Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

10.10.202013.06.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Veamos ahora el desarrollo de un método que nos permitirá reducir el orden de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea una vez que hemos encontrado una de sus soluciones.

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno. Entonces, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden, diremos que esta está estandarizada si se encuentra expresada de la siguiente forma:

$y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo I, pues de esta forma podemos garantizar que existe un conjunto fundamental de soluciones de esta ecuación en el intervalo I. Supongamos que $y_1(x)$ es en efecto una solución conocida y que $y_1(x) \neq 0$ para todo $x$ en el intervalo $I$ .

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Introducción

Partiremos del hecho de que al considerar una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden, existirá un conjunto fundamental de soluciones que consta de exactamente dos soluciones para esta ecuación.

Formalmente, si consideramos $y_1$ y $y_2$ , dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial ordinaria homogénea de orden dos en un intervalo I, el principio de superposición para ecuaciones homogéneas establece que cualquier otra solución será combinación lineal de éstas, entonces la solución general estará definida en un intervalo I de la siguiente forma

$y = c_1 y_1 + c_2 y_2$

Nuestro propósito es encontrar una segunda solución $y_2(x)$ tal que $y_1(x)$ y $y_2(x)$ son linealmente independientes, es decir, tal que $y_2(x) \neq c_1 \cdot y_1(x)$ . Consideramos entonces, una función auxiliar $u(x)$ tal que $y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x)$ .

La función $y_2$ debería satisfacer la ecuación $y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0$ , entonces, debemos calcular la primera y la segunda derivada de $y_2$ para posteriormente sustituirla en la ecuación.

$y_2 = u \cdot y$

$y_2' = u \cdot y'_1 + y_1 \cdot u'$

$y_2'' = u \cdot y''_1 + 2 \cdot y'_1 \cdot u' + y_1 \cdot u''$

Entonces al sustituir las funciones $y_2$ , $y_2'$ y $y_2''$ en la ecuación estandarizada, obtenemos

$(u y''_1 + 2y'_1 u' + y_1 u'') + P (uy'_1 + y_1u') + Q (uy_1) = 0$

Expandimos las expresiones distribuyendo $P$ y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a $u$ , $u'$ y $u''$

$u y''_1 + 2y'_1 u' + y_1 u'' + P uy'_1 + P y_1u' + Q uy_1 = 0$

$\Rightarrow \; y_1 u'' + 2y'_1 u' + P y_1u' + u y''_1 + P uy'_1 + Q uy_1 = 0$

$\Rightarrow \; y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' + (y''_1 + Py'_1 + Qy_1)u = 0$

Debemos notar que al ser $y_1$ una solución de la ecuación, entonces $y''_1 + Py'_1 + Qy_1 = 0$ , por lo tanto, tenemos que

$y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' + (0)u = 0$

$\Rightarrow \; y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' = 0$

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Reducción de Orden

Notemos que esta última ecuación involucra sólo la primera y segunda derivada de la variable $u$ , entonces, si recurrimos a una nueva variable auxiliar $w(x)=u'(x)$ , podemos reducir el orden la ecuación diferencial como sigue

$y_1 w' + (2y'_1 + P y_1 ) w = 0$

Esta ecuación es precisamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con variables separables, entonces podemos calcular su solución de la siguiente manera

$\displaystyle y_1 w' + (2y'_1 + P y_1 ) w = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \; y_1 w' = - (2y'_1 + P y_1 ) w$

$\displaystyle \Rightarrow \; \frac{w'}{w} = \frac{- (2y'_1 + P y_1 )}{y_1}$

$\displaystyle \Rightarrow \; \int \frac{w'}{w} = \int \frac{- (2y'_1 + P y_1 )}{y_1} dx$

$\displaystyle \Rightarrow \; \int \frac{w'}{w} dx = - \int \left( \frac{2y'_1}{y_1} + \frac{P y_1 }{y_1} \right) dx$

