El Teorema Fundamental del Cálculo

20.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

Calcular áreas puede resultar tedioso si cada vez debemos calcular límites de Sumas de Riemann, sin embargo, esto no necesariamente debe ser así. A continuación veremos un resultado matemático cuya importancia radica en que enlaza el cálculo diferencial (derivadas y antiderivadas) con un concepto netamente geométrico como el cálculo de áreas. Citando a Michael Spivak en su libro de Cálculo Infinitesimal:

La derivada no despliega toda su fuerza hasta que se alía con la «integral»… El estudio de las integrales requiere una preparación larga, pero una vez hecho este trabajo preliminar, las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir nuevas funciones y la derivada volverá a aparecer, más poderosa que nunca (en el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal)…

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El Teorema Fundamental del Cálculo usualmente se presenta en dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Si $f(x)$ es una función integrable en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una función definida como

Si $f(x)$ es continua en un punto $x_0$ . Entonces, la función $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ y además,

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Demostración:

Consideremos un punto $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ , entonces verifiquemos si $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ , es decir, verifiquemos que existe el siguiente límite:

$A'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

Para esto, estudiemos las derivadas laterales de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ para verificar si estas existen y son iguales.

Caso I: La derivada de la función $A(x)$ por la derecha en el punto $x_0$ está definida para $h>0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

La función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$ , esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número $m_h$ de la siguiente forma:

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

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De igual forma, la función $f(x)$ estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número $M_h$ de la siguiente forma:

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$h \cdot m_h \leq \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx \leq h \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0]$ y otra área en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) =\int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = A(x_0+h) - A(x_0)$ y en consecuencia

$h \cdot m_h \leq A(x_0+h) - A(x_0) \leq h \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $h$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

Finalmente, para determinar el límite de la función $\frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$ cuando $h \to 0$ aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones $m_h$ y $M_h$ tienden a $f(x_0)$ cuando $h \to 0$ . De esta forma, concluimos que

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

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Caso II: La derivada de la función $A(x)$ por la izquierda en el punto $x_0$ está definida para $h<0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$(-h) \cdot m_h \leq \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx \leq (-h) \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0+h]$ y otra área en el intervalo $[x_0+h,x_0]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx + \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) = \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = A(x_0) - A(x_0+h)$ y en consecuencia

$(-h) \cdot m_h \leq A(x_0) - A(x_0+h) \leq (-h) \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $(-h)$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0) - A(x_0+h)}{(-h)} \leq M_h$

$\Rightarrow \ m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Habiendo calculado las derivadas laterales, verificando que estas existen y son iguales, concluimos que la derivada de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ existe y está definida de la siguiente forma

$A'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Que es lo que queríamos demostrar.

Es importante destacar, que si la función $f(x)$ en esta primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo es continua en todo el intervalo $[a,b]$ , entonces podemos concluir que para todo $x \in [a,b]$ , se tiene que

$A'(x) = f(x)$

De esta forma, sentamos una base para poder enunciar la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

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El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Si $f(x)$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una antiderivada de esta, entonces

Cálculo de Área Bajo la Curva

Esta segunda parte es la que presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias. Veamos con algunos ejemplos como calcular áreas bajo curvas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x dx$

$= \ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}$

$= \ \frac{1}{2} - \frac{0}{2}$

$= \ \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x^2 dx$

$= \ \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}$

$= \ \frac{1}{3} - \frac{0}{3}$

$= \ \frac{1}{3}$

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Ejemplo 3

Calcule el área bajo la curva $f(x)=\sqrt{x+2}$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_{-1}^{1} \sqrt{x+2} dx$

$= \ \int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{2}} dx$

$= \ \left. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} \right|_{-1}^{1}$

$= \ \frac{2}{3} (1+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-1+2)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} \sqrt{3^3} - \frac{2}{3}$

$= \ 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}$

Es importante señalar que aunque la integral definida es una herramienta usada principalmente para calcular áreas bajo curvas, el Teorema Fundamental del Cálculo permite determinar elementos de interés en distintos campos de la ciencia, ingeniería y economía; es por esto que debemos tomar en cuenta que al considerar aplicaciones prácticas, estas pueden no representar áreas en el plano cartesiano.

