Polinomios

11.11.201916.12.2025 Anthonny Arias-García4 comentarios

Incógnitas y Variables

¿Qué es una variable?

Si consideramos una ecuación, digamos $x+2=5$ , definimos una incógnita $x$ como un número desconocido cuyo valor debemos calcular. Este valor está condicionado a la relación que establece la igualdad y que, una vez que aplicamos las técnicas de despeje, concluimos que $x=3$ .

Sin embargo, el uso de $x$ puede extenderse, pues podemos usarla como un elemento cuyo valor puede variar. Si consideramos la expresión $x+2$ , notamos inmediatamente que el valor de $x$ no está restringido por una igualdad, así que esta pudiera tomar cualquier valor, por ejemplo,

Si el valor de $x$ es igual a $4$ , entonces $x+2 = 4+2 = 6$ .
Si el valor de $x$ es igual a $-10$ , entonces $x+2 = -10+2 = -8$ .
Si el valor de $x$ es igual a $299$ , entonces $x+2 = 299+2 = 301$ .

De esta forma, si el valor de $x$ no tiene condiciones que lo fijen a un solo valor, podemos decir que este tiene un valor variable. Formalmente, decimos que una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor en un conjunto dado y que usualmente se denota con $x$ , $y$ o $z$ .

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Potencias de la variable

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita $x$ aparece multiplicada por ella misma, es decir, aparece $x^2$ como un sumando.

Recordando que una potencia de un número real $x$ es el producto de dicho número $x$ por sí mismo una cierta cantidad de veces, si multiplicamos $x \cdot x \cdot ... \cdot x$ n veces, expresamos este producto con $x^n$ y decimos que es la n-ésima potencia de $x$ . A $n$ lo llamamos exponente y a $x$ lo llamamos base.

Estudiaremos en esta sección, una herramienta que nos define expresiones matemáticas que involucran potencias de una variable.

¿Qué es un polinomio?

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ un conjunto de $n+1$ números reales. Definimos un polinomio $P(x)$ con la siguiente expresión:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Considerando la expresión que define a un polinomio, podemos identificar varios elementos en ella:

Al conjunto de números reales $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio.
El coeficiente $a_n$ será el coeficiente principal y es quien multiplica a la $x$ con la mayor potencia.
El coeficiente $a_0$ será el término independiente y no multiplica la variable $x$ , ni a sus potencias,
Al número natural $n$ lo llamaremos grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos el polinomio $P(x)= 3x+2$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $1$
El coeficiente principal es $3$
El término independiente es $2$

Ejemplo 2: Polinomio Cuadrático

Si consideramos el polinomio $P(x)= 5x^2+2x+7$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $2$
El coeficiente principal es $5$
El término independiente es $7$

Nota: A un polinomio de grado igual a dos, se le conoce como Polinomio de Segundo Grado ó Polinomio Cuadrático.

Ejemplo 3: Polinomio Cúbico

Si consideramos el polinomio $P(x)= -9x^3-15x^2+x+20$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $3$
El coeficiente principal es $-9$
El término independiente es $20$

Nota: A un polinomio de grado igual a tres, se le conoce como Polinomio de Tercer Grado ó Polinomio Cúbico.

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Al definir herramientas basadas en los polinomios, puede resultar necesario tomar en consideración algunas formas de reescribirlos, con el fin de estandarizar la forma en que estos se expresan.

Ejemplo 4: Completar un polinomio

Si consideramos el polinomio $P(x)= 8x^6 + x^5 + x^3 - 4x -3$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $6$
El coeficiente principal es $8$
El término independiente es $-3$

Además, podemos notar que faltan las potencias 4 y 2 de $x$ . Como el cero es el elemento nulo del producto y además es el elemento neutro de la suma, podemos decir que los coeficientes que multiplican a $x^4$ y $x^2$ son iguales a cero, por esta razón no hace falta escribir esos sumandos. Sin embargo podemos completar el polinomio de la siguiente manera:

$P(x)= 8x^6 + x^5 + 0x^4 + x^3 + 0x^2 -4x +3$

Ejemplo 5: Reordenar un polinomio

Si consideramos el polinomio $P(x)= 4x^4 - 7x^6 + 17 - 2x^{10} + x^5$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $10$
El coeficiente principal es $-2$
El término independiente es $17$

Además, podemos notar que la mayor potencia aparece como un primer sumando, pero, como la suma es conmutativa, nosotros podemos reordenar los sumandos del polinomio de modo que las potencias se escriban en orden decreciente de la siguiente manera:

