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Suma de Matrices

19.06.202019.06.2020 Anthonny Arias-García1 comentario

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la suma $A+B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento $ij$ de la matriz $A$ más el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño $2 \times 2$ , calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño $4 \times 3$ , calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $1 \times 2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $4 \times 2$ calcule la suma indicada.

Operaciones entre matrices

14.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Sobre el conjunto de las matrices podemos definir operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación entre dos matrices. Además, definiremos una operación que se aplica sobre una sola matriz que llamaremos transposición.

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Suma de Matrices

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la suma $A+B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento $ij$ de la matriz $A$ más el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño $2 \times 2$ , calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño $4 \times 3$ , calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $1 \times 2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $4 \times 2$ calcule la suma indicada.

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Resta de Matrices

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la resta $A-B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento $ij$ de la matriz $A$ menos el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz $B$ , cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por $-1$ . Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $2 \times2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $4 \times 2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $1 \times 4$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $3 \times 1$ calcule la suma indicada.

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Multiplicación por un escalar

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar $k$ por una matriz $A$ , como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar $k$ por el elemento $ij$ de la matriz $A$ . Formalmente,

$[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ calcule el producto por el escalar $4$ .

Ejemplo 10

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 1$ calcule el producto por el escalar $-4$ .

Ejemplo 11

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 2$ calcule el producto por el escalar $7$ .

Ejemplo 12

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ calcule el producto por el escalar $9$ .

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Producto entre Matrices

Sean $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ y $B$ una matriz de tamaño $n \times p$ , definimos el producto $A \times B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido el «producto» de la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}$

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz $A$ debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz $B$ y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz B, de tamaño, $2 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$ . Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento $[A \times B]_{11}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{12}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $2$ .

El elemento $[A \times B]_{21}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{22}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $2$ .

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 2$ y la matriz $B$ , de tamaño, $2 \times 1$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 15

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $1 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 16

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Nota: Si podemos multiplicar $A \times B$ , no necesariamente podemos multiplicar $B \times A$ , esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.

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Transposición de matrices

En ocasiones, es necesario cambiar las filas por columnas de una matriz y viceversa, para esto definimos la operación de transposición. Sea $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ decimos que la transposición de la matriz $A$ es una nueva matriz de tamaño $n \times m$ donde los elementos de la matriz $A$ que están en la posición $ij$ pasan a estar en la posición $ji$ , a esta nueva matriz se le llama $A$ traspuesta (o traspuesta) y la denotamos por $A^{T}$ o $A'$ . Formalmente,

$[A^{T}]_{ij} = A_{ji}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplos 17

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplos 18

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 1$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplo 19

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 2$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplo 20

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Matriz de tamaño m por n

Matrices

10.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

A medida que los desarrollos matemáticos se hacen más complejos es necesario introducir herramientas que nos permitan reescribirlos de forma sencilla y entendible. La herramienta que introducimos a continuación permite encapsular varios elementos en una sola estructura y al definir operaciones sobre estas estructuras, podemos establecer relaciones con otro tipo de estructuras matemáticas.

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Filas, Columnas y Tamaño de una Matriz

Definimos una matriz como un arreglo rectangular de números reales, que encerramos entre paréntesis $( \ * \ )$ , dispuestos en filas y columnas de la siguiente manera:

Filas

Columnas

Los números que componen la matriz serán llamados elementos o entradas de la matriz, diremos que las filas son los arreglos horizontales y los contaremos de arriba hacia abajo, por otra parte, diremos que las columnas son los arreglos verticales y los contaremos de izquierda a derecha. En este caso, la matriz tiene tres filas y cuatro columnas, es por esto que diremos que es una matriz de tamaño $3 \times 4$ .

Veamos algunos ejemplos de matrices de distintos tamaños para entender la idea sobre como contar las filas y las columnas de una matriz.

Ejemplos

Ejemplo 1

es una matriz de tamaño $2 \times 2$ .

Ejemplo 2

es una matriz de tamaño $2 \times 5$ .

Ejemplo 3

es una matriz de tamaño $3 \times 3$ .