La Integral Definida

15.05.202015.05.2020 Anthonny Arias-García2 comentarios

En esta publicación se presenta una idea general de como se dio forma históricamente a la Integral Definida, se recomienda leer el artículo El método de investigación de Arquímedes de Siracusa: Intuición, mecánica y exhaución de Ángel Molina para precisar algunos eventos históricos y el libro Calculo Infinitesimal de Michael Spivak para empaparse en la rigurosidad matemática.

Calcular el área de un rectángulo no presenta mayor dificultad, pues si consideramos un rectángulo cuya base es de longitud $b$ y su altura es longitud $h$ , entonces su área se calcula multiplicando estos dos valores. De igual forma, al calcular el área de un triángulo cuya base es de longitud $b$ y de altura $h$ , entonces su área se calcula multiplicando estos dos valores y dividiendo el resultado entre dos.

A partir de estos dos elementos, podemos calcular el área de cualquier polígono pues podemos inscribir triángulos y rectángulos de forma conveniente. Sin embargo, se presenta una situación diferente cuando queremos calcular el área de figuras que presentan curvas en sus aristas, como por ejemplo, circunferencias. Es por esto que debemos desarrollar métodos que lo permitan.

El Método de Exhaución

Si consideramos una circunferencia, podemos estimar su área usando un triángulo inscrito en ella pero esta estimación será muy holgada pues podemos notar que hay espacios del triángulo que no cubren esta área. De igual forma pudiéramos considerar un triángulo que circunscribe a la circunferencia, la estimación también será holgada pues hay espacios del triángulo que exceden a la circunferencia.

Lo ideal es refinar la estimación, pero, ¿cómo hacemos esto? Una idea intuitiva es considerar un cuadrado en vez de un triángulo pero nos topamos con el mismo problema, si consideramos un hexágono o un octágono, el problema será el mismo. Sin embargo, notamos que a medida que usamos polígonos con una mayor cantidad de lados, la estimación sobre el área de la circunferencia se hace más precisa.

Pudiéramos entonces, considerar cada vez polígonos con más y más lados para estimar el área de la circunferencia, esto se conoce como el Método de Exhaución (anglicismo de agotamiento) y fue desarrollado en la Antigua Grecia por Eudoxo de Cnido para calcular el área de figuras irregulares y volúmenes de sólidos. De esta forma, si la circunferencia tiene radio $r$ y el polígono regular tiene $n$ lados, entonces el área viene dada por

$n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{180}{n}\right) \cdot r^2 \ \text{ y }\ n \cdot \frac{\sin\left(\frac{180}{n}\right)} {\cos\left(\frac{180}{n}\right)} \cdot r^2$

Para polígonos regulares inscritos en la circunferencia y polígonos regulares circunscritos en la circunferencia, respectivamente.

En el momento que se planteó, no se conocían las herramientas con las que contamos hoy en día, por lo que el problema permaneció latente por cientos de años hasta que se fundamentó el cálculo infinitesimal pues de esta forma se puede considerar un polígono con una cantidad infinita de lados.

El Área bajo la curva

Consideremos una función $f(x)$ definida en un intervalo $[a,b]$ y supongamos que queremos calcular el área que se encuentra bajo la curva que ella define, para ser más precisos: El área delimitada por la izquierda por la recta $x=a$ , por la derecha por la recta $x=b$ , por arriba por la curva $f(x)$ y por debajo por el Eje X,

¿Cómo calculamos esta área? Una idea intuitiva es usar el Método de Exhaución, particularmente usando rectángulos pues el área de estos se calcula con facilidad. Para entender esta idea, consideremos un rectángulo de base $(b-a)$ y de altura $f(a)$ . Entonces el área estimada es $f(a) \cdot (b-a)$

Esta estimación es muy holgada pues podemos notar que hay espacios del rectángulo que no cubren el área que estamos calculando y otros espacios la exceden. Lo ideal es refinar la estimación, pero, ¿cómo hacemos esto? En vez de considerar un rectángulo, podemos considerar dos rectángulos pero nos topamos con el mismo problema, si consideramos cuatro rectángulos, el problema será el mismo. Sin embargo, notamos que a medida que usamos más rectángulos, la estimación del área de bajo la curva se hace más precisa.