$\displaystyle \Rightarrow \; \ln(w) = - 2 \ln(y_1) - \int P dx + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \ln(w) + 2 \ln(y_1) = - \int P dx + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \ln(w) + \ln(y_1^2) = - \int P dx + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \ln(w y_1^2) = - \int P dx + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \textbf{\textit{\huge e}}^{\ln(w y_1^2)} = \textbf{\textit{\huge e}}^{- \int P dx + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; w y_1^2 = \textbf{\textit{\huge e}}^{- \int P dx + C}$

Y considerando que $w$ es una variable auxiliar, tenemos que

$\displaystyle w y_1^2 = \textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; u' y_1^2 = \textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; u' = \frac{C_1 \textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2}$

$\displaystyle \Rightarrow \; u = \int \frac{C_1 \textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2} dx + C_2$

Para simplificar esta última expresión, podemos escoger de forma conveniente los valores $c_1=1$ y $c_2=0$ , y así, esta última expresión se convierte en

$u = \displaystyle \int \frac{\textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2} dx$

Finalmente, como $y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x)$ , entonces $u(x) = \frac{y_2(x)}{y_1(x)}$ , de esta forma obtenemos

$\displaystyle \frac{y_2(x)}{y_1(x)} = \int \frac{\textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx}}{\left( y_1(x) \right)^2} dx \Rightarrow y_2(x) = y_1(x) \int \frac{\textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx$

Esta última igualdad nos provee una fórmula para calcular una solución $y_2$ de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden conociendo una solución particular $y_1$ y en consecuencia, la solución general de la ecuación. Veamos con algunos ejemplos como aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución general de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden

$x^2y'' - 3xy' + 4y = 0$

en el intervalo $(0,+\infty)$ , sabiendo que $y_1=x^2$ es una solución particular de ésta.

Se verifica que en efecto es una solución de esta ecuación diferencial, pues si $y=x^2$ , entonces

$x^2(x^2)'' - 3x(x^2)' + 4(x^2) = x^2(2) - 3x(2x) + 4x^2 = 2x^2 - 6x^2 + 4x^2 = 0$

Para hallar la otra solución particular, empezamos estandarizando la ecuación, en este caso dividimos cada sumando de la ecuación por $x^2$ para obtener

$y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{4}{x}y = 0$

Así, identificando $P(x)=\frac{3}{x}$ podemos calcular la otra solución de esta ecuación sustituyendo en la fórmula, obtenemos que

$\displaystyle y_2(x) = x^2 \int \frac{\textbf{\textit{\huge e}}^{\tiny - \int \frac{3}{x} dx}}{(x^2)^2} dx = x^2 \int \frac{x^3}{(x^2)^2} dx = x^2 \ln(x)$

De esta forma, contamos con las dos soluciones particulares $y_1=x^2$ y $y_2(x) = x^2 \ln(x)$ y en consecuencia, podemos expresar la solución general de la ecuación, pues cualquier otra solución se expresa como combinación lineal de estas dos de la siguiente forma:

$y(x) = c_1 x^2 + c_2 x^2 \ln(x)$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas y No-Homogéneas

08.10.202003.06.2025 Anthonny Arias-García3 comentarios

Al estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, aquellas expresadas de la forma $a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$ , fue de vital importancia considerar el valor de la función $g(x)$ pues nos permitió establecer una nueva forma de clasificar este tipo de ecuaciones diferenciales.

La situación no será diferente cuando estudiemos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, pues al estar estas expresadas de la siguiente forma:

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea si $g(x)=0$ , y por otra parte, diremos que es no-homogénea si $g(x) \neq 0$ . En los siguientes ejemplos ilustraremos esta idea con mayor precisión.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es homogénea, pues $g(x)=0$

$2 y'' + 3y' +5y = 0$

Ejemplo 2

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden es homogénea, pues $g(x)=0$

$-5 y''' + 7x^3y^4 = 0$

Ejemplo 3

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es no-homogénea, pues $g(x)=10x^3$

$3x^2 y'' + 7xy'+ 9 = 10x^3$

Ejemplo 4

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es no-homogénea, pues $g(x)=-7$

$\ln(x) y'' + 6\ln(x)y = -7$

Ejemplo 5

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden es no-homogénea, pues $g(x)=\textit{\Large e}^x$

$\frac{11}{x}y''' - x^3 y'' + 6y' + 10y = \textit{\Large e}^x$

Principio de Superposición para Ecuaciones Homogéneas

Hemos mencionado antes que una ecuación diferencial ordinaria de orden superior puede tener varias soluciones si se presenta un problema de condiciones en la frontera.

