Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Polinómicas

23.02.202210.05.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Calcule la solución de la ecuación polinómica planteada (igualando toda la expresión a cero, agrupando todos los elementos en el lado izquierdo de la igualdad) y posteriormente factorice la expresión polinómica resultante.

$x^{2} + x - 68 = x - 4$
$x^{2} + 18 x + 73 = x + 1$
$x^{2} + 5 x + 6 = x + 6$
$x^{2} - 5 x + 2 = x - 3$

$- 6 x^{2} - 26 x + 56 = 4 x^{2} + 4 x - 224$
$- 14 x^{2} - 26 x + 568 = - 10 x^{2} - 30 x + 400$
$5 x^{2} + 32 x + 48 = 2 x^{2} + 26 x + 72$
$- 2 x - 8 = - x^{2} - 9 x - 20$

$3 x^{3} - 137 x^{2} + 64 x + 4330 = - 7 x^{3} - 7 x^{2} + 154 x + 280$
$2 x^{3} + 8 x^{2} - 156 x - 336 = - x^{3} - x^{2} + 6 x$
$- 18 x^{3} + 36 x^{2} - 54 x + 1944 = - 9 x^{3} + 144 x^{2} - 297 x - 2430$
$- 17 x^{3} - 162 x^{2} + 357 x + 4750 = - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 528 x + 4480$

$- 9 x^{4} + 18 x^{3} + 417 x^{2} - 126 x - 3840 = - 3 x^{4} + 81 x^{2} + 162 x$
$9 x^{4} + 123 x^{3} + 369 x^{2} - 249 x + 756 = 3 x^{4} + 33 x^{3} - 39 x^{2} - 753 x + 756$
$6 x^{4} - 12 x^{3} - 656 x^{2} - 1418 x + 31780 = x^{4} - 22 x^{3} + 159 x^{2} - 418 x + 280$
$x^{4} + 44 x^{3} + 530 x^{2} + 1972 x + 4365 = - 8 x^{4} - 64 x^{3} + 584 x^{2} + 4960 x + 7200$

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Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

07.12.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c=0$ para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

$-x^2 + px + 3 = (x+2)^2$

$\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4$

$\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

$\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0$

$\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0$

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

$b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$

Entonces, identificando $a=2$ , $b=-(p+4)$ y $c=1$ , tenemos que

$\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0$

$\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0$

$\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8$

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales $\left( p+4 \right)^2 - 8 > 0$ , pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de $p$ para los cuales $\left( p+4 \right)^2 \leq 8$ y estos son: $-2$ , $-3$ , $-4$ , $-5$ y $-6$ ; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos $p=-2$ , tenemos que

$\left( -2+4 \right)^2 < 8$

$\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8$

$\Rightarrow 4 < 8$

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que $p$ puede tomar son todos los enteros mayores que $-2$ o todos los valores enteros menores que $-6$ , es decir, todos los valores de $p$ tales que

$p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty)$ , con $p \in \mathbb{Z}$

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, $-2$ , $-3$ , $-4$ , $-5$ y $-6$ ; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

$-2 -3 -4 -5 -6 = -20$

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

Funciones Cuadráticas

02.01.202107.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

$f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0$

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

$f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0$

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ .

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma $\cup$ ; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma $\cap$ .

Considerando la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ , diremos que $a$ es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

Si $a > 0$ entonces la función cuadrática es convexa.
Si $a < 0$ entonces la función cuadrática es cóncava.

Concavidad de la función cuadrática | totumat.com

Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) > f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) < f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática $f(x)=x^2$ se encuentra en el punto $(0,0)$ .

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión $(px + q)^2 + r$ traslada a la función $x^2$ en $-\frac{q}{p}$ unidades en el Eje X y en $r$ unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto $\left( -\frac{q}{p} , r \right)$ .