Precisemos un poco esta idea definiendo el siguiente elemento: dado un intervalo $[a,b]$ , definimos una partición de tamaño $n$ de dicho intervalo como un conjunto finito de elementos $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b]$ tal que

$a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$

Para nuestro desarrollo consideraremos una partición muy particular, una tal que la distancia entre dos elementos consecutivos siempre es la misma. De esta forma, podemos notar que si la longitud del intervalo es $b-a$ , entonces la distancia entre dos elementos consecutivos es $\frac{b-a}{n}$ .

Entonces, si consideramos rectángulos de base $(x_{i+1} - x_{i})$ y de altura $f(x_i)$ (con $i = 1, \ldots, n-1$ ), podemos estimar el área bajo la curva sumando el área de todos estos intervalos, es decir,

$f(x_0) \cdot \left( x_{1} - x_{0} \right) + f(x_1) \cdot \left( x_{2} - x_{1} \right) + \ldots + f(x_{n-1}) \cdot \left( x_{n} - x_{n-1} \right)$

Esta suma la podemos resumir usando la notación de sumatoria y además considerando el hecho de que la distancia entre dos elementos consecutivos siempre es la misma, es decir, $x_{i+1} - x_{i} = \frac{b-a}{n}$ ,

$\sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}$

Estas sumas son conocidas como las Sumas de Riemann y aunque proveen una muy buena estimación, aún es muy tosca, así que debemos recurrir al calculo infinitesimal para poder considerar particiones con la mayor cantidad de elementos posible. Así, el área bajo la curva se calcula con absoluta precisión calculando el siguiente límite

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}$

En el infinito la sigma mayúscula de la notación de sumatoria pasa a ser una S cursiva, la variable $x_i$ deja de ser discreta para ser una variable continua $x$ y la distancia $\frac{b-a}{n}$ al ser muy pequeña pasará a ser un diferencial de la variable $x$ . De esta forma, podemos reescribir este límite de la siguiente forma

A esta expresión la llamaremos Integral Definida en el intervalo $[a,b]$ y los extremos del intervalo serán llamados límites de integración, para ser más precisos, $a$ es el límite inferior y $b$ es el límite superior.

Propiedades de los Radicales

14.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del radical de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

1. $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2}$ , si el radical de un número no tiene índice, se sobreentiende que es la raíz cuadrada. Más aún, la segunda raíz se puede expresar como la potencia $\frac{1}{2}$ .

2. $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ , la n-ésima raíz se puede expresar como la potencia $\frac{1}{n}$ .

3. $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ , la n-ésima raíz de la m-ésima potencia se puede expresar como la potencia $\frac{m}{n}$ .

4. $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia es el valor absoluto, siempre que $n$ se par. Esto se debe a que el resultado de esta operación siempre será positivo.

5. $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del opuesto aditivo de un número negativo es el opuesto aditivo, de la la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del número. Esto se debe a que al multiplicar un número negativo, por sí mismo un número impar de veces, resulta en un número negativo.

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6. $\sqrt[n]{0} = 0$ , la raíz n-ésima de cero es igual a cero, esto se debe a que cero multiplicado por sí mismo, $n$ veces, es igual a cero.

7. $\sqrt[n]{1} = 1$ , la raíz n-ésima de uno es igual a uno, esto se debe a que uno multiplicado por sí mismo, $n$ veces, es igual a uno.

8. $\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , la raíz n-ésima del producto de dos números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de dichos números.

9. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$ , la raíz n-ésima de la división de dos números, es igual a la división de las raíces n-ésimas de dichos números.