El siguiente teorema nos permitirá sentar una base para el calculo de la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas tomando en cuenta las diferentes soluciones que esta puede tener.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones Homogéneas)

Si $y_1,y_2, \ldots ,y_k$ son $k$ soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0$

definidas en un intervalo $I$ y $c_ 1, c_2, \ldots , c_k$ son constantes reales, entonces la combinación lineal

$y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_k y_k$

también será una solución de la ecuación diferencial en el intervalo $I$ .

De este teorema se derivan dos afirmaciones que nos serán de utilidad a la hora de definir la solución de una ecuación diferencial y es que podemos notar que al ser $c_ 1, c_2, \ldots , c_k$ cualesquiera constantes reales, estas pudieran ser cero. Entonces, si $y_p$ es una de las soluciones, tenemos que:

Cualquier múltiplo de la solución $y_p$ , es decir, cualquier función de la forma $c \cdot y_p$ es una solución de la ecuación.
Si todas las constantes son iguales a cero, entonces la función constante igual a cero, es decir, $y=0$ también es solución de la ecuación. Esta solución se conoce como la solución trivial.

Soluciones Linealmente Dependientes e Independientes

Diremos que un conjunto de $k$ soluciones $y_1,y_2, \ldots ,y_k$ definidas en un intervalo $I$ , es linealmente dependiente si cualquiera de estas soluciones se puede expresar como una combinación lineal de las demás soluciones, es decir, tal que existen constantes $c_ 1, c_2, \ldots , c_k$ con al menos una de ellas diferente de cero, tal que

$c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_k y_k = 0$

Por otra parte, diremos que un conjunto de $k$ soluciones $y_1,y_2, \ldots ,y_k$ definidas en un intervalo $I$ , es linealmente independiente si no son linealmente dependientes, y más aún, si $y_1,y_2, \ldots ,y_n$ es un conjunto de soluciones linealmente independiente de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de orden $n$ , diremos que este es un conjunto fundamental de soluciones.

Si consideramos una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de orden $n$ cuyos coeficientes $a_0(x), a_1(x) \ldots , a_n(x)$ son funciones continuas en un intervalo $I$ , es decir, expresada de la siguiente manera

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0$

Entonces siempre podemos garantizar que existe un conjunto fundamental de soluciones, e incluso, la solución general de esta ecuación se expresa como una combinación lineal de este conjunto de soluciones, es decir,

$y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Orden Superior

07.10.202003.06.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Hasta ahora hemos calculado la solución de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir, de aquellas ecuaciones diferenciales en las que el mayor orden de las derivadas involucradas es igual a uno. Durante esta sección, estudiaremos ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno, precisamente, ecuaciones diferenciales ordinarias de orden $n$ , es decir, aquellas definidas de la siguiente forma

$F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0$

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Los métodos que se presentarán en esta sección se usarán para calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, es decir, aquellas expresadas como una combinación lineal (recordando que la linealidad es respecto a la variable $y$ y sus derivadas) de la siguiente forma

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Donde $a_n(x), \, a_{n-1}(x), \, \ldots , \, a_1(x) , \, a_0(x)$ y $g(x)$ son funciones que no necesariamente son lineales. Veamos algunos ejemplos para aprender a identificar este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

La ecuación diferencial $\textit{\Large e}^xy - y''=0$ es lineal respecto $y$ y $y''$ pues estos elementos permanecen inalterados, además, la derivada de mayor orden involucrada es de segundo orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

Ejemplo 2

La ecuación diferencial $2x^6y''' + 9x^8y'= 0$ es lineal respecto a la variable $y'$ y $y'''$ pues estos elementos permanecen inalterados, además, la derivada de mayor orden involucrada es de tercer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden.