Vértice de la función cuadrática | totumat.com

Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por $V_x$ , entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

$a = p^2$

$b = 2pq$

$V_x = -\frac{q}{p}$

A partir de la segunda ecuación podemos despejar $q$ para obtener que $q=\frac{b}{2p}$ y sustituyendo este valor de $q$ en la tercera ecuación, tenemos que

$V_x \ = \ -\frac{q}{p}$

$\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}$

$\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}$

Entonces, considerando esta última igualdad y que $a = p^2$ , concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ en $V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$ .

$f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c$

$\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c$

$\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

$x = V_x$

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto $x=0$ , es decir, calcular la imagen $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c$ .

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$ , es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ . Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

Si $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces existen dos puntos de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces existe sólo un punto de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de $x$ que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

$\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (Homogéneas)

11.10.202002.07.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Las funciones $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x)$ que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

$a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$

Donde $a_0, a_1, \ldots, a_n$ son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de $g(x)$ . Diremos que una ecuación de este tipo es homogénea si $g(x)=0$ , y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden

Consideremos de forma particular, una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes de segundo orden, de la cual no conocemos ninguna solución particular, expresada de la siguiente forma:

$ay'' + by' + cy = 0$

Notemos que al ser todos sus coeficientes constantes, entonces todos sus coeficientes son funciones continuas en cualquier intervalo $I$ , por lo tanto podemos garantizar que existe una solución.

La Ecuación Auxiliar

La ecuación que hemos considerado se puede reescribir como $y'' = \alpha y' + \beta y$ , esta expresión sugiere que la segunda derivada de la solución que estamos buscando es una combinación lineal de la primera y segunda derivada. Podemos intuir con certeza que una función de la forma $y=\textit{\Large e}^{mx}$ cumple con esta propiedad pues

$y=\textit{\Large e}^{mx}$

$y'=m\textit{\Large e}^{mx}$

$y''=m^2\textit{\Large e}^{mx}$

Entonces, sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación que hemos planteado, tenemos que

$am^2\textit{\Large e}^{mx} + bm\textit{\Large e}^{mx} + c\textit{\Large e}^{mx} = 0$

Podemos factorizar esta expresión, pues si sacamos $\textit{\Large e}^{mx}$ como un factor obtenemos

$\textit{\Large e}^{mx} ( am^2 + bm + c) = 0$

Tomando en cuenta que la función exponencial siempre es distinta de cero, tenemos que $\textit{\Large e}^{mx} \neq 0$ , entonces para que esta igualdad se satisfaga, necesariamente el otro factor involucrado debe ser igual a cero, es decir,

$am^2 + bm + c = 0$

Esta última es una ecuación cuadrática y en este caso la llamamos ecuación auxiliar. Nuestro propósito será el calcular el valor $m$ que la satisface pues de esta forma hallamos la función $y$ , para esto usamos el método del discriminante del cual obtenemos dos valores.

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ y } m_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

A partir de aquí debemos tener tres consideraciones antes de que expresar nuestra solución:

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Discriminante positivo

Si $b^2-4ac > 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números reales distintos, obtenemos dos soluciones particulares $y_1 = \textit{\Large e}^{m_1 x}$ y $y_2 = \textit{\Large e}^{m_2 x}$ por lo que la solución general está definida como

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x}$

Discriminante igual a cero

Si $b^2-4ac = 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números reales exactamente iguales $\frac{-b}{2a}$ , por lo que la una solución particular está definida como $y_1=\textit{\Large e}^{m_1x}$ , sin embargo, ¿cómo determinamos la otra solución particular?

