Inecuaciones Lineales con dos desigualdades

22.11.201912.12.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Acotando variables

Suponga que usted debe llenar una pequeña piscina inflable con agua, ésta tiene actualmente treinta litros de agua, pero no puede cargar menos de cuarenta litros porque se desinfla y no debe cargar más de ochenta porque se derrama, ¿cuánta agua puede verter en esta piscina? Éste tipo de situaciones la podemos expresar con una inecuación en la que acotamos un número desconocido por otros dos de la siguiente forma:

$40 < 30 + x < 80$

Al introducir las inecuaciones lineales, las hemos definido usando sólo una desigualdad y calculamos la solución de estas usando técnicas de despeje muy similares a las usadas al calcular la solución de ecuaciones, que también contaban con sólo una igualdad.

En este caso notamos que la inecuación que se presenta cuenta con dos desigualdades, así que surge la siguiente pregunta: ¿de qué forma podemos aplicar las técnicas de despeje cuando hay dos desigualdades en la inecuación?

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Cómo calcular la solución

La técnica para calcular la solución de una inecuación lineal con dos desigualdades consiste en fraccionarlas en dos inecuaciones lineales y esta forma, poder aplicar las técnicas de despeje en cada una.

Formalmente, si consideramos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números reales, podemos expresar una inecuación lineal con dos desigualdades de la siguiente forma:

$a < bx + c < d$

Los valores de $x$ que satisfacen las inecuación $a < bx + c < d$ son exactamente los mismos que satisfacen las siguientes dos inecuaciones al mismo tiempo:

$\huge \left\{ {\begin{array}{l} a < bx + c \\ \text{y} \\ bx + c < d \\ \end{array} } \right.$

Ejemplos

Ejemplo 1

Para calcular los valores de $x$ que satisfacen la inecuación que hemos planteado al inicio de esta sección, debemos calcular la solución de cada una de estas inecuaciones por separado. Entonces, considerando la inecuación original $40 < 30 + x < 80$ , tenemos dos inecuaciones

Inecuación 1

$40 < 30 + x$

$\Rightarrow 40 - 30 < x$

$\Rightarrow 10 < x$

$\Rightarrow x > 10$

Inecuación 2

$30 + x < 80$

$\Rightarrow x < 80 - 30$

$\Rightarrow x < 50$

A partir de estas dos inecuaciones, definimos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real:

Solución 1:

$\{ x \in \mathbb{R} : x > 10 \}$

Solución 2:

$\{ x \in \mathbb{R} : x < 50 \}$

Al considerar estas dos soluciones, debemos tomar en cuenta que los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $40 < 30 + x < 80$ son los que se encuentran en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos. Por lo tanto $x$ se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} : x > 10 \} \cap \{ x \in \mathbb{R} : x < 50 \}$

Notemos que gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre 10 y 50. Así, concluimos que se pueden verter entre diez y cincuenta litros de agua a la piscina inflable para que ésta se pueda usar con tranquilidad.

Nota: Si consideramos a menor que b, es lo mismo que considerar b mayor que a. Es decir, $a < b$ y $b > a$ son expresiones equivalentes.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y dibuje una representación gráfica de la solución en la recta real.

$1 \leq x + 3 \leq 5$

Inecuación 1

$1 \leq x + 3$

$\Rightarrow 1 -3 \leq x$

$\Rightarrow -2 \leq x$

$\Rightarrow x \geq -2$

Inecuación 2

$x + 3 \leq 5$

$\Rightarrow x \leq 5 - 3$

$\Rightarrow x \leq 2$

A partir de estas dos inecuaciones, definimos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real:

Solución 1:

$\{ x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \}$

*todos los números mayores o iguales que menos dos*

Solución 2:

$\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

*todos los números menores o iguales que menos dos*

Al considerar estas dos soluciones, debemos tomar en cuenta que los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $1 \leq x + 3 \leq 5$ son los que se encuentran en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos. Por lo tanto $x$ se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \} \cap \{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

Gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre $-2$ y $2$ .