Ejemplo 4

es una matriz de tamaño $4 \times 1$ .

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Elementos de una Matriz

Una vez que hemos identificado cada fila y cada columna, podemos identificar cada uno de los elementos de una matriz considerando la fila y la columna en que se encuentren, por ejemplo,

Ejemplos

Ejemplo 5

$6$ está en la fila $1$ y columna $1$ .

Ejemplo 6

$0$ está en la fila $2$ y columna $3$ .

Ejemplo 7

$-8$ está en la fila $2$ y columna $4$ .

Ejemplo 8

$3$ está en la fila $3$ y columna $2$ .

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Diagonal de una Matriz

Usualmente denotaremos las matrices con letras mayúsculas ( $A,B,C,\ldots$ ) y a cada elemento de la matriz lo denotamos con letras mayúsculas ( $a,b,c,\ldots$ ). Así, de forma general, diremos que una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ se denota de la siguiente manera:

Donde $a_{ij}$ denota el elemento que se encuentra en la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz A (este elemento también se puede denotar con $[A]_{ij}$ ). Todos los elementos de la forma $a_{ii}$ son los elementos de la diagonal de $A$ , veamos algunos ejemplos para identificar estos elementos con mayor facilidad.

Ejemplos

Ejemplo 9

En este caso $a_{11} = -5$ y $a_{22} = -3$ son los elementos de la diagonal.

Ejemplo 10

En este caso $a_{11} = -1$ , $a_{22} = -7$ y $a_{33} = -9$ son los elementos de la diagonal.

Ejemplo 11

En este caso $a_{11} = -0$ es el único elemento de la diagonal.

Ejemplo 12

En este caso $a_{11} = -1$ y $a_{22} = 3$ son los elementos de la diagonal.

Área entre dos curvas

25.05.202021.11.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

Propiedades de la Integral Definida

Al calcular áreas usando el Teorema Fundamental del Cálculo, no siempre encontraremos funciones elementales positivas, es por esto que debemos contar con herramientas para abordar áreas definidas por otro tipo de funciones. A continuación se presentan una serie de propiedades de la integral definida que permiten ampliar el espectro de áreas bajo curvas que podemos calcular.

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Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones continuas en un intervalo $[a,b]$ , $k$ un escalar y $c$ un elemento de $[a,b]$ , entonces tenemos que

Las primeras tres propiedades son análogas a las propiedades vistas en la integral indefinida y hacen referencia a la suma, resta y multiplicación por un escalar de funciones.

Propiedades de la Integral Definida | totumat.com

La siguiente propiedad nos permite comparar el tamaño del área bajo la curva que definen dos funciones considerando la forma en que estas están relacionadas.

Propiedades de la Integral Definida | totumat.com

Esta propiedad indica que al intercambiar los límites de integración, cambia el signo de la integral.

Propiedades de la Integral Definida | totumat.com

Las siguientes propiedades indican que si la función es cero entonces su integral será igual a cero y también que la integral definida sobre un sólo punto es igual a cero, respectivamente

Propiedades de la Integral Definida | totumat.com

Esta propiedad es muy interesante pues lo que indica que es que al calcular la integral de una función es posible partir el intervalo, de esta forma calcular la integral una parte de la función por un lado y otra parte por otro lado, finalmente se pueden juntar los resultados.

Propiedades de la Integral Definida | totumat.com

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Área entre dos curvas

El método que hemos usado para calcular áreas resulta motivado para calcular áreas bajo curvas definidas por funciones positivas, así que es inevitable preguntarse, ¿qué ocurre si la función es negativa? Supongamos que queremos calcular el área bajo la curva $f(x)=x^3$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Área entre dos curvas | totumat.com

Si aplicamos directamente el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{1} x^3 dx$

$\displaystyle = \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1}$

$\displaystyle = \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4}$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

$\displaystyle = \ 0$

Sin embargo, esto es intuitivamente imposible pues al menos gráficamente podemos identificar el área bajo la curva y no pareciera ser igual a cero. Considerando esto en cuenta, debemos abordar este problema de una forma diferente.

