Usualmente las ecuaciones diferenciales se emplean para modelar el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo. De forma general, si consideramos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, estas estarán expresadas de la forma

$x' + u(t) \cdot x = w(t)$

Donde $u$ y $w$ son funciones que dependen de la variable $t$ .

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El Modelo de Crecimiento Poblacional

Empecemos por considerar uno de los modelos más básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en un tiempo $t$ : el caso homogéneo con coeficiente constante, es decir, tal que $w(t)=0$ y $u(t)=k$ . En este caso, las ecuaciones estarán expresadas de la forma

$x' - k \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x' = k \cdot x$

Con valor inicial $x(0)=x_{0}$ . En este caso la constante $k$ será conocida como constante de proporcionalidad y este tipo de ecuaciones sirve para describir diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Las aplicaciones de este modelo pueden variar entre crecimiento de una población de bacterias, media-vida (variable que se usa para describir la estabilidad de sustancias radiactivas), pruebas de carbono 14 (para medir qué tan antiguo es un fósil) o incluso para determinar en cuánto tiempo se enfría una torta, sin embargo, durante este curso consideraremos de forma particular la forma en que crece la población de una determinada localidad.

Formalmente, si definimos la variable $P(t)$ para denotar el tamaño de la población en un tiempo $t$ , la forma en que varía el tamaño de la población respecto al tiempo se puede describir calculando la derivada de la variable $P$ respecto al tiempo $t$ , es decir, $P'(t) = \frac{dP}{dt}(t)$ .

Para poder emplear este tipo de modelos, debemos suponer que la forma en que varía la población en un instante de tiempo $t$ es proporcional al tamaño de la población en dicho tiempo $t$ , de esta forma, obtenemos la siguiente igualdad

$P'(t) = k \cdot P(t)$

Notando que esta igualdad representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea y puede usarse para predecir el tamaño de la población en el futuro, es decir, para algún $t>t_{0}$ . Y sabiendo el tamaño de la población en un punto $t_0$ entonces podemos definir una ecuación diferencial con problema de valor inicial de la siguiente forma:

$P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_{0}) = P_0$

Representando la ecuación diferencial de esta forma, la constante de proporcionalidad se puede determinar a partir de la solución con el valor inicial dado.

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Ejemplo

Mediante un censo poblacional en el año 1970, el tamaño de la población de una pequeña ciudad fue de aproximadamente 70 000 habitantes. En el censo poblacional del año 2000 se estimó que el tamaño de la población fue de 200 000 habitantes. Considerando que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, ¿cuál será el tamaño de la población en el año 2030?

Antes de establecer el modelo que define el crecimiento de esta población, es necesario definir las variables involucradas.

El primer censo se efectuó en el año 1970, entonces consideramos a este como el valor inicial $t_{0} = 1970$ . Sin embargo, para agilizar los cálculos, podemos considerar $t_{0} = 0$ y así, $P_{0} = 70000$ .

Partiendo del hecho que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, planteamos la siguiente ecuación diferencial

$P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_0) = P_{0} = 70000$

Al ser esta una ecuación de variables separables, procedemos a calcular su solución con el respectivo valor inicial.

$P' = k P$

$\; \Rightarrow \; \frac{dP}{dt} = k P$

$\; \Rightarrow \; \frac{dP}{P} = k dt$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{dP}{P} = \int k dt$

$\; \Rightarrow \; \ln(P) = kt + C$

$\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt + C}$

$\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt} \textit{\large e}^{C}$

$\; \Rightarrow \; P = C \textit{\Large e}^{kt}$

Tomando en cuenta que hemos considerado $t_{0} = 0$ , entonces

$P_{0} = C \textit{\Large e}^{k \cdot (0)} \; \Rightarrow \; 70000 = C \cdot 1 \; \Rightarrow \; C = 70000$

Entonces, la solución de la ecuación diferencial planteada con el problema de valor inicial está dada por

$P = 70000 \textit{\Large e}^{kt}$

Sin embargo, aún no hemos determinado el valor de la constante de proporcionalidad $k$ . Para esto, debemos recurrir a la otra información aportada en el enunciado del problema.