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$4 \geq 2x + 5 > -2$

Inecuación 1

$4 \geq 2x + 5$

$\Rightarrow 4 - 5 \geq 2x$

$\Rightarrow -1 \geq 2x$

$\Rightarrow -\frac{1} {2}\geq x$

$\Rightarrow x \leq -\frac{1} {2}$

Inecuación 2

$2x + 5 > -2$

$\Rightarrow 2x > -2 -5$

$\Rightarrow 2x > -7$

$\Rightarrow x > -\frac{7}{2}$

A partir de estas dos inecuaciones, definimos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real:

Solución 1:

$\left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq -\frac{1}{2} \right\}$

Solución 2:

$\left\{ x \in \mathbb{R} : x > -\frac{7}{2} \right\}$

Al considerar estas dos soluciones, debemos tomar en cuenta que los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $4 \geq 2x + 5 > -2$ son los que se encuentran en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos. Por lo tanto $x$ se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} : x \leq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x \in \mathbb{R} : x > -\frac{7}{2} \}$

Gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre $-\frac{7}{2}$ y $-\frac{1}{2}$ .

Introducción a las Inecuaciones Lineales

20.11.201922.12.2022 Anthonny Arias-García4 comentarios

¿Qué es una inecuación?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Recordemos que las desigualdades nos permiten comparar números reales, por lo tanto, esta situación se puede plantear como una relación a través de una desigualdad, de la siguiente manera:

$\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1$

Es decir, el valor de $x$ representa una porción adicional sobre un tercio de kilo de queso, que representa un rango de valores, pues, pudiéramos añadir un poco o mucho, con tal y no nos excedamos de un kilo de queso.

Podemos tantear la situación para determinar cuáles son los valores de $x$ que satisfacen esta desigualdad, sin embargo, nuestro objetivo será el de desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

Formalmente, definimos una inecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una desigualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras $x$ , $y$ o $z$ ; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. Esta definición es muy parecida a la de una ecuación, sin embargo, la solución estará representada por un conjunto infinito de números reales.

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Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad

Usaremos técnicas de despeje de la incógnita para calcular la solución de inecuaciones. Entonces, continuando con nuestro ejemplo:

$\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1$

El primer paso es conmutar la suma que está en el lado izquierdo de la desigualdad, de forma que obtenemos la siguiente inecuación:

$\displaystyle x + \frac{1}{3} < 1$

El siguiente paso para despejar es restar un tercio en ambos lados de la inecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Veámoslo de la siguiente forma: si usted tiene un tercio de kilo de queso (333,33 miligramos) en un plato y un kilo de queso (1000 miligramos) en un una nevera, hay menos queso en el plato que en la nevera.

Si de ambos toma un tercio, el plato quedará nacío y en la nevera quedarán dos tercios de kilo de queso (666.66 miligramos), es decir, en el plato habrá menos queso que en la nevera. Por lo tanto, se mantiene la desigualdad.

Por lo tanto, si restamos un tercio en ambos lados de la inecuación, podemos concluir lo siguiente:

$\displaystyle x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow x < \frac{2}{3}$

Finalmente, concluimos que la persona que vende el queso debe cortar a lo sumo, dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo.

Nos damos cuenta que no es un único el número que satisface esta condición, pues de forma general todos los números que son menores que dos tercios son aquellos que se encuentran en el conjunto $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{2}{3} \}$ .

Este conjunto se puede apreciar mucho mejor con una representación gráfica, así que lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un medio están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un medio hay escrito un paréntesis. | totumat.com

Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad

Notemos que para calcular el valor de $x$ hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos para calcular la solución de una ecuación y en general el procedimiento será el mismo pues al sumar o restar números en ambos lados de la desigualdad, esta permanece inalterada.

Al multiplicar en ambos lados de una inecuación por un número positivo, ésta permanece inalterada. Sin embargo, cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación por un número real negativo, cambiará el sentido de la desigualdad.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, cada empanada cuesta 10 Ps pero ese día ninguno de los dos llevó dinero, así que la señora que atiende les fía porque ustedes clientes regulares. Su compañero pide 4 empanadas y usted pide 2 empanadas. ¿Cuál de los dos tiene más empanadas?

Su compañero tiene más empanadas que usted y esta situación se representa de la siguiente manera:

$4 > 2$

Entonces, tomando en cuenta que si cada empanada cuesta 20 Ps. ¿Cuál de los dos debe más dinero?