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de los Radicales o Leyes de Radicación, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen de la propiedades de las potencias. De forma resumida, tenemos que

$\sqrt{a} = a^{1/2}$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

$\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar

$\sqrt[n]{0} = 0$

$\sqrt[n]{1} = 1$

$\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $\sqrt[3]{7^4}$ usando las propiedades de los radicales.

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

$\sqrt[3]{7^4} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \cdot \sqrt[3]{3}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos reescribir los radicales como exponentes y sumarlos,

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}$

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Ejemplo 3

Simplifique la expresión $\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} = 9^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{5} + \frac{4}{3}} = 9^{\frac{23}{15}}$

Antes de reescribir este exponente como un radical, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{\frac{23}{15}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{23}{15}} = 3^{\frac{46}{15}} = \sqrt[15]{3^{46}}$

$\sqrt[15]{3^{46}} = \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{31}} = \sqrt[15]{3^{15}} \cdot \sqrt[15]{3^{31}} = 3 \cdot \sqrt[15]{3^{31}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3\sqrt[15]{3^{31}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{16}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3} = 3^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^3 \cdot \sqrt[15]{3}$

Nota: Estos últimos tres pasos se pudieron resumir separando $\sqrt[15]{3^{46}}$ como $\sqrt[15]{3^{45} \cdot 3}$ y simplificando directamente el $45$ con $15$ para obtener el exponente $3$ .

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5^3}$ usando las propiedades de los radicales.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left( 3 \cdot 5 \right)^3}$

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\frac{\sqrt[5]{2^{27}}}{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^{\frac{27}{5}}}{2} = 2^{\frac{9}{5}-1} = 2^{\frac{22}{5}} = \sqrt[5]{2^{22}}$

$\sqrt[5]{2^{22}} = \sqrt[5]{2^{20} \cdot 2^{2}} = 2^{4} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}$

Nota: Se pudo en un principio simplificar el numerador y posteriormente simplificar con el denominador, sin embargo, no se hizo así para demostrar como aplicar las propiedades.

Radicales

14.05.202011.04.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir las potencias, encontramos una forma de denotar el producto de un número multiplicado por él mismo reiteradas veces. De esta forma tenemos que

Al considerar el número nueve, tres es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente nueve, es decir,
$3^2 = 9$ .
Al considerar el número cuatro, dos es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cuatro, es decir,
$2^2 = 4$ .
Al considerar el número sesenta y cuatro, ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente sesenta y cuatro, es decir,
$8^2 = 64$ .

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Esta idea es bastante intuitiva pero, ¿y si consideramos el número dos? ¿Cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo, el resultado es exactamente dos? ¿Será uno? ¿Dos? ¿Uno y un medio? ¿Uno y un cuarto? Los números número enteros o fracciones de enteros en los que podemos pensar no aportarán ninguna solución. Es por esto que recurrimos a un nuevo número que satisface esta condición, lo llamaremos es la raíz cuadrada de dos y usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) para denotarlo de la siguiente manera

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente dos, es decir, $\left( \sqrt{2} \right)^2 = 2$ . Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

Al considerar el número cinco, la raíz cuadrada de cinco es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cinco, es decir,
$\left( \sqrt{5} \right)^2 = 5$ .
Al considerar el número doce, la raíz cuadrada de doce es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente doce, es decir,
$\left( \sqrt{12} \right)^2 = 12$ .
Al considerar el número treinta, la raíz cuadrada de treinta es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente treinta, es decir,
$\left( \sqrt{30} \right)^2 = 30$ .
Al considerar el número uno, la raíz cuadrada de uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente uno, es decir,
$\left( \sqrt{1} \right)^2 = 1$ .
En este caso, notemos que $\sqrt{1} = 1$ .
Al considerar el número menos tres, podemos decir de forma general que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida pues no existe un número que multiplicado por sí mismo sea un número negativo.