Para entender lo que está pasando debemos recordar que al definir la Sumas de Riemann, calculamos el área de rectángulos cuyas alturas venían dadas por las imágenes de la función, así que al calcular el área cuando la función es negativa, el resultado de la integral será negativo.

Por ahora diremos que basta multiplicar por menos uno (-1) el resultado negativo de la integral para obtener el valor del área, aunque veremos luego veremos cómo solventar esta situación formalmente.

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Entonces, para calcular el área bajo la curva $f(x)=x^3$ en el intervalo $[-1,1]$ debemos partir el intervalo en dos partes, uno en el que las imágenes de la función son negativas y otro en el que las imágenes de la función son positivas, a simple vista podemos ver que esto pasa cuando $x$ está en $[-1,0]$ y cuando $x$ está en $[0,1]$ , respectivamente. Entonces podemos identificar dos áreas $A_1$ y $A_2$

Área entre dos curvas | totumat.com

Gracias a las propiedades del la Integral Definida podemos partir la integral que hemos planteado como $\int_{-1}^{1} x^3 dx = \int_{-1}^{0} x^3 dx + \int_{0}^{1} x^3 dx$

Si aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para cada una de estas integrales, tenemos que

$\displaystyle A_1$

$\displaystyle = \ - \int_{-1}^{0} x^3 dx$

$\displaystyle = \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4}$

$\displaystyle A_2$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} x^3 dx$

$\displaystyle = \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{-1}$

$\displaystyle = \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{0}^4}{4}$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4} - \frac{0}{4}$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4}$

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas dos áreas, es decir,

$\displaystyle A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Calcular el área por debajo de una curva que está debajo del Eje X pierde sentido literario, tampoco tiene mucho sentido hablar de áreas negativas. Es por esto que simplemente multiplicar por menos uno no parece una respuesta satisfactoria cuando calculamos áreas si la función tiene imágenes negativas. Es por esto que debemos generalizar nuestra motivación para replantear el enfoque de la integral definida y definirla no como el área bajo la curva si no como el área encerrada entre la curva y el Eje X.

Es posible determinar el área entre dos curvas basándose en la forma que calculamos la longitud de un intervalo, es decir, tomando el valor más grande y restándole el valor más pequeño. De esta forma, si consideramos dos funciones $g(x) \leq f(x)$ continuas en un intervalo $[a,b]$ , podemos calcular el área encerrada entre las curvas que definen tomando el área de la función $f(x)$ que está por encima y le restamos el área la función $g(x)$ que está por debajo,

Área entre dos curvas | totumat.com

Por lo tanto, calculamos el área entre las curvas que definen las funciones $f(x)$ y $g(x)$ de la siguiente forma:

Área entre dos curvas | totumat.com

Vemos con algunos ejemplos como calcular encerradas entre curvas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área encerrada entre las curvas $f(x)=x^3$ y $g(x)=0$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Área entre dos curvas | totumat.com

Notamos que la función $g(x)$ está por encima del la función $f(x)$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} 0 dx - \int_{-1}^{0} x^3 dx$

$\displaystyle = \ 0 - \int_{-1}^{0} x^3 dx$

$\displaystyle = \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4}$

Este ejemplo nos señala el porqué basta con multiplicar por menos uno al calcular el área bajo la curva de una de una función con imágenes negativas.

Ejemplo 2

Calcule el área encerrada entre las curvas $f(x)=x$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Área entre dos curvas | totumat.com

Notamos que la función $f(x)$ está por encima del la función $g(x)$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} g(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} x^2 dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} \left( x- x^2 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{0}$

$\displaystyle = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right)$

$\displaystyle = \ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 \right)$

$\displaystyle = \ \frac{1}{6}$

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Ejemplo 3

Calcule el área encerrada entre las curvas $f(x)=-(x-2)^2 + 4$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo $[-1,3]$ .

En los ejemplos anteriores los puntos de intersección entre ambas funciones eran obvios y así fue bastante claro determinar los puntos en los que unas función estaba por encima de la otra, sin embargo, esto no siempre es así.

Antes de identificar el área que se debe calcular, es necesario calcular los puntos de intersección entre ambas funciones y así apreciar los puntos en los que la una función pasa a estar encima de la otra.

