac{1}{3}}$

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

15.09.202007.04.2025 Anthonny Arias-García2 comentarios

Definición

Definimos una ecuación diferencial como una expresión matemática que establece una relación entre una o más variables independientes; una o más variables dependientes; y las derivadas de estas variables dependientes a través de una igualdad.

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Formalmente, considerando una variable independiente $x$ y una variable que dependiente $y$ , diremos que la siguiente expresión es una Ecuación Diferencial:

$F \left( x,y,y',y'', \dots ,y^{(n)} \right)=0$

De forma particular, si consideramos la siguiente relación

$y - y' = 0$

diremos que ésta es una ecuación diferencial.

Nuestro propósito será el de determinar qué función $y$ es la que satisface esta igualdad y en este ejemplo, a simple vista podemos notar que $y=\textit{\Large e}^x$ es una solución de esta ecuación diferencial pues $\textit{\Large e}^x - \left( \textit{\Large e}^x \right)' = 0$ .

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de distintas ecuaciones diferenciales y para esto debemos clasificarlas.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de tres formas: Por tipo, por linealidad y por orden.

Por tipo: Si la ecuación diferencial involucra derivadas respecto a sólo una variable independiente, diremos que la ecuación diferencial es ordinaria. En otro caso, diremos que es una ecuación diferencial parcial.

Por linealidad: Una ecuación diferencial es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente y sus derivadas.

Por orden: El orden de una ecuación diferencial viene dada por la derivada de mayor orden que se encuentre involucrada en ésta.

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial $y - y' = 0$ , entonces

Es ordinaria pues si consideramos $y'=\frac{dy}{dx}$ , notamos que ésta sólo involucra la derivada de sólo una variable independiente.
Es lineal ya que el exponente de $y$ y $y'$ es exactamente igual a uno.
Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de primer orden.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial $3xy''' + 2x^4y^3 = 6x^3$ , entonces

Es ordinaria pues ésta sólo involucra una variable independiente.
No es lineal ya que la variable dependiente $y$ está elevada al cubo.
Es de tercer orden porque la derivada de mayor orden es de tercer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria no lineal de tercer orden.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial $5 \frac{\partial y}{\partial x } + 9 \frac{\partial y}{\partial z } = 6x^3y - 7z^5$ , entonces

Es parcial pues ésta involucra las derivadas respecto a más de una variable independiente.
Es lineal ya que el exponente de $y$ , $\frac{\partial y}{\partial x }$ y $\frac{\partial y}{\partial z }$ es exactamente igual a uno.
Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Parcial lineal de primer orden.

Nota: Todas las ecuaciones diferenciales que consideraremos mientras estudiemos los aspectos básicos, serán Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, es por esto que siempre consideraremos $y' = \frac{dy}{dx}$ , salvo que se indique otra variable dependiente u otra variable independiente.

Solución de una Ecuación Diferencial

Si consideramos la ecuación diferencial

$F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0$

Diremos que una función $y_0$ definida en un intervalo $I$ con $n$ derivadas continuas en el intervalo $I$ es la solución de esta ecuación diferencial de $n$ -ésimo orden, si esta satisface la igualdad planteada, es decir, tal que

$F \left( x,y_0,y_0',y_0'', \ldots ,y_0^{(n)} \right)=0$

Consideremos algunos ejemplos para que ilustrar esta idea con mayor claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y - y' = 0$

La función $y_0 = \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial, pues

$\displaystyle \textit{\Large e}^{x} - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' = \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = 3 \textit{\Large e}^{x}$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle 3\textit{\Large e}^{x} - \left( 3\textit{\Large e}^{x} \right)' = 3\textit{\Large e}^{x} - 3\textit{\Large e}^{x} = 0$

De forma general, si consideramos $y = C \cdot \textit{\Large e}^{x}$ para cualquier constante real $C$ diremos que este tipo de solución es una solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' - 2y = 0$

La función $y_0 = x^2$ es una solución de esta ecuación diferencial, pues

$\displaystyle x(x^2)' - 2(x^2) = x(2x) - 2x^2 = x^2 - x^2 = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = -5x^2$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle x(-5x^2)' - 2(-5x^2) = x(-10x) +10x^2 = -10x^2 + 10x^2 = 0$

De forma general, si consideramos $y = C \cdot x^2$ para cualquier constante real $C$ diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0$ .