Debemos multiplicar la cantidad de empanadas por el precio de cada empanada, y así, su compañero debe $(-10) \cdot 4$ y usted debe $(-10) \cdot 2$ Cuando comparamos estos dos valores, obtenemos la siguiente desigualdad:

$\displaystyle (-10) \cdot 4 < (-10) \cdot 2 \Longleftrightarrow -40 < -20$

Lo que ocurre es que su deuda es más pequeña que la de su compañero, es decir, su deuda está más cercana al cero que la deuda de su compañero.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos $a$ , $b$ y $-c$ números reales, donde $-c$ es un número negativo, entonces:

$a > b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) < b \cdot (-c)$

$a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \leq b \cdot (-c)$

$a < b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) > b \cdot (-c)$

$a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \geq b \cdot (-c)$

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de $x$ y también veremos que la solución se puede representar como un conjunto de forma comprensiva y de forma gráfica en la recta real.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $2 + 8x < 6$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 2 + 8x < 6$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 0 < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{2} \}$

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un paréntesis ), esto es para denotar que el número un medio no está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que un medio.

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $1 + 3x \leq 7$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 1 + 3x \leq 7$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 6$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq 2$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores o iguales que dos están representados con rayas cruzadas. Sobre el número dos hay escrito un paréntesis. | totumat.com — *todos los números menores o iguales que dos*

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que dos.

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle \frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > -1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5}$

(Cambia el sentido de la desigualdad al dividir entre -5 en ambos lados)

$\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{5}$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{5} \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un quinto están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un quinto hay escrito un paréntesis. | totumat.com — *todos los números menores que un quinto*

Note que cuando se multiplicó por $-\frac{1}{5}$ (o que es lo mismo, se dividió por $-5$ ) en ambos lados de la desigualdad, cambió el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $5x - 3 \geq 12$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 5x - 3 \geq 12$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 15$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq 3$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x \geq 3 \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números mayores que tres están representados con rayas cruzadas. Sobre el número tres hay escrito un corchete. | totumat.com — *todos los números mayores o iguales que tres*

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete [ en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número tres sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números mayores o iguales que tres.

El Método de Ruffini

16.11.201919.12.2022 Anthonny Arias-García19 comentarios

Al dividir números enteros, podemos usar un método conocido como la división larga y esta se generaliza para definir un método que permite efectuar la división entre polinomios. Sin embargo, este no es el único método.

Si consideramos de forma particular un polinomio $P(x)$ de grado $n$ y un polinomio $Q(x)=(x-r)$ de grado uno, presentaremos en esta sección, un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma

$\frac{P(x)}{(x-r)}$

Este método se conoce como el Método de Ruffini y permite de forma directa efectuar este tipo de divisiones. Ya que el caso general considerando constantes arbitrarias puede resultar confuso para aquellas personas en niveles básicos de matemáticas, veremos con algunos ejemplos cómo se desarrolla este método.

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Método de Ruffini: División de Polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean $P(x)=4x^3+x^2-3x+5$ y $Q(x)=(x-1)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 4, 1, -3 y 5.

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=1$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & & & \\ \hline & 4 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=1$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así: uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & & \\ \hline & 4 & 5 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente: uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al término independiente. uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & 2 \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \multicolumn{1}{|c}{7} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio $C(x)$ (que será un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (4x^2 + 5x + 2) \cdot (x-1) + 7$

Ejemplo 2

Sean $P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24$ y $Q(x)=(x-2)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 0, -15, 10 y 42. Si hay sumandos faltantes, es necesario completar el polinomio. Es decir,

$P(x)=x^4 + 0x^3 - 15x^2 + 10x + 24$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=2$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=2$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & & & \\ \hline & 1 & 2 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al término independiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2) + 0 = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2)$

Notemos que si al dividir un polinomio $P(x)$ por un polinomio $Q(x)=(x-r)$ , la división es exacta, se concluye inmediatamente que $r$ es una raíz del polinomio $P(x)$ , por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio $P(x)$ dividiendo a este por polinomios de la forma $(x-r)$ y verificado para cuáles casos esta división es exacta.

Ejemplo 3: Propuesto por un usuario de totumat

Sean $P(x)=- x^2 + x^4 + x^3 - 2x- 2$ y $Q(x)=x+\sqrt{2}$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 1, -1, -2 y -2. Si los sumandos no están ordenados desde el mayor exponente hasta el menor exponente, es necesario reordenar el polinomio, es decir,

$P(x)=x^4 + x^3 - x^2 - 2x- 2$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=-\sqrt{2}$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio $P(x)$ por $r=-\sqrt{2}$ y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & 2 \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})$

De esta última expresión podemos concluir que $r=2$ es una raíz del polinomio $P(x)$ .