Para calcular los puntos de intersección entre dos funciones, basta con igualar las expresiones que las definen, es decir,

$-(x-2)^2 + 4 = x^2$

En este caso podemos agrupar todos los elementos de un sólo lado de la ecuación para plantear una ecuación cuadrática de la siguiente forma

$\displaystyle -(x^2 - 4x + 4) + 4 = x^2 \Rightarrow -x^2 + 4x - 4 + 4 = x^2 \Rightarrow -2x^2 + 4x = 0$

Y aplicando el método de su preferencia para calcular la solución de una ecuación cuadrática, obtenemos que los puntos de intersección entre las dos funciones son $x=0$ y $x=2$ , notando que ambos están dentro del intervalo dado. Identificamos el área que queremos calcular

Área entre dos curvas | totumat.com

Entonces, para calcular el área debemos partir el intervalo en tres partes, ya que funciones involucradas se relacionan de forma diferente en cada una de estas partes. Entonces tenemos que calcular tres áreas y posteriormente sumarlas.

Notamos que la función $g(x)$ está por encima de la función $f(x)$ en el intervalo $[-1,0]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A_1$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} x^2 dx - \int_{-1}^{0} -(x-2)^2 + 4 dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{-1}^{0}$

$\displaystyle = \ \left( \frac{(0)^3}{3} + \frac{(0-2)^3}{3} - 4(0) \right)$

$\displaystyle - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1-2)^3}{3} - 4(-1) \right)$

$\displaystyle = \ \left( 0 - \frac{8}{3} - 0 \right)$

$\displaystyle - \left( - \frac{1}{3} - \frac{27}{3} + 4 \right)$

$\displaystyle = \ - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} + 9 - 4$

$\displaystyle = \ \frac{8}{3}$

Notamos que la función $f(x)$ está por encima de la función $g(x)$ en el intervalo $[0,2]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A_2$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{2} f(x) dx - \int_{0}^{2} g(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{2} -(x-2)^2 + 4 dx - \int_{0}^{2} x^2 dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{2} \left( -(x-2)^2 + 4 - x^2 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( -\frac{(x-2)^3}{3} + 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}$

$\displaystyle = \ \left( -\frac{(2-2)^3}{3} + 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right)$

$\displaystyle - \left( -\frac{(0-2)^3}{3} + 4(0) - \frac{(0)^3}{3} \right)$

$\displaystyle = \ \left( 0 + 8 - \frac{8}{3} \right)$

$\displaystyle - \left( - \frac{(-8)}{3} + 0 + 0 \right)$

$\displaystyle = \ 8 - \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

$\displaystyle = \ \frac{8}{3}$

Notamos que la función $g(x)$ está por encima de la función $f(x)$ en el intervalo $[2,1]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A_3$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} g(x) dx - \int_{2}^{3} f(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} x^2 dx - \int_{2}^{3} -(x-2)^2 + 4 dx$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{2}^{3}$

$\displaystyle = \ \left( \frac{(3)^3}{3} + \frac{(3-2)^3}{3} - 4(3) \right)$

$\displaystyle - \left( \frac{(2)^3}{3} + \frac{(2-2)^3}{3} - 4(2) \right)$

$\displaystyle = \ \left( \frac{27}{3} + \frac{1}{3} - 12 \right)$

$\displaystyle - \left( \frac{8}{3} + \frac{0}{3} - 8 \right)$

$\displaystyle = \ 9 + \frac{1}{3} - 12 - \frac{8}{3} - 0 + 8$

$\displaystyle = \ \frac{8}{3}$

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas tres áreas, es decir,

$\displaystyle A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 8$

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Ejercicios Propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

Calcule el área encerrada entre las curvas $c_1 : y^2=4x$ y $c_2 : y^2=x+3$ .