Ejemplo 3

La ecuación diferencial $5\ln(x)y'' + 13 y' - \frac{20}{x}y = 30\sqrt{x}$ es lineal respecto a $y$ , $y'$ y $y''$ pues estos elementos permanecen inalterados, además, la derivada de mayor orden involucrada es de segundo orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

Ejemplo 4

La ecuación diferencial $2x^2y^{(4)} + 4xy^7 = 7x^4$ no es lineal respecto a $y$ pues este elemento tiene potencia igual a siete, además, la derivada de mayor orden involucrada es de cuarto orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de cuarto orden.

Ejemplo 5

La ecuación diferencial $6 y'' \textit{\Large e}^{x} - 8 y' \cdot y = \textit{\Large e}^{2x}$ no es lineal respecto a $y$ y $y'$ pues estos elementos están siendo multiplicados entre sí, además, la derivada de mayor orden involucrada es de segundo orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden.

Ecuaciones Diferenciales con Problemas de valor inicial

Al considerar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden definimos una condición inicial sobre la variable $y$ como $y(x_{0})=y_0$ , sin embargo, debemos ser cuidadosos al definir condiciones iniciales sobre ecuaciones de orden superior, pues en el caso de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ , la condición inicial está definida sobre la variable $y$ y sus primeras $n-1$ derivadas de la siguiente forma

$y(x_0) = y_0, \, y'(x_0) = y_1, \, \ldots , \, y^{(n-1)}(x_0) = y_n$

Antes de empezar a calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden $n$ es importarse preguntarse: ¿cómo sabemos que en efecto podemos encontrar la solución de una ecuación que cumpla con esa condición? A continuación veremos un teorema que nos permitirá determinar si una ecuación diferencial con un problema de valor inicial tiene solución.

Teorema (De existencia y unicidad)

Sean $a_n(x), \, a_{n-1}(x), \, \ldots , \, a_1(x) , \, a_0(x)$ y $g(x)$ funciones continuas en un intervalo $I$ con $a_n(x) \neq 0$ para todo $x \in I$ . Si $x=x_0$ es un punto de este intervalo, entonces existe una única solución $y(x)$ para la ecuación

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

con la siguiente condición inicial para la variable $y$ y sus primeras $n-1$ derivadas

$y(x_0) = y_0, \, y'(x_0) = y_1, \, \ldots , \, y^{(n-1)}(x_0) = y_n$

Consideremos algunos ejemplos para entender la forma que deben tener las ecuaciones diferenciales para que cumplan con las condiciones de este teorema.

Ejemplos

Ejemplo 6

Consideremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria con su respectivo problema de valor inicial

$y'' - 4y = 12x$

$y(0)=4, \ \ y'(0)=1$

Entonces, $a_2(x)=1$ , $a_1(x)=0$ , $a_0(x)=-4$ , y $g(x)=12x$ son sus coeficientes y cada uno de estos es una función continua en cualquier intervalo $I$ que contenga a $x_{0}=0$ .

Por lo tanto, existe una única solución $y(x)$ para esta ecuación en cualquier intervalo $I$ .

Ejemplo 7

Consideremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria con su respectivo problema de valor inicial

$5\textit{\Large e}^{x}y''' - 3\textit{\Large e}^{x+3}y' = 9\textit{\Large e}^{x}$

$y(1)=1, \ \ y'(1)=1, \ \ y''(1)=1$

Entonces, $a_3(x)=5\textit{\Large e}^{x}$ , $a_2(x)=0$ , $a_1(x)=- 3\textit{\Large e}^{x+3}$ , $a_0(x) = 0$ y $g(x)= 9\textit{\Large e}^{x}$ son sus coeficientes y cada uno de estos es una función continua en cualquier intervalo $I$ que contenga a $x_{0}=1$ .

Por lo tanto, existe una única solución $y(x)$ para esta ecuación en cualquier intervalo $I$ .