$P(x)=- 2x^{10} -7x^6 + x^5 + 4x^4 + 17$

Ejemplo 6: Agrupación de términos

Si consideramos el polinomio $P(x)= 6x^2 + 2x^2 + 17x - 7x + 4 + 11$ , podemos notar que los términos $x^2$ , $x$ aparecen dos veces, además, ¿hay dos términos independientes? En este caso podemos agrupar los términos semejantes, para esto recurrimos a la propiedad distributiva de la suma y multiplicación (particular mente a sacar el factor común de una suma), y además de la propiedad asociativa de la suma para reescribir el polinomio de la siguiente forma:

$P(x) = 6x^2 + 2x^2 + 17x - 7x + 4 + 11$

$= (6 + 2)x^2 + (17 - 7)x + (4 + 11)$

$= 8x^2 + 10x + 15$

Una vez que hemos agrupado los términos semejantes, podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $2$
El coeficiente principal es $8$
El término independiente es $15$

Definir polinomios nos proveerá maleabilidad sobre distintas expresiones matemáticas, que de momento no comprenderemos. Entender como está definido un polinomio y saber identificar sus elementos nos permitirá desarrollar herramientas sofisticadas para análisis complejos.

La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

10.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García10 comentarios

La ecuación cuadrática

Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales, definimos una ecuación cuadrática como una ecuación que se puede expresar de la forma:

$ax^2+bx+c=0$

Diremos que $a$ , $b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación, siendo $a$ el coeficiente principal y $c$ el término independiente.

El discriminante

Habiendo definido los coeficientes de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c$ , definimos el discriminante de dicha ecuación como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ . Éste número nos sirve como un indicador sobre la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

Si el discriminante es mayor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones.
Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces la ecuación tiene una solución.
Si el discriminante es menor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces la ecuación no tiene solución.

La fórmula cuadrática

A partir del discriminante podemos establecer un método que nos permite calcular con exactitud la solución de la ecuación $ax^2+bx+c$ que consiste en usar la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita $x$ :

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos en los siguientes ejemplos cómo aplicar el Método del Discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas, primero identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula cuadrática.

Nota: La fórmula cuadrática, es conocida en distintos países de forma coloquial. En algunos es conocida como La Resolvente y en otros, es conocida como La Chicharronera.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+5x+6=0$ .

Para empezar, debemos notar que el término $x^2$ no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que $x^2 = 1 \cdot x^2$ . Así, tenemos que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo $\pm$ indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

$x = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, $x=-2$ ó $x=-3$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+5x+6=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 1$ , es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+2x-8=0$ .

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm 6}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-2 + 6}{2}$

$= \dfrac{4}{2}$

$= 2$

$x = \dfrac{-2 - 6}{2}$

$= \dfrac{-8}{2}$

$= -4$

Así, $x=2$ ó $x=-4$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+2x-8=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 36$ , es mayor que cero.

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $5x^2-15x-50=0$ .

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término $x^2$ tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4 \cdot (5) \cdot (-50)}}{2 \cdot 5}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{225+1000}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{1225}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm 35}{10}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{15 + 35}{10}$

$= \dfrac{50}{10}$

$= 5$

$x = \dfrac{15 - 35}{10}$

$= \dfrac{-20}{10}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 3 – Una forma alternativa

Por otra parte, notemos que $5$ es un factor común en cada uno de los sumandos, entonces, si sacamos $5$ como un factor común, tenemos que $5(x^2-3x-10)=0$ , entonces, calculamos las raíces de la siguiente forma:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $3x^2+12x+12=0$ .

Tenemos que $a=3$ , $b=12$ y $c=12$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}$

$= \dfrac{-12 \pm 0}{6}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-12 + 0}{6}$

$= -2$

$x = \dfrac{-12 - 0}{6}$

$= -2$

Así, $x=-2$ es la única solución de la ecuación $3x^2+12x+12=0$ . Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , es igual a cero.

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $7x^2-2x+6=0$ .

Tenemos que $a=7$ , $b=-2$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}$

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación $7x^2-2x+6=0$ no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = -164$ , es menor que cero.

Algunos memes relacionados con la fórmula cuadrática

Cuando le dices «el método del discriminante» en vez de «la resolvente».

Moe de los simpsons diciendo ulala señor francés | totumat.com

Introducción a las Ecuaciones Cuadráticas

09.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Una sola ecuación, ¿con dos soluciones?