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Muy bien, ahora, ¿cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo tres veces, el resultado es exactamente dos? A este número lo llamaremos es la raíz cúbica de dos y usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) con el índice tres para denotarlo de la siguiente manera

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente dos, es decir, $\left( \sqrt[3]{2} \right)^3 = 2$ . Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

Al considerar el número siete, la raíz cúbica de siete es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente siete, es decir,
$\left( \sqrt[3]{7} \right)^{3} = 7$ .
Al considerar el número quince, la raíz cúbica de quince es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente quince, es decir,
$\left( \sqrt[3]{15} \right)^{3} = 15$ .
Al considerar el número menos uno, la raíz cúbica de menos uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos uno, es decir,
$\left( \sqrt[3]{-1} \right)^{3} = -1$ .
En este caso, notemos que $\sqrt[3]{-1} = -1$ .
Al considerar el número menos veinticuatro, la raíz cúbica de menos veinticuatro es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos veinticuatro, es decir,
$\left( \sqrt[3]{-24} \right)^{3} = -24$ .

Los radicales se pueden usar para expresar números que cumplen con este tipo de condiciones. De forma general podemos decir que si consideramos un número $a$ y $n$ un número entero mayor que uno, entonces definimos la raíz $n$ -ésima de $a$ como un número tal que al multiplicarlo por sí mismo $n$ veces, el resultado es exactamente $a$ , usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) con el índice $n$ para denotarlo de la siguiente manera

Considerando que si $n$ es un número par, la raíz $n$ -ésima de $a$ está definida sólo si $a \geq 0$ . De esta forma, tenemos que

Al considerar el número ocho, la raíz sexta de ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo seis veces, el resultado es exactamente ocho, es decir,
$\left( \sqrt[6]{8} \right)^{6} = 8$ .
Al considerar el número menos diez, la raíz quinta de menos diez es un número tal que al multiplicarlo por él mismo cinco veces, el resultado es exactamente menos diez, es decir,
$\left( \sqrt[5]{-10} \right)^{5} = -10$ .
Al considerar el número trece, la raíz vigésima de trece es un número tal que al multiplicarlo por él mismo veinte veces, el resultado es exactamente trece, es decir,
$\left( \sqrt[20]{13} \right)^{20} = 13$ .

Propiedades de las Potencias

09.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García7 comentarios

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

1. $a^0 = 1$ , todo número elevado a la cero es igual a uno, esto aplica incluso si $a=0$ .

2. $a^1 = a$ , todo número real se puede expresar con exponente.

3. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , al multiplicar dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y sumamos los exponentes. Esto se debe a que

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-veces} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(m+n)-veces}$

4. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , si tenemos un número elevado a una potencias y a su vez esta expresión está elevada a una potencias, entonces multiplicamos las potencias. Esto se debe a

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n-veces} = a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{n-veces}} = a^{m \cdot n}$

5. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , si un producto está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del producto. Esto se debe a

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n-veces} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n-veces} = a^n \cdot b^n$

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6. $a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$ , el inverso multiplicativo de todo número distinto de cero se puede expresar como el número con exponente menos uno (-1) o como el cociente de uno entre ese número.

7. $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$ , todo número distinto de cero con una potencia negativa, se puede reescribir como uno sobre el mismo número pero con potencia positiva.

8. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$ , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y restamos los exponentes, el exponente de arriba menos el de abajo. Supongamos que $m > n$ para entender esta idea, entonces, esto se debe a que

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} \cdot \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{(m-n)-veces}}{1} = a^{m-n}$

9. $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$ , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base en el denominador y restamos los exponentes, el exponente de abajo menos el de arriba. Supongamos que $m < n$ para entender esta idea, entonces, esto se debe a que

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-veces}} \cdot \dfrac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(n-m)-veces}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}$

10. $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$ , si un cociente está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del cociente. Esto se debe a

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b}}_{n-veces} = \dfrac{ \overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n-veces} }{ \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n-veces}} = \dfrac{a^n}{b^n}$