El segundo censo se efectuó en el año 2000, entonces al haberse efectuado 30 años después consideramos a este como el valor en el trigésimo periodo $t_{30} = 2000$ y así, $P(30) = 200000$ . De esta forma, podemos plantear la siguiente igualdad

$P(30) = 70000 \textit{\Large e}^{kt}$

Y a partir de esta igualdad, podemos despejar $k$ .

$\; \Rightarrow \; 200000 = 70000 \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; \frac{200000}{70000} = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; 2.8571 = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; \ln \left( 2.8571 \right) = k \cdot 30$

$\; \Rightarrow \; \frac{\ln \left( 2.8571 \right)}{30} = k$

$\; \Rightarrow \; k \approx 0,03499$

De esta forma, la fórmula general para calcular el tamaño de la población está definida de la siguiente forma:

$P(t) = 70000 \textit{\Large e}^{0,03499 \cdot t}$

Para calcular el tamaño de la población en el año 2030, debemos tomar en cuenta que si el año inicial fue 1970, entonces el año 2030 corresponde al sexagésimo periodo, es decir, $t_{60} = 2030$ . Entonces, evaluamos la función en 60.

$P(60) = 70000 \textit{\Large e}^{(0,03499) \cdot (60)} \; \Rightarrow \; P(60) = 571289$

Depreciación Porcentual

07.09.202027.03.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Al estudiar la depreciación simple, hemos visto como un bien pierde su valor describiéndolo de forma lineal, es decir, cuando su valor ser pierde de forma constante a través del tiempo, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones el valor de un bien se pierde dependiendo de las condiciones que se encuentre actualmente.

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Digamos que este bien se adquiere en $V_1$ y que este se deprecia en un $r$ por ciento cada cierto periodo de tiempo. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, este bien tiene un valor de

Durante el transcurso del segundo periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{2} = V_{1} - V_{1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{1}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{3} = V_{2} - V_{2} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{2}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{3} - V_{3} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{3}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{n-1} - V_{n-1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{n-1}$ como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que en el n-ésimo periodo, el valor del bien está dado por

$\displaystyle V_1 \cdot \left( 1 - \dfrac{r}{100} \right)^{n-1}$

Notando entonces que el valor de este bien durante el transcurso del $n$ -ésimo periodo está determinado por una sucesión geométrica decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación porcentual, al valor $V_1$ se le conoce como valor inicial y a $r$ se le conoce como la tasa porcentual de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 3297$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 33.44$ por ciento anual. Determine su valor en el año 4.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 3297 \cdot \left(1 - \frac{ 33.44 }{ 100 } \right)^{ 4 -1} = 972.21$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 972.21 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 9175$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 4.406$ por ciento anual. Determine su valor en el año 10.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9175 \cdot \left(1 - \frac{ 4.406 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 6116.2$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 6116.2 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 1655$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 29.374$ por ciento anual. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 1655 \cdot \left(1 - \frac{ 29.374 }{ 100 } \right)^{ 8 -1} = 145.06$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 145.06 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 4308$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 28.207$ por ciento anual. Determine su valor en el año 2.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 4308 \cdot \left(1 - \frac{ 28.207 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 3092.84$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 2 es de 3092.84 Ps.

Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Considerando que la fórmula depreciación porcentual está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos $V_i = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)}$ y $V_j = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}$ , podemos determinar el valor de $V_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de depreciación porcentual usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de $V_{10} = 6319$ en el año 10 y $V_{13} = 2710$ en el año 13 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-3)} = \frac{6319}{2710}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-3}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = \frac{74591179153}{931112} \approx 80109.78$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{16100067}{654793} \approx 24.59$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{74591179153}{931112} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{16100067}{654793}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de $V_{3} = 6278$ en el año 3 y $V_{19} = 2517$ en el año 19 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{6278}{2517}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-16}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = \frac{7021696079}{997708} \approx 7037.83$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{4725327}{851057} \approx 5.55$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{7021696079}{997708} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{4725327}{851057}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de $V_{2} = 4124$ en el año 2 y $V_{3} = 2929$ en el año 3 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-1)} = \frac{4124}{2929}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-1}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = \frac{17007376}{2929} \approx 5806.55$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{29875}{1031} \approx 28.98$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{17007376}{2929} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{29875}{1031}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de $V_{1} = 3501$ en el año 1 y $V_{17} = 2377$ en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{3501}{2377}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-16}$ para obtener que

Una vez calcculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = 3501$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{1236633}{517201} \approx 2.39$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = 3501 \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{1236633}{517201}}{100}\right)^{(n-1)}$

El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien considerando que su depreciación ha sido porcentual.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 8379$ Ps. y esta se deprecia en $r = 7.159$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 4190 .

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 4190$ , es decir, para el cual $8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)} = 4190$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 10 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 6523$ Ps. y esta se deprecia en $r = 18.953$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 815.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 815$ , es decir, para el cual $6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)} = 815$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 9292$ Ps. y esta se deprecia en $r = 33.818$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 3097.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 3097$ , es decir, para el cual $9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)} = 3097$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 4 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 6181$ Ps. y esta se deprecia en $r = 17.541$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2060.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 2060$ , es decir, para el cual $6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)} = 2060$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 7 años.

Depreciación Simple

25.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Es un hecho que el tiempo erosiona el valor de cualquier objeto, ya sea por quedar obsoleto, por desgaste o por pérdida de funcionalidad. Esta es una situación que hay que tener en consideración siempre que se adquiere un bien. Suponga de forma particular que una empresa adquiere un bien y desea determinar su valor con el pasar de los años, ya que de esta forma podrá proyectar la fecha en la que se deba desechar o sustituir por uno nuevo.

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Digamos que este bien se adquiere en $V_1$ Perolitos (Ps) y que este se deprecia a razón de $r$ Ps. por año. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer año, este bien tiene un valor de

$V_1$

Durante el transcurso del segundo año, este bien tiene un valor de

$V_1 - r$

Durante el transcurso del tercer año, este bien tiene un valor de

$V_1 - 2r$

Y así sucesivamente, podemos concluir que durante el transcurso del $n$ -ésimo año, este bien tiene un valor de

$V_1 - (n-1)r$

Notando entonces que el valor de este bien en el $n$ -ésimo año está determinando por una sucesión aritmética decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación simple, al valor $V_1$ se le conoce como valor inicial y a $r$ se le conoce como la tasa de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 9336$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 577$ Ps. Determine su valor en el año 6.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9336 +577 \cdot ( 6 -1) = 6451$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 6 es de 6451 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 1495$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 132$ Ps. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 1495 +132 \cdot ( 8 -1) = 571$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 571 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 2002$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 160$ Ps. Determine su valor en el año 7.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 2002 +160 \cdot ( 7 -1) = 1042$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 7 es de 1042 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 9963$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 159$ Ps. Determine su valor en el año 5.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9963 +159 \cdot ( 5 -1) = 9327$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 5 es de 9327 Ps.