Cuando citamos el Teorema de Pitágoras para definir los Números Reales, nos encontramos con la siguiente ecuación $c^2 = 2$ , donde $c$ es nuestra incógnita y aunque pudimos «inventar» un nuevo número llamado $\sqrt{2}$ para definir el valor de nuestra incógnita; la tarea de encontrar la solución para este tipo de situaciones no es trivial. Es por esto que debemos establecer un método general que para proceder en estos casos.

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Consideremos la siguiente ecuación, en la que la incógnita está elevada al cuadrado:

$x^2 - 4 = 0$

Notemos que esta no es una ecuación lineal, debemos tener en cuenta ciertos detalles para calcular la solución. Sin embargo, podemos notar que $(2)^2$ es igual a $4$ . Por lo tanto, al considerar $x=2$ y sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos lo siguiente:

$(2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Es decir, $x=2$ provee una solución para la ecuación que hemos planteado, pero, esta no es la única solución.

Hay otra solución para esta ecuación, pues podemos notar que $(-2)^2$ también es igual a $4$ . Por lo tanto, al considerar $x=-2$ y sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos lo siguiente:

$(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Es decir, $x=-4$ también provee una solución para la ecuación que hemos planteado.

Es posible establecer un método para calcular estas dos soluciones con un simple despeje partiendo de nuestra ecuación original: $x^2 - 4 = 0$ pues sí sumamos $4$ en ambos lados de la ecuación, obtenemos la siguiente ecuación

$\ x^2 = 4$

¿Qué hacemos en este caso? Aplicaremos la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener la siguiente ecuación.

$\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$

$\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = 2$

Y en este punto debemos tomar en cuenta un «tecnicismo matemático», y es que la distancia entre un número $x$ y el número cero puede definirse como $\sqrt{x^2}$ . De esta forma, tenemos dos valores para los cuales la distancia entre $x$ y cero es exactamente igual a dos, esto es $x=2$ ó $x=-2$ .

En vista de esto, la última ecuación que hemos planteado se puede expresar de la siguiente manera:

$x = \pm 2$

Es decir, la solución para la ecuación $x^2 - 4 = 0$ es $x = 2$ ó $x=-2$ , tal como lo habíamos intuido.

Un caso general

Podemos generalizar este procedimiento para cualquier ecuación de la forma

ecuación cuadrática con coeficiente b igual a cero | totumat.com

Pues partiendo de esta ecuación, podemos sumar $c$ en ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si $c$ está restando de un lado de la igualdad, pasará a sumar en el otro lado (recordando que esto es consecuencia de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales).

$ax^2= c$

Podemos dividir por $a$ en ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si $a$ está multiplicando de un lado de la igualdad, pasará a dividir en el otro lado (recordando que esto es consecuencia de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales).

$x^2= \dfrac{c}{a}$

$\Rightarrow \ \sqrt{x^2}= \sqrt{\dfrac{c}{a}}$

$\Rightarrow \ |x|= \sqrt{\dfrac{c}{a}}$

$\Rightarrow \ x = \pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}$

Finalmente, la solución de esta ecuación será $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ ó $x = - \sqrt{\frac{c}{a}}$ . Aunque debemos tomar en cuenta que esta ecuación tendrá solución solamente si $\frac{c}{a}$ es un número positivo, ya que si $\frac{c}{a}$ es un número negativo, la ecuación no tendrá solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Veamos hora un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones:

$3x^2 - 27 = 0$

$\Rightarrow \ 3x^2 = 27$

$\Rightarrow \ x^2 = \dfrac{27}{3}$

$\Rightarrow \ x^2 = 9$

$\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = \sqrt{9}$

$\Rightarrow \ |x| = 3$

$\Rightarrow \ x = \pm 3$

Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por $x=3$ ó $x=-3$ .

Mire equis, yendo a la raíz del problema, le aconsejo que asuma su naturaleza y acepte vivir con sus dos facetas, la positiva y la negativa.

TROFEA 2011 | totumat.com

Resolución de Ecuaciones Lineales

07.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Cómo se despeja la incógnita x?

Para calcular la solución de una ecuación lineal, debemos despejar la incógnita, esto es aplicar los axiomas algebraicos de los números reales de forma secuencial para que nuestra incógnita «se quede sola» en un sólo lado de la igualdad en la ecuación planteada.

Entonces, si considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ ; veremos en algunos ejemplos cómo despejar la incógnita partiendo de la siguiente forma básica de una ecuación lineal,

$ax + b = c$

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Nota: Al ser la técnica de despeje un proceso lógico-deductivo, usaremos una flecha con dos rayas ( $\Longrightarrow$ ) para denotar que una ecuación se ha deducido de la anterior. Dicha flecha se lee «implica que».