Ejemplo 8

Consideremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria con su respectivo problema de valor inicial

$\frac{6}{x}y'' + \frac{10}{x^2}y' - \frac{1}{x^3}y = 4\sqrt{x}$

$y(5)=-1, \ \ y'(5)=1$

Entonces, $a_2(x)=\frac{6}{x}$ , $a_1(x)=\frac{10}{x^2}$ , $a_0(x) = - \frac{1}{x^3}$ y $g(x)= 4\sqrt{x}$ son sus coeficientes y cada uno de estos es una función continua en cualquier intervalo $I$ de la forma $(0,b)$ contenga a $x_{0}=5$ .

Por lo tanto, existe una única solución $y(x)$ para esta ecuación en cualquier intervalo $I$ de la forma $(0,b)$ contenga a $x_{0}=5$ .

Ecuaciones diferenciales con Problemas de condiciones en la frontera

Al considerar una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ , podemos definir un problema de valor inicial fijando condiciones sobre las funciones $y(x), y'(x), \ldots ,y^{(n-1)}(x)$ que definen la solución de la ecuación sobre un único punto.

Sin embargo, puede ocurrir que al considerar las funciones $y(x), y'(x), \ldots ,y^{(n-1)}(x)$ , estas no estén todas condicionadas en un único valor inicial, sino en puntos diferentes valores $x_{0},x_{1}, \ldots ,x_{n-1}$ . A este tipo de problemas los llamamos problemas de condiciones en la frontera.

De forma general, las condiciones en la frontera para una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ están expresados de la siguiente forma:

$\alpha_{11} \cdot y(x_{1}) + \alpha_{12} \cdot y'(x_{1}) + \ldots + \alpha_{1 \ n-1} \cdot y^{(n-1)}(x_{1}) = \gamma_{1}$
$\alpha_{21} \cdot y(x_{2}) + \alpha_{22} \cdot y'(x_{2}) + \ldots + \alpha_{2 \ n-1} \cdot y^{(n-1)}(x_{2}) = \gamma_{2}$
$\vdots$
$\alpha_{n1} \cdot y(x_{n-1}) + \alpha_{n2} \cdot y'(x_{n-1}) + \ldots + \alpha_{n \ n-1} \cdot y^{(n-1)}(x_{n-1}) = \gamma_{n}$

Y aunque estas condiciones parecieran complicadas, a medida que vamos particularizando los casos, estas se simplifican. Consideremos entonces, algunos ejemplos para entender como están expresadas las condiciones en la frontera para casos particulares.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con su respectiva condición en la frontera

$3x^2 y'' + 7xy'+ 9 = 10x^3$

$y(1)=4, \ \ y(3)=-1$

Las condiciones $y(1)=4$ y $y(-3)=-1$ son llamadas condiciones de frontera y, si observamos el caso general para ecuaciones ordinarias de segundo orden, podemos identificar estas condiciones de la siguiente forma

$1 \cdot y(1) + 0 \cdot y'(1) = 4$
$1 \cdot y(3) + 0 \cdot y'(3) = -1$

Ejemplo 10

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con su respectiva condición en la frontera

$\ln(x) y'' + 6\ln(x)y = -10$

$y(-2)=6, \ \ y'(1)=10$

Las condiciones $y(-2)=6$ y $y'(1)=10$ son llamadas condiciones de frontera y, si observamos el caso general para ecuaciones ordinarias de segundo orden, podemos identificar estas condiciones de la siguiente forma

$1 \cdot y(-2) + 0 \cdot y'(-2) = 6$
$0 \cdot y(1) + 1 \cdot y'(3) = 10$

Ejemplo 11

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con su respectiva condición en la frontera

$-5 y''' + 7x^3y^4 = 0$

$y'(0)=1, \ \ y'(2)=2, \ \ y''(1)=-1$

Las condiciones $y'(0)=1$ , $y'(2)=2$ , $y''(1)=-1$ son llamadas condiciones de frontera y, si observamos el caso general para ecuaciones ordinarias de segundo orden, podemos identificar estas condiciones de la siguiente forma