Determinar la fórmula general depreciación simple

Considerando que la depreciación simple está determinada por una sucesión aritmética, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos $V_i = V_1 - (i-1) \cdot r$ y $V_j = V_1 - (j-1) \cdot r$ , podemos determinar el valor de $V_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de $V_{8} = 9284$ en el año 8 y $V_{17} = 6974$ en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(9) \cdot r = 2310$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 2310 }{ 9 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = \frac{33242}{3} \approx 11081$ latex y la tasa de depreciación es de $r = \frac{770}{3} \approx 257$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{33242}{3} - (n-1) \cdot \left( \frac{770}{3} \right)$

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de $V_{8} = 9834$ en el año 8 y $V_{15} = 8155$ en el año 15 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(7) \cdot r = 1679$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 1679 }{ 7 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = 11513$ y la tasa de depreciación es de $r = \frac{1679}{7} \approx 240$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = 11513 - (n-1) \cdot \left( \frac{1679}{7} \right)$

Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de $V_{15} = 9091$ en el año 15 y $V_{17} = 1535$ en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(2) \cdot r = 7556$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 7556 }{ 2 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = 61983$ y la tasa de depreciación es de $r = 3778$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = 61983 - (n-1) \cdot \left( 3778 \right)$

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de $V_{3} = 3486$ en el año 3 y $V_{7} = 3439$ en el año 7 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(4) \cdot r = 47$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 47 }{ 4 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = \frac{7019}{2} \approx 3510$ latex y la tasa de depreciación es de $r = \frac{47}{4} \approx 12$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{7019}{2} - (n-1) \cdot \left( \frac{47}{4} \right)$

El valor de desecho

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 6397$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 541$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1066.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 6397 - 541 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 1066$ , es decir, para el cual $6397 +541 \cdot (n -1) = 1066$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 8059$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 376$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1343.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 8059 - 376 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 1343$ , es decir, para el cual $8059 +376 \cdot (n -1) = 1343$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 19 años.

Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 2663$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 161$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 666.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 2663 - 161 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 666$ , es decir, para el cual $2663 +161 \cdot (n -1) = 666$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 13 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 8530$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 206$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2132.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 8530 - 206 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 2132$ , es decir, para el cual $8530 +206 \cdot (n -1) = 2132$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 32 años.

Curva Isocuanta y TTS

20.04.202007.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Si una empresa decide fijar su producción en una cantidad $P_0$ , una vez que ha determinado que su función de producción está dada de la forma $P(L,K)$ , podemos representar mediante una curva de nivel todas las combinaciones posibles de trabajo y capital que mantendrán la producción fija en $P_0$ . Esta curva de nivel será llamada Curva Isocuanta (igual cantidad) y de forma general, si la función $P(L,K)$ es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará definida de la siguiente forma:

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La curva isocuanta además de mostrar las combinaciones de los bienes $L$ y $K$ , nos permiten observar que en que medida se puede intercambiar capital por trabajo manteniendo el mismo nivel de producción. De forma que si se trabajan $L_0$ horas semanales y se invierten $K_0$ unidades de capital, la cantidad de unidades de $K$ que se intercambian por unidades de trabajo $L$ está definida como la tasa técnica de sustitución (TTS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva $P_0$ en el punto $(L_0,K_0)$ , es decir,

$TTS = -\frac{dL}{dK}$

Calculada a partir de la función implícita $P(L,K)=P_0$ .

¿Cómo calcular la TTS?

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de producción está dada por $dP = \frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK$ , entonces el diferencial de la curva de nivel $P_0$ será

$\frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial P}{\partial K} dK = -\frac{\partial P}{\partial L} dL$

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada $\frac{dK}{dL}$ haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de $L$ y $K$ de la siguiente forma

$\dfrac{dK}{dL} = -\dfrac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ -\dfrac{dK}{dL} = \dfrac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ TTS = \dfrac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}}$

Ejemplo

Considerando una compañía que fabrica los plátano chips, ésta ha determinado que la función de producción es $P(L,K)=\sqrt{L \cdot K}$ , donde $L$ es el número de horas de trabajo por semana y $K$ es el capital (expresado en miles de Perolitos por semana) requerido para la producción semanal de $P$ gruesas de plátano chips (Una gruesa es una cantidad de artículos equivalente a doce docenas, es decir, 144 artículos.). Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Debemos calcular ambas funciones de producción marginal, previamente, debemos notar que $P(L,K)=\sqrt{L\cdot K} = (L \cdot K)^{\frac{1}{2}} = L^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}}$ , por lo tanto