La función $y_0 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial, pues

$\displaystyle \left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle \left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1 \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0$

De forma general, si consideramos $x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C$ para cualquier constante real $C$ diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' + y = 0$

La función $y_0 = \frac{1}{x}$ es una solución de esta, pues

$\displaystyle x\left( \frac{1}{x} \right)' + \frac{1}{x} = x\left(-\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que la pena notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = \frac{2}{x}$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle x\left( \frac{2}{x} \right)' + \frac{2}{x} = x\left( -\frac{2}{x^2} \right) + \frac{2}{x} = - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} = 0$

De forma general, si consideramos $\frac{C}{x}$ para cualquier constante real $C$ diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Tomando en cuenta los ejemplos expuestos, las soluciones de los primeros ejemplos están definidas para todos los números reales, sin embargo, esto no ocurre al considerar las soluciones de $xy' + y = 0$ pues particularmente, la función $y_0 = \frac{1}{x}$ no está definida cuando $x=0$ . En este último caso, los intervalos $(-\infty,0)$ y $(0,+\infty)$ son los intervalos más grandes donde la solución está definida.

Entonces, es importante mencionar que al calcular la solución de una ecuación diferencial, por definición, esta debe estar definida en intervalos, es por esto que siempre consideraremos el mayor intervalo donde la solución y sus derivadas están definidas.

Problemas de Valor Inicial

Hay ecuaciones diferenciales cuya solución está condicionada sobre un punto, este tipo de condiciones es llamado problemas de condición inicial. Formalmente, diremos que la ecuación diferencial tiene un problema de valor inicial si la solución debe cumplir con la condición $y(x_0) = y_0$ . Sin embargo, ¿cómo sabemos que en efecto podemos encontrar la solución de una ecuación que cumpla con esa condición? A continuación veremos un teorema que nos permitirá determinar si una ecuación diferencial con un problema de valor inicial tiene solución.

Teorema (de Existencia y Unicidad)

Considerando una ecuación diferencial de la forma $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ y $R$ una región rectangular en el plano $XY$ que contiene al punto $(x_0,y_0)$ en su interior, definida por

$a \leq x \leq b \ \text{ y } \ c \leq y \leq d$

Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en la región $R$ , entonces existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0$ contenido en $[a,b]$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución del problema de valor inicial $y(x_0) = y_0$ .

Las ecuaciones diferenciales que consideraremos de aquí en adelante cumplirán con las condiciones del Teorema de Existencia y Unicidad salvo que se diga lo contrario, sin embargo, siempre es importante verificar que se cumplan las condiciones antes de empezar a calcular la solución de una ecuación diferencial.

Ejemplos

Ejemplo 5

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y - y' = 0$ con problema de valor inicial $y(0)=1$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$y' = y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = y \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 1$

Así, $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ , existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 0$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(0) = 1$ .

Particularmente la función $y = \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(0) = \textit{\Large e}^{0} = 1$

Ejemplo 6

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' - 2y = 0$ con problema de valor inicial $y(2)=4$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$xy' - 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = \frac{2y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{x}$

Así, considerando que $x_0=2$ , $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ tal que $0 < x < b$ ( $b > 2$ ), existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 2$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(2) = 4$ .

Particularmente la función $y = x^2$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(2) = (2)^2 = 4$

Ejemplo 7

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0$ con problema de valor inicial $y(1)=0$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = x \textit{\Large e}^{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

Así, $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ , existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 1$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(1) = 0$ .

Particularmente la función $y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(0) = (1) \textit{\Large e}^{1} - \textit{\Large e}^{1} = 0$

Ejemplo 8

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' + y = 0$ con problema de valor inicial $y(1)=1$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$xy' + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = -\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{x}$

Así, considerando que $x_0=1$ , $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ tal que $0 < x < b$ ( $b > 1$ ), existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 1$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(1) = 1$ .

Particularmente la función $y = \frac{1}{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(1) = \frac{1}{1} = 1$

Forma General de una Ecuación de Bernoulli

Ejemplos

Ejemplo 1

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Funciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Ejemplos

Ejemplo 5

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Diferencial Exacto

Ecuaciones Exactas

Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ecuaciones No Exactas

Ejemplos

Ejemplo 3

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Definición

El Factor Integrante

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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Definición

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Solución de una Ecuación Diferencial

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Problemas de Valor Inicial

Teorema (de Existencia y Unicidad)

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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