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la ecuación $5x+10 = 20$ despejando la incógnita $x$ .

$5x+10 = 20$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $5$ y posteriormente sumanda por $10$ .

$\Longrightarrow \ 5x+10-10 = 20-10$

Queremos anular el $10$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por 10 en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 5x+0 = 10$

Al ser $10$ y $-10$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 5x = 10$

Al sumar $5x$ más cero, el resultado es $5x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{5} \cdot 5x = \dfrac{1}{5} \cdot 10$

Queremos simplificar el $5$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{5}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 2$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 2$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la ecuación $-3x+20 = 5$ despejando la incógnita $x$ .

$-3x+20 = 5$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $-3$ y posteriormente sumanda por $20$ .

$\Longrightarrow \ -3x+20 -20 = 5 -20$

Queremos anular el $20$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $20$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -3x+0 = -15$

Al ser $20$ y $-20$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -3x = -15$

Al sumar $-3x$ más cero, el resultado es $-3x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{-3} \cdot (-3)x = \dfrac{1}{-3} \cdot (-15)$

Queremos simplificar el $-3$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{-3}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 5$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 5$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita $x$ , es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a $x$ en un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a $x$ del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder efectuar operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ejemplo 3

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad, que está multiplicada por -3 y posteriormente sumanda por 20. E identificamos la incógnita $x$ en lado derecho de la igualdad, que está multiplicada por $4$ y posteriormente restada por $11$ .

$\Longrightarrow \ 10x+7-7 = 4x - 11-7$

Queremos anular el $7$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $7$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x = 4x -18$

Al sumar $10$ más cero, el resultado es $10x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -4x+ 4x -18$

Queremos anular el $4x$ que está sumando en el lado derecho de la igualdad. Entonces, restamos por $4x$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = 0 -18$

Al ser $4x$ y $-4x$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -18$

Al restar cero menos $18$ , el resultado es $18$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ (-4+10)x = -18$

Para sumar los términos que multiplican a equis, aplicamos la propiedad distributiva, notando que $x$ es un factor común.

$\Longrightarrow \ 6x = -18$

Sumamos los elementos que están dentro del paréntesis para obtener $6x$ .

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{6} \cdot 6x = \dfrac{1}{6} \cdot (-18)$

Queremos simplificar el $6$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{6}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = -3$

Al ser $6$ y $\frac{1}{6}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = -3$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

Mientras se está aprendiendo a calcular la solución de una ecuación lineal, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Sin embargo, a medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez, por supuesto, siempre tomando en cuenta el trasfondo de los Axiomas Algebraicos que se están aplicando.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que «lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar«, también podemos decir que «lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar«. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:

Ejemplo 3 – Otra forma

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 11-7$

El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 18$

Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.

$\Rightarrow \ 10x -4x = - 18$

El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.

$\Rightarrow \ 6x = - 18$

Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.

$\Rightarrow \ x = -\dfrac{18}{6}$

El seis que está multiplicando a equis en el lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ x = -3$

Finalmente, menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.

Video Complementario

Introducción a las Ecuaciones Lineales

05.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es una ecuación?

Al considerar de la Ley de Tricotomía de los números reales, hemos visto que al considerar dos números reales, existen tres tipos de relaciones entre ellos dos: el primero es menor que el segundo, el primero es mayor que el segundo o el primero es igual al segundo.

En esta ocasión, nos enfocaremos en la relación de igualdad, pues esta nos permite plantear ciertas situaciones de forma matemática, para posteriormente, desarrollar estrategias que permitan solventar dichas situaciones.

Formalmente, definimos una ecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una igualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras $x$ , $y$ o $z$ ; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. De esta forma, podemos plantear una ecuación de la siguiente forma:

$x + 3 = 5$

Esta ecuación plantea de forma tácita la siguiente pregunta: «¿cuál es ese número tal que al sumarle tres, el resultado es igual a 5?». La respuesta salta a la vista, pues intuitivamente sabemos que ese número es igual a dos. Sin embargo, la idea de plantear ecuaciones es la de desarrollar métodos lógico-deductivos que permitan calcular dichos valores desconocidos en problemas más complejos. Entonces, es necesario plantear la siguiente pregunta:

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¿Cómo se halla la solución de una ecuación?