Método de Ruffini: Cálculo de Raíces Enteras

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado $n$ que cuenta con $n$ raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos $P(x) = (x-2)(x+3)$ , éste se puede expandir como $P(x) = x^2 +x - 6$ . Las raíces de este polinomio son $2$ y $-3$ , que son algunos de los divisores de $-6$ .

Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

los divisores del término independiente $a_0$ serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio $P(x)$ , pues al dividir por $(x-r)$ , si esta división es exacta, concluimos que $r$ es una raíz de $P(x)$ . Considerando de forma particular, $r$ como los divisores del término independiente del polinomio $P(x)$ ).

Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 4

Sea $P(x)=x^3+4x^2-x-4$ , consideremos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ . Tomemos el primero de estos divisores que es $1$ y apliquemos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Como el resto de la división es cero, concluimos que $1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $1$ es también raíz de este polinomio:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 1 & & 1 & 5 \\ \cline{1-4} & 1 & 6 & \multicolumn{1}{|c}{10} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será $-1$ .

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} -1 & & -1 & -4 \\ \cline{1-4} & 1 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que $-1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $-1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $-1$ es también raíz de este polinomio.

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $-1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces.

Si continuamos haciendo el mismo procedimiento con $2$ , $-2$ y $4$ concluimos que ninguno de estos es raíz del polinomio $P(x)$ , sin embargo, al verificar con $-4$ obtenemos que:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $1$ , $-1$ y $4$ . Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

$P(x)=x^3+4x^2-x-4 = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x-4)$

Ejemplo 5

Sea $P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12$ , consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ y $\pm 12$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -9 \ & \ 4 \ & \ 12 \ \\ -1 & & -1 & 1 & 8 & -12 \\ \cline{1-6} & 1 & -1 & -8 & 12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 2 & & 2 & 2 & -12 \\ \cline{1-5} & 1 & 1 & -6 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 2 & & 2 & 6 & \\ \cline{1-4} & 1 & 3 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} -3 & & -3 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $-1$ , $2$ , $2$ y $-3$ . Notamos que el número dos se repite dos veces al desarrollar el Método de Ruffini, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x+3)$

Que a su vez, multiplicando $(x-2) \cdot (x-2)$ obtenemos lo siguiente:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2)^2 \cdot (x+3)$

Ejemplo 6

Sea $P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768$ . Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener $P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256)$ consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ , $\pm 16$ , $\pm 32$ , $\pm 64$ , $\pm 128$ y $\pm 256$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ -16 \ & \ 96 \ & \ -256 \ & \ 256 \ \\ 4 & & 4 & -48 & 192 & -256 \\ \cline{1-6} & 1 & -12 & 48 & -64 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 4 & & 4 & -32 & 64 \\ \cline{1-5} & 1 & -8 & 16 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 4 & & 4 & -16 & \\ \cline{1-4} & 1 & -4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} 4 & & 4 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $latex4$, $latex4$, $latex4$ y $latex4$. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x) = 3 \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) = (x-4)^4$

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente para no extender la lectura, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada los casos en que el resto es igual a cero.

Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

Factorización Polinomios

15.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en dicho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto $2 \cdot 3$ , diremos que $2$ y $3$ son los factores que representan este producto.

De forma general, podemos representar el producto de dos factores como $a \cdot b$ , donde $a$ y $b$ son dos números reales. De igual forma, podemos representar el producto de n factores como $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdots a_n$ , donde $a_1$ , $a_2$ , …, $a_n$ son n números reales.

Estos números reales pueden venir definidos por variables, por ejemplo si consideramos el producto $(x+2) \cdot (x+7)$ entonces los elementos variables $(x+2)$ y $(x+7)$ serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión $3x + 3x^2$ , podemos notar que $3x$ es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como $3x \cdot (1+x)$ , es decir, la reescribimos como un producto de dos factores $3x$ y $1+x$ . Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de al menos dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces $a = 1 \cdot a$ , decimos que este es el caso trivial, es por esto que cuando consideremos factorizar una expresión, obviamos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización

Considerando un polinomio $P(x)$ de grado $n$ , si sus raíces son $\{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \}$ y su coeficiente principal es igual a $k$ , entonces el polinomio $P(x)$ se puede factorizar de la siguiente forma:

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicar el resultado antes visto, por lo tanto es necesario desarrollar métodos que permitan para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de $x$ para los cuales se cumple la ecuación $P(x)=0$ .