$0 \cdot y(0) + 1 \cdot y'(0) + 0 \cdot y''(0) = 1$
$0 \cdot y(2) + 1 \cdot y'(2) + 0 \cdot y''(2) = 2$
$0 \cdot y(1) + 0 \cdot y'(1) + 1 \cdot y''(1) = -1$

Es importante tomar en cuenta que los problemas de condiciones en la frontera pueden tener varias soluciones, una solución o ninguna solución. Esto se puede apreciar mejor con una interpretación gráfica de la solución de de una ecuación con problemas de condiciones en la frontera

Gráficamente, al considerar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ , esta es una función que satisface igualdad planteada por la ecuación en un intervalo $I$ que contiene a $x_{1}, x_{2}, \ldots ,x_{n}$ , cuya gráfica pasa por los puntos $(x_{1},y(x_{1})), (x_{2},y(x_{2})), \ldots, (x_{n},y(x_{n}))$ .

Para entender esta idea, en el siguiente gráfico se presenta la solución de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. La solución es una función que satisface igualdad planteada por la ecuación en un intervalo $I$ que contiene a $x_{1}$ y $x_{2}$ ; cuya gráfica (de la función solución) pasa por los puntos $(x_{1},y(x_{1}))$ y $(x_{2},y(x_{2}))$ .

Ecuaciones Diferenciales – Modelo de crecimiento y decrecimiento poblacional

03.10.202007.04.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

El Modelo de Crecimiento Poblacional
1. Ejemplo

Usualmente las ecuaciones diferenciales se emplean para modelar el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo. De forma general, si consideramos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, estas estarán expresadas de la forma

$x' + u(t) \cdot x = w(t)$

Donde $u$ y $w$ son funciones que dependen de la variable $t$ .

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El Modelo de Crecimiento Poblacional

Empecemos por considerar uno de los modelos más básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en un tiempo $t$ : el caso homogéneo con coeficiente constante, es decir, tal que $w(t)=0$ y $u(t)=k$ . En este caso, las ecuaciones estarán expresadas de la forma

$x' - k \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x' = k \cdot x$

Con valor inicial $x(0)=x_{0}$ . En este caso la constante $k$ será conocida como constante de proporcionalidad y este tipo de ecuaciones sirve para describir diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Las aplicaciones de este modelo pueden variar entre crecimiento de una población de bacterias, media-vida (variable que se usa para describir la estabilidad de sustancias radiactivas), pruebas de carbono 14 (para medir qué tan antiguo es un fósil) o incluso para determinar en cuánto tiempo se enfría una torta, sin embargo, durante este curso consideraremos de forma particular la forma en que crece la población de una determinada localidad.

Formalmente, si definimos la variable $P(t)$ para denotar el tamaño de la población en un tiempo $t$ , la forma en que varía el tamaño de la población respecto al tiempo se puede describir calculando la derivada de la variable $P$ respecto al tiempo $t$ , es decir, $P'(t) = \frac{dP}{dt}(t)$ .

Para poder emplear este tipo de modelos, debemos suponer que la forma en que varía la población en un instante de tiempo $t$ es proporcional al tamaño de la población en dicho tiempo $t$ , de esta forma, obtenemos la siguiente igualdad

$P'(t) = k \cdot P(t)$

Notando que esta igualdad representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea y puede usarse para predecir el tamaño de la población en el futuro, es decir, para algún $t>t_{0}$ . Y sabiendo el tamaño de la población en un punto $t_0$ entonces podemos definir una ecuación diferencial con problema de valor inicial de la siguiente forma:

$P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_{0}) = P_0$

Representando la ecuación diferencial de esta forma, la constante de proporcionalidad se puede determinar a partir de la solución con el valor inicial dado.

Ejemplo

Mediante un censo poblacional en el año 1970, el tamaño de la población de una pequeña ciudad fue de aproximadamente 70 000 habitantes. En el censo poblacional del año 2000 se estimó que el tamaño de la población fue de 200 000 habitantes. Considerando que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, ¿cuál será el tamaño de la población en el año 2030?