Considerando la ecuación $ay'' + by' + cy = 0$ , entonces estandarizamos la ecuación

$y'' + \frac{b}{a}y' + \frac{c}{a}y = 0$

Y recordemos que si conocemos una solución particular $y_1$ de una ecuación, la otra solución particular $y_2$ se puede calcular aplicando la siguiente fórmula

$y_2(x) \ = \ y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{m_1 x} \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{\frac{-b}{2a} x} \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Large e}^{\tiny - \frac{b}{a} x}}{ \textit{\Large e}^{- \frac{b}{a} x} } dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int dx$

$= \ x \textit{\Large e}^{m_1 x}$

Por lo tanto, la solución general está definida como

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1x} + c_2 x \textit{\Large e}^{m_1x}$

Discriminante negativo

Si $b^2-4ac < 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números complejos distintos de la forma $m_1=\alpha + i\beta$ y $m_2=\alpha-i\beta$ donde $\alpha,\beta<0$ e $i^2=-1$ . Formalmente no hay diferencia entre este y el primer caso, por lo que la solución será

$y = c_1 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x} + c_2 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x}$

Sin embargo, será necesario reescribir esta función en términos de números reales, por esta razón recurrimos a una serie de artilugios matemáticos que al final nos darán como resultado

$y = c_1 \textit{\Large e}^{\alpha x} cos(\beta x) + c_2 \textit{\Large e}^{\alpha x} sen(\beta x)$

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$2y'' - 5y' -3y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$2m^2 - 5m - 3 = 0$

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

$m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(-3)}}{2(2)}$

Por lo tanto, $m_1=\frac{1}{2}$ y $m_2=3$ son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{-\frac{1}{2}x} + c_2 \textit{\Large e}^{3x}$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y'' - 10y' + 25y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$m^2 - 10m - 25 = 0$

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

$m = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(1)(-25)}}{2(1)}$

Por lo tanto, $m_1=5$ y $m_2=5$ son las raíces de este polinomio y notando que ambas son la misma raíz, decimos que esta tiene multiplicidad igual a 2, por lo tanto la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{5x} + c_2 x \textit{\Large e}^{5x}$

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y'' + 4y' + 7y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$m^2 + 4m + 7 = 0$

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

$m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -2 \pm \sqrt{3}i$

Por lo tanto, $m_1= -2 + \sqrt{3}i$ y $m_2= -2 - \sqrt{3}i$ son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{3}x) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} sen(\sqrt{3}x)$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de n-ésimo orden

Habiendo estudiado el caso para ecuaciones diferenciales de segundo orden, veremos ahora que el caso para ecuaciones de mayor orden no será muy diferente pues simplemente generalizamos las ideas. Formalmente, al considerar una ecuación de la forma

$a_{n} y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_{1} y' + a_0 y = 0$

Nuevamente consideraremos una función de la forma $y=\textit{\Large e}^{mx}$ y al sustituirla en la ecuación, hacemos un desarrollo análogo al caso de segundo orden para obtener la siguiente ecuación

$a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \ldots + a_1 m + a_0$

Que nuevamente llamaremos ecuación auxiliar y, si esta tiene $n$ soluciones distintas, entonces la solución general de la ecuación diferencial viene dada por

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x} + \ldots + c_n \textit{\Large e}^{m_n x}$

Sin embargo, cuando no todas las $n$ soluciones son iguales, debemos «combinar» los otros dos casos, de forma que si $m_p$ tiene multiplicidad $k$ , es decir, es una solución que se repite $k$ veces, entonces la expresión

$c_{p_1} \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_2} x \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_3} x^{2} \textit{\Large e}^{m_p x} + \ldots + c_{p_k} x^{k-1} \textit{\Large e}^{m_p x}$

Se encuentra como una combinación lineal que forma parte de la solución.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y''' + 3y'' - 4y = 0$

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

$m^3 + 3m^2 - 4 = 0$

Y aplicando el Método de Ruffini podemos hallar las raíces de este polinomio,

De esta forma, tenemos que $m_1=1$ , $m_2=-2$ y $m_3=-2$ . Notamos que -2 es una raíz multiplicidad dos, pues se repite dos veces. Así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y = c_{1} \textit{\Large e}^{x} + c_{2} \textit{\Large e}^{-2x} + c_{3} x \textit{\Large e}^{-2x}$

Ejemplo 5

Supongamos ahora que al plantear una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes, su ecuación auxiliar se factoriza de la siguiente forma