Lo primero que debemos notar es que estas funciones están expresadas de forma implícita, así que será necesario reescribirlas como $y$ en función de $x$ para estudiar su gráfica en el plano cartesiano. Entonces,

$\displaystyle y^2=4x$

$\displaystyle \Rightarrow \ \sqrt{y^2} = \sqrt{4x}$

$\displaystyle \Rightarrow \ |y| = 2\sqrt{x}$

$\displaystyle \Rightarrow \ y = \pm 2\sqrt{x}$

Esto quiere decir que la función $y^2=4x$ representa ambas funciones $y = 2\sqrt{x}$ y $y = - 2\sqrt{x}$ al mismo tiempo. Por otra parte, tenemos,

$\displaystyle y^2=x+3$

$\displaystyle \Rightarrow \ \sqrt{y^2} = \sqrt{x+3}$

$\displaystyle \Rightarrow \ |y| = \sqrt{x+3}$

$\displaystyle \Rightarrow \ y = \pm \sqrt{x+3}$

Esto quiere decir que la función $y^2=x+3$ representa ambas funciones $y = \sqrt{x+3}$ y $y = - \sqrt{x+3}$ al mismo tiempo.

Para calcular los puntos de intersección entre estas dos funciones, debemos plantear un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y dos incógnitas, de la siguiente manera

$y^2=4x$

$y^2=x+3$

Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, restamos los elementos correspondientes de cada ecuación para obtener la siguiente ecuación:

$\displaystyle 0 = 4x - (x+3) \Rightarrow \ 0 = 4x - x -3$

$\displaystyle \Rightarrow \ 0 = 3x - 3$

$\displaystyle \Rightarrow \ -3x = - 3$

$\displaystyle \Rightarrow \ x = \frac{-3}{-3}$

$\displaystyle \Rightarrow \ x = 1$

De esta forma, concluimos que estas dos funciones se cortan cuando $x=1$ , es decir, en los puntos $(1,2)$ y $(1,-2)$ . Identificamos el área que queremos calcular,

Área entre dos curvas | totumat.com

Ya que hemos identificado el área que queremos calcular, podemos notar que esta es simétrica respecto al Eje X. Este hecho presenta una ventaja para hacer este cálculo, pues bastará con calcular sólo la mitad del área, ya sea la mitad superior o la mitad inferior, y posteriormente multiplicarla por dos. En este caso, procederemos a calcular la mitad superior:

Área entre dos curvas | totumat.com

Entonces, para calcular el área debemos partir el intervalo en dos partes, ya que curvas involucradas se relacionan de forma diferente en cada una de estas partes. Entonces tenemos que calcular dos áreas y posteriormente sumarlas.

Notamos que la curva $c_2$ está por encima del Eje X en el intervalo $[-3,0]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente integral

$\displaystyle A_1 = \ \int_{-3}^{0} \sqrt{x+3} \ dx$

$\displaystyle = \ \int_{-3}^{0} (x+3)^{\frac{1}{2}} \ dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{(x+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \right|_{-3}^{0}$

$\displaystyle = \ \frac{(0+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(-3+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{(3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(0)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}} - 0$

$\displaystyle = \ \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}}$

Notamos que la curva $c_1$ está por encima de la curva $c_2$ en el intervalo $[0,1]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente integral

$\displaystyle A_2 = \ \int_{0}^{1} \sqrt{x+3} - 2\sqrt{x} \ dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} (x+3)^{\frac{1}{2}} - 2(x)^{\frac{1}{2}} \ dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{(x+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{(x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \right|_{0}^{1}$

$\displaystyle = \ \frac{(1+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(0+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{(0)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{(4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 0 \right)$

$\displaystyle = \ \frac{2}{3} \cdot (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3}$

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas dos áreas multiplicadas por dos, es decir,

$\displaystyle A = 2 \cdot (A_1 + A_2) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \right) \approx 1.0718$

El Teorema Fundamental del Cálculo

20.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

Calcular áreas puede resultar tedioso si cada vez debemos calcular límites de Sumas de Riemann, sin embargo, esto no necesariamente debe ser así. A continuación veremos un resultado matemático cuya importancia radica en que enlaza el cálculo diferencial (derivadas y antiderivadas) con un concepto netamente geométrico como el cálculo de áreas. Citando a Michael Spivak en su libro de Cálculo Infinitesimal:

La derivada no despliega toda su fuerza hasta que se alía con la «integral»… El estudio de las integrales requiere una preparación larga, pero una vez hecho este trabajo preliminar, las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir nuevas funciones y la derivada volverá a aparecer, más poderosa que nunca (en el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal)…

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El Teorema Fundamental del Cálculo usualmente se presenta en dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Si $f(x)$ es una función integrable en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una función definida como

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Si $f(x)$ es continua en un punto $x_0$ . Entonces, la función $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ y además,

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Demostración:

Consideremos un punto $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ , entonces verifiquemos si $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ , es decir, verifiquemos que existe el siguiente límite:

$A'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

Para esto, estudiemos las derivadas laterales de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ para verificar si estas existen y son iguales.

Caso I: La derivada de la función $A(x)$ por la derecha en el punto $x_0$ está definida para $h>0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

La función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$ , esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número $m_h$ de la siguiente forma:

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

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De igual forma, la función $f(x)$ estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número $M_h$ de la siguiente forma:

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

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Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$h \cdot m_h \leq \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx \leq h \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

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Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0]$ y otra área en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) =\int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = A(x_0+h) - A(x_0)$ y en consecuencia

$h \cdot m_h \leq A(x_0+h) - A(x_0) \leq h \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $h$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

Finalmente, para determinar el límite de la función $\frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$ cuando $h \to 0$ aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones $m_h$ y $M_h$ tienden a $f(x_0)$ cuando $h \to 0$ . De esta forma, concluimos que

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

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Caso II: La derivada de la función $A(x)$ por la izquierda en el punto $x_0$ está definida para $h<0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

La función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$ , esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número $m_h$ de la siguiente forma:

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

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De igual forma, la función $f(x)$ estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número $M_h$ de la siguiente forma:

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

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Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$(-h) \cdot m_h \leq \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx \leq (-h) \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

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Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0+h]$ y otra área en el intervalo $[x_0+h,x_0]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx + \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) = \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = A(x_0) - A(x_0+h)$ y en consecuencia

$(-h) \cdot m_h \leq A(x_0) - A(x_0+h) \leq (-h) \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $(-h)$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0) - A(x_0+h)}{(-h)} \leq M_h$

$\Rightarrow \ m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

Finalmente, para determinar el límite de la función $\frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$ cuando $h \to 0$ aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones $m_h$ y $M_h$ tienden a $f(x_0)$ cuando $h \to 0$ . De esta forma, concluimos que

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Habiendo calculado las derivadas laterales, verificando que estas existen y son iguales, concluimos que la derivada de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ existe y está definida de la siguiente forma

$A'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Que es lo que queríamos demostrar.

Es importante destacar, que si la función $f(x)$ en esta primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo es continua en todo el intervalo $[a,b]$ , entonces podemos concluir que para todo $x \in [a,b]$ , se tiene que

$A'(x) = f(x)$

De esta forma, sentamos una base para poder enunciar la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

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El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Si $f(x)$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una antiderivada de esta, entonces

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Cálculo de Área Bajo la Curva

Esta segunda parte es la que presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias. Veamos con algunos ejemplos como calcular áreas bajo curvas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

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Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x dx$

$= \ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}$

$= \ \frac{1}{2} - \frac{0}{2}$

$= \ \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

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Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x^2 dx$

$= \ \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}$

$= \ \frac{1}{3} - \frac{0}{3}$

$= \ \frac{1}{3}$

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Ejemplo 3

Calcule el área bajo la curva $f(x)=\sqrt{x+2}$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

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Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_{-1}^{1} \sqrt{x+2} dx$

$= \ \int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{2}} dx$

$= \ \left. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} \right|_{-1}^{1}$

$= \ \frac{2}{3} (1+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-1+2)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} \sqrt{3^3} - \frac{2}{3}$

$= \ 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}$

Es importante señalar que aunque la integral definida es una herramienta usada principalmente para calcular áreas bajo curvas, el Teorema Fundamental del Cálculo permite determinar elementos de interés en distintos campos de la ciencia, ingeniería y economía; es por esto que debemos tomar en cuenta que al considerar aplicaciones prácticas, estas pueden no representar áreas en el plano cartesiano.