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de las Potencias o Ley de los Exponentes, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen del producto entre números reales. De forma resumida, tenemos que

Lista de las Propiedades de las Potencias

$a^0 = 1$

$a^1 = a$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-1} = \dfrac{b}{a}, \ a,b \neq 0$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$

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Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $2^2 \cdot 2^3$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$2^7 \cdot 2^3 = 2^{7+3} = 2^{10}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $3^4 \cdot 3$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes considerando que $3 = 3^1$ ,

$3^4 \cdot 3^1 = 3^{4+1} = 3^5$

Ejemplo 3

Simplifique la expresión $9^5 \cdot 9^2 \cdot 9^{10}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$9^5 \cdot 9^2 \cdot 9 = 9^{5+2+1} = 9^{8}$

Finalmente, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{8} = \left( 3^2 \right)^{8} = 3^{2 \cdot 8} = 3^{16}$

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{6}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^4 \cdot 3^2 \cdot 5^{6} = 3^{4+2} \cdot 5^{6} = 3^{6} \cdot 5^{6}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{6} \cdot 5^{6} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{6}$

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Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\left( 7^{9} \cdot 7^{-2} \cdot 7^{5} \right)^{2}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\left( 7^{9} \cdot 7^{-2} \cdot 7^{5} \right)^{2} = \left( 7^{9-2+5} \right)^{2} = \left( 7^{12} \right)^{2}$

Multiplicamos el exponente que está fuera del paréntesis con el exponente que está dentro del paréntesis

$\left( 7^{12} \right)^{2} =7^{12 \cdot 2} = 7^{24}$

Ejemplo 6

Simplifique la expresión $\frac{2^5}{2^3}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^{2}$

Ejemplo 7

Simplifique la expresión $\frac{4^{7} \cdot 3^{-15} \cdot 3^{4}}{4^{3} \cdot 4^{5} \cdot 3^{-20}}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\frac{4^{7} \cdot 3^{-15} \cdot 3^{4}}{4^{3} \cdot 4^{5} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7} \cdot 3^{-15+4}}{4^{3+5} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7} \cdot 3^{-11}}{4^{8} \cdot 3^{-20}}$

Separamos las fracciones para agrupar las divisiones que tienen la misma base

$\frac{4^{7} \cdot 3^{-11}}{4^{8} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7}}{4^{8}} \cdot \frac{3^{-11}}{3^{-20}}$

Restamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\frac{4^{7}}{4^{8}} \cdot \frac{3^{-11}}{3^{-20}} = 4^{7-8} \cdot 3^{-11-(-20)} = 4^{-1} \cdot 3^{9}$

Descomponemos el número $4$ en factores primos para obtener que

$\left( 2^2 \right)^{-1} \cdot 3^{9} = 2^{-2} \cdot 3^{9}$

Finalmente, podemos reescribir la expresión $2^{-2}$ como $\frac{1}{2^{2}}$ para obtener la siguiente fracción

$2^{-2} \cdot 3^{9} = \frac{1}{2^2} \cdot 3^{9} = \frac{3^9}{2^2}$

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Ejemplo 8

Efectúe la operación $\left( -\frac{5}{2} \right)^2$ usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cuadrado, esto es multiplicar un número por él mismo, dos veces. Entonces,

$\left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right)$

Por otra parte, la fracción $-\frac{5}{2}$ se puede reescribir como $\frac{-5}{2}$ , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

$\left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{-5}{2} \cdot \frac{-5}{2}$

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

$\frac{(-5) \cdot (-5)}{2 \cdot 2} = \frac{25}{4}$

Ejemplo 9

Efectúe la operación $\left( -\frac{2}{3} \right)^3$ usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cubo, esto es multiplicar un número por él mismo, tres veces. Entonces,

$\left( -\frac{2}{3} \right)^3 = \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)$

Por otra parte, la fracción $-\frac{2}{3}$ se puede reescribir como $\frac{-2}{3}$ , , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

$\left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3}$

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

$\frac{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{-8}{27} = - \frac{8}{27}$

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