$(m-3)^2(m+7)^3(m-5)(m-(4+i9))(m-(4-i9))$

Entonces, tomando en cuenta la multiplicidad de algunas raíces y que otras son complejas, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

$y =$

$c_1 \textit{\Large e}^{3x} + c_2 x \textit{\Large e}^{3x}$

$+ c_3 \textit{\Large e}^{-7x} + c_4 x \textit{\Large e}^{-7x} + c_5 x^2 \textit{\Large e}^{-7x}$

$+ c_6 \textit{\Large e}^{5x}$

$+ c_7 \textit{\Large e}^{4x} cos(9x) + c_8 \textit{\Large e}^{4x} sen(9x)$

La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

10.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García10 comentarios

La ecuación cuadrática

Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales, definimos una ecuación cuadrática como una ecuación que se puede expresar de la forma:

$ax^2+bx+c=0$

Diremos que $a$ , $b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación, siendo $a$ el coeficiente principal y $c$ el término independiente.

El discriminante

Habiendo definido los coeficientes de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c$ , definimos el discriminante de dicha ecuación como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ . Éste número nos sirve como un indicador sobre la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

Si el discriminante es mayor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones.
Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces la ecuación tiene una solución.
Si el discriminante es menor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces la ecuación no tiene solución.

La fórmula cuadrática

A partir del discriminante podemos establecer un método que nos permite calcular con exactitud la solución de la ecuación $ax^2+bx+c$ que consiste en usar la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita $x$ :

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos en los siguientes ejemplos cómo aplicar el Método del Discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas, primero identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula cuadrática.

Nota: La fórmula cuadrática, es conocida en distintos países de forma coloquial. En algunos es conocida como La Resolvente y en otros, es conocida como La Chicharronera.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+5x+6=0$ .

Para empezar, debemos notar que el término $x^2$ no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que $x^2 = 1 \cdot x^2$ . Así, tenemos que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo $\pm$ indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

$x = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, $x=-2$ ó $x=-3$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+5x+6=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 1$ , es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+2x-8=0$ .

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm 6}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-2 + 6}{2}$

$= \dfrac{4}{2}$

$= 2$

$x = \dfrac{-2 - 6}{2}$

$= \dfrac{-8}{2}$

$= -4$

Así, $x=2$ ó $x=-4$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+2x-8=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 36$ , es mayor que cero.

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $5x^2-15x-50=0$ .

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término $x^2$ tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4 \cdot (5) \cdot (-50)}}{2 \cdot 5}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{225+1000}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{1225}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm 35}{10}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{15 + 35}{10}$

$= \dfrac{50}{10}$

$= 5$

$x = \dfrac{15 - 35}{10}$

$= \dfrac{-20}{10}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 3 – Una forma alternativa

Por otra parte, notemos que $5$ es un factor común en cada uno de los sumandos, entonces, si sacamos $5$ como un factor común, tenemos que $5(x^2-3x-10)=0$ , entonces, calculamos las raíces de la siguiente forma:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $3x^2+12x+12=0$ .

Tenemos que $a=3$ , $b=12$ y $c=12$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}$

$= \dfrac{-12 \pm 0}{6}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-12 + 0}{6}$

$= -2$

$x = \dfrac{-12 - 0}{6}$

$= -2$

Así, $x=-2$ es la única solución de la ecuación $3x^2+12x+12=0$ . Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , es igual a cero.

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $7x^2-2x+6=0$ .

Tenemos que $a=7$ , $b=-2$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}$

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación $7x^2-2x+6=0$ no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = -164$ , es menor que cero.

Algunos memes relacionados con la fórmula cuadrática

Cuando le dices «el método del discriminante» en vez de «la resolvente».

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Con el Eje Y

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden

La Ecuación Auxiliar

Discriminante positivo

Discriminante igual a cero

Discriminante negativo

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de n-ésimo orden

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

La ecuación cuadrática

El discriminante

La fórmula cuadrática

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3 – Una forma alternativa

Ejemplo 4

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