Sumamos o restamos en ambos lados de la igualdad

Suponga que usted vive en un país donde la moneda local es el Perolito (Ps). Suponga además que usted tiene activados ciertos servicios en su celular y que la renta básica mensual es de 83 Ps. De un mes a otro la renta básica mensual le aumentó a 132 Ps. ¿Cuánto fue el monto que le aumentó? Lo natural es tomar la renta nueva y restarle la antigua, de este modo obtenemos 49. Seguidamente usted exclamará: «¡Me subieron la renta 49 perolitos, qué ultraje!».

Si a este valor desconocido lo representamos con la letra x, esta situación se puede plantear de la siguiente manera:

$83 + x = 132$
ochenta y tres más equis es igual a ciento treinta y dos

Entonces si $x$ es nuestra incógnita y; 83 y 132 dos valores que sí conocemos, ¿podemos hallar este valor que desconocemos considerando la ecuación antes planteada? Sí se puede y el procedimiento es el siguiente:

Partiendo de la ecuación original, sabemos que la suma es conmutativa, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos sumando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión $83 + x =132$ es equivalente a

$x + 83 = 132$

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 132 perolitos en su cartera y 132 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces si de ambos extrae la cantidad de 83 perolitos, en ambos lugares tendrá exactamente la misma cantidad.

Básicamente, estamos diciendo que si usted resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,

$x + 83 - 83 = 132 - 83$

Podemos asociar la suma que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

$x + (83 - 83) = 49$

Recordando que al sumar un número real con su opuesto aditivo el resultado es exactamente cero, entonces

$x + 0 = 49$

Pero sabemos que el cero es el elemento neutro de la suma, por lo tanto, al sumarle cero a cualquier número el resultado será justamente ese número, así

$x = 49$

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 49, tal como desde un principio lo habíamos intuido. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma $x + a = b$ , podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

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Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad

Suponga que usted quiere comprarse una licuadora que cuesta 2400 Ps. y consigue un empleo temporal donde le pagan 120 Ps. por cada hora de trabajo, ¿cuántas horas deberá trabajar para poder comprarse la licuadora? Suponiendo que x es la cantidad de horas que usted debe trabajar, esta situación la podemos plantear con una ecuación de la siguiente manera:

$120 \cdot x = 2400$
ciento veinte por equis es igual a dos mil cuatrocientos

¿Cómo podemos hallar este valor que desconocemos? Partiendo de la ecuación original, sabemos que el producto es conmutativo, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión $120 \cdot x = 2400$ es equivalente a

$x \cdot 120 = 2400$

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 2400 perolitos en su cartera y 2400 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces una ciento veinteava parte en ambos lugares será exactamente la misma cantidad.

Básicamente, estamos diciendo que si usted divide por el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,

$\dfrac{ x \cdot 120}{120} = \dfrac{2400}{120}$

Podemos reescribir el producto que se encuentra en el numerador del lado izquierdo de la igualdad como un producto de fracciones y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

$\dfrac{x}{1} \cdot \dfrac{120}{120} = 20$

Podemos notar que dividir un número entre él mismo es lo mismo que multiplicar un número real con su opuesto aditivo, por lo que $frac{120}{120}$ es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es el mismo número, entonces

$x \cdot 1 = 20$

Pero sabemos que el uno es el elemento neutro del producto, por lo tanto, al multiplicar cualquier número por uno el resultado será justamente ese número, así

$x = 20$

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 20, es decir, deberá trabajar durante 20 horas para poder reunir 2400 Ps. y comprar la licuadora de sus sueños. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma $a \cdot x = b$ , podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

A este tipo de ecuaciones las llamamos Ecuaciones Lineales y se caracterizan porque la única alteración que afecta a la incógnita $x$ es la suma o multiplicación de constantes. Posteriormente, veremos que este tipo de ecuaciones está íntimamente relacionada con la gráfica de una línea recta.

Incógnitas y Variables

¿Qué es una variable?

Potencias de la variable

¿Qué es un polinomio?

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2: Polinomio Cuadrático

Ejemplo 3: Polinomio Cúbico

Ejemplo 4: Completar un polinomio

Ejemplo 5: Reordenar un polinomio

Ejemplo 6: Agrupación de términos

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La ecuación cuadrática

El discriminante

La fórmula cuadrática

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3 – Una forma alternativa

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Algunos memes relacionados con la fórmula cuadrática

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Una sola ecuación, ¿con dos soluciones?

Un caso general

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¿Cómo se despeja la incógnita x?

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3 – Otra forma

Video Complementario

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