Vemos en los siguientes ejemplos, como factorizar algunos polinomios sabiendo cuales son sus raíces.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2-2x+1$ son $x_1=1$ y $x_2=-1$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x-1) \cdot (x+1)$

Ejemplo 2

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ son $x_1=-2$ y $x_2=-3$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x+2) \cdot (x+3)$

Ejemplo 3

Si las raíces del polinomio $P(x)=5x^2-15x-140$ son $x_1=-4$ y $x_2=7$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 5 \cdot (x+4) \cdot (x-7)$

Ejemplo 4

Si las raíces del polinomio $P(x)=3x^3+51x^2+186x-240$ son $x_1=1$ , $x_2=-8$ y $x_3=10$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+8) \cdot (x+10)$

Observando los ejemplos expuestos, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si $P(x)=ax^2+bx+c$ es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación $P(x)=ax^2+bx+c=0$ es justamente una ecuación cuadrática.

En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Consideremos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que $x$ que satisfacen la ecuación $ax^2+bx+c=0$ están expresados de la siguiente forma:

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Ejemplos: Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 5

Factorice el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= (x-(-2)) \cdot (x-(-3))$

$= (x+2) \cdot (x-+3)$

Ejemplo 6

Factorice el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= 5 \cdot (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x-(-2))$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x+2)$

Existen diversas formas de factorizar polinomios y el método del discriminante es una de ellas, y aunque se limita de forma particular a los polinomios cuadráticos, servirá de apoyo para otros métodos de factorización de polinomios.

Raíz de un polinomio

13.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Al estudiar polinomios, estudiamos expresiones que involucran variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.

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Evaluar polinomios

Diremos que evaluar un polinomio $P(x)$ en un número real $b$ es sustituir la variable $x$ por el número $b$ , esta sustitución la denotaremos $P(b)$ . De esta forma, si $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en $b$ de la siguiente forma:

$\displaystyle P(b) = a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{2} b^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones indicadas en la definición del polinomio para obtener como resultado un número real. Veamos en los siguientes ejemplos cómo evaluar polinomios:

Ejemplos

Ejemplo 1

Al evaluar el polinomio $P(x)= 3x+2$ en $b=3$ obtenemos el siguiente resultado:

$P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8$

Ejemplo 2

Al evaluar el polinomio $Q(x)=5x^2+2x+7$ en $b=-2$ obtenemos el siguiente resultado:

$Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23$

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio $R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3$ en $b=1$ obtenemos el siguiente resultado:

$R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4$

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio $S(x)= x^3 - 3x^2 - x +3$ en $b=-1$ obtenemos el siguiente resultado:

$S(-1)= (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) +3 = -1-3+1+3 = 0$

Raíces de un polinomio

Al evaluar polinomios, será de nuestro particular interés los casos en que el resultado es exactamente igual a cero. Formalmente, definimos la raíz de un polinomio $P(x)$ como un número real $r$ tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real $r$ que satisface la siguiente ecuación:

$P(r)=0$

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos el polinomio $P(x)= x^2-4$ ,

Si consideramos $r=1$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(1)=1-4=-3$

Si consideramos $r=2$ , esta sí es una raíz del polinomio pues

$P(2)=(2)^2-4=4-4=0$

Si consideramos $r=-2$ , esta sí es una raíz del polinomio pues

$P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$

Ejemplo 5

Si consideramos el polinomio $P(x)=x^2+2x+1$ ,

Si consideramos $r=3$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(3)= (3)^2+2(3)+1=9+6+4=19$

Si consideramos $r=-1$ , esta sí es una raíz del polinomio pues

$P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0$

Ejemplo 6

Si consideramos el polinomio $P(x)=x^4+x^2+16$ ,

Si consideramos $r=1$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18$

Si consideramos $r=-1$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18$

De hecho, este último polinomio no tiene raíces pues notemos que $x^4$ , $x^2$ y $16$ son números positivos, por lo tanto su suma siempre será mayor que cero.

Diremos que $n$ es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, tal que $n=2k$ para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que $x^n$ siempre será un número positivo.

Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no, sin embargo, podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener un polinomio, y es que si consideramos un polinomio $P(x)$ de grado $n$ , entonces éste tendrá a lo sumo $n$ raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos, tres, etcétera, pero no más de $n$ raíces.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad, esto, siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.

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