$\dfrac{\partial P}{\partial L} = \frac{1}{2} \cdot L^{-\frac{1}{2}} \cdot K^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{K^{\frac{1}{2}}}{L^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}}$

$\dfrac{\partial P}{\partial K} = \frac{1}{2} \cdot K^{-\frac{1}{2}} \cdot L^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{L^{\frac{1}{2}}}{K^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}}$

Luego,

$TTS = \dfrac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}}} = \frac{K}{L}$

Productos Complementarios y Suplementarios

13.04.202027.03.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

En ocasiones, dos productos pudieran estar relacionados de modo que los cambios en el precio de uno afectan la demanda del otro, el uso de derivadas parciales permite determinar qué tipo de cambios se generan.

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Productos Suplementarios

Si consideramos la Coca-Cola y la Pepsi, al ser estos dos productos muy similares, es natural que al no poder adquirir uno, los consumidores opten por adquirir el otro. De forma particular, si sube el precio de uno, los consumidores se verán mas dispuestos a adquirir el otro. A este tipo de productos los llamamos Productos Suplementarios, Competitivos o Sustitutivos.

Conociendo las ecuaciones de demanda de dos productos es posible determinar si estos son suplementarios haciendo un análisis marginal. Para ser más precisos si $q_A (P_A , P_B)$ y $q_B (P_A , P_B)$ son las ecuaciones de demanda de dos productos $A$ y $B$ , entonces

$\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} > 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} > 0$

Diremos que estos $A$ y $B$ son Productos Suplementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

Productos Complementarios

Por otra parte, si consideramos la cebolla y el tomate, usualmente estos dos productos son usados como ingredientes se encuentran combinados en una gran cantidad de platos de la cocina venezolana, por lo tanto si una persona no se encuentra en disposición de adquirir uno de ellos, no estará tentada a adquirir el otro. De forma particular, si aumenta el precio de uno los consumidores se verán menos dispuestos a comprar el otro. A este tipo de productos los llamaremos Productos Complementarios.

Conociendo las ecuaciones de demanda de dos productos es posible determinar si estos son complementarios haciendo un análisis marginal. Para ser más precisos si $q_A (P_A , P_B)$ y $q_B (P_A , P_B)$ son las ecuaciones de demanda de dos productos $A$ y $B$ , entonces

$\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} < 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} < 0$

Diremos que estos $A$ y $B$ son Productos Complementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, disminuye la demanda del otro.

En otro caso, concluiremos que no son ni complementarios ni suplementarios.

Ejemplo

Supongamos que las funciones de demanda para los plátano chips y papa chips vienen dadas por

$q_A(P_A,P_B) = \dfrac{50 \cdot \sqrt[3]{P_B}}{\sqrt{P_A}}$ y $q_B(P_A,P_B) = \dfrac{75 \cdot P_A}{\sqrt[3]{P_B^2}}$

respectivamente.

Determinaremos si estos productos son complementarios o suplementarios calculando las funciones marginales de la demanda de uno respecto al precio del otro.

$\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} = \dfrac{50}{\sqrt{P_A}} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot P_B^{-2/3} > 0$

$\dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} = \dfrac{75}{\sqrt[3]{P_B^2}} > 0$

Estas expresiones son positivas, ya que al representar precios, $P_A$ y $P_B$ son son considerados como valores positivos. Por lo tanto concluimos que estos dos productos son suplementarios ya que cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

El Modelo de Crecimiento Poblacional

Ejemplo

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Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

El valor de desecho

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

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Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Determinar la fórmula general depreciación simple

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

El valor de desecho

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

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¿Cómo calcular la TTS?

Ejemplo

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Productos Suplementarios

Productos Complementarios

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