Antes de establecer el modelo que define el crecimiento de esta población, es necesario definir las variables involucradas.

El primer censo se efectuó en el año 1970, entonces consideramos a este como el valor inicial $t_{0} = 1970$ . Sin embargo, para agilizar los cálculos, podemos considerar $t_{0} = 0$ y así, $P_{0} = 70000$ .

Partiendo del hecho que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, planteamos la siguiente ecuación diferencial

$P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_0) = P_{0} = 70000$

Al ser esta una ecuación de variables separables, procedemos a calcular su solución con el respectivo valor inicial.

$P' = k P$

$\; \Rightarrow \; \frac{dP}{dt} = k P$

$\; \Rightarrow \; \frac{dP}{P} = k dt$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{dP}{P} = \int k dt$

$\; \Rightarrow \; \ln(P) = kt + C$

$\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt + C}$

$\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt} \textit{\large e}^{C}$

$\; \Rightarrow \; P = C \textit{\Large e}^{kt}$

Tomando en cuenta que hemos considerado $t_{0} = 0$ , entonces

$P_{0} = C \textit{\Large e}^{k \cdot (0)} \; \Rightarrow \; 70000 = C \cdot 1 \; \Rightarrow \; C = 70000$

Entonces, la solución de la ecuación diferencial planteada con el problema de valor inicial está dada por

$P = 70000 \textit{\Large e}^{kt}$

Sin embargo, aún no hemos determinado el valor de la constante de proporcionalidad $k$ . Para esto, debemos recurrir a la otra información aportada en el enunciado del problema.

El segundo censo se efectuó en el año 2000, entonces al haberse efectuado 30 años después consideramos a este como el valor en el trigésimo periodo $t_{30} = 2000$ y así, $P(30) = 200000$ . De esta forma, podemos plantear la siguiente igualdad

$P(30) = 70000 \textit{\Large e}^{kt}$

Y a partir de esta igualdad, podemos despejar $k$ .

$\; \Rightarrow \; 200000 = 70000 \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; \frac{200000}{70000} = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; 2.8571 = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; \ln \left( 2.8571 \right) = k \cdot 30$

$\; \Rightarrow \; \frac{\ln \left( 2.8571 \right)}{30} = k$

$\; \Rightarrow \; k \approx 0,03499$

De esta forma, la fórmula general para calcular el tamaño de la población está definida de la siguiente forma:

$P(t) = 70000 \textit{\Large e}^{0,03499 \cdot t}$

Para calcular el tamaño de la población en el año 2030, debemos tomar en cuenta que si el año inicial fue 1970, entonces el año 2030 corresponde al sexagésimo periodo, es decir, $t_{60} = 2030$ . Entonces, evaluamos la función en 60.

$P(60) = 70000 \textit{\Large e}^{(0,03499) \cdot (60)} \; \Rightarrow \; P(60) = 571289$

Ejercicios Propuestos – Expresiones Algebraicas

02.10.202006.11.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Operaciones Básicas

Simplifique las siguientes expresiones efectuando las operaciones básicas. Recuerde tomar en cuenta la jerarquía entre las operaciones.

$90 + 58 \cdot 13$
$54 + 3 \cdot 48$
$( 11 + 52) \cdot 13$
$( 72 + 19) \cdot 88$
$78 + ( 50 + 54) \cdot 72$
$5 + ( 73 - 84) \cdot 37$
$4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4$
$2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7$
$53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]$
$62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]$
$7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17$
$8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25$
$(7^2 + 56 ) \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}$
$(2^2 - 69 ) \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}$
$\dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }$
$\dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }$
$73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }$
$8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }$
$\dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }$
$\dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }$
$81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }$
$89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }$
$\dfrac{ (4^3 - 68 ) \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 ) \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }$
$\dfrac{ (10^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }$
$(5^3 + 98 ) + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 ) \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }$
$(3^2 + 42 ) + \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 ) \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }$

Potencias y Radicales

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas como producto de factores primos usando las propiedades de las potencias.

$78$
$72$
$28 \cdot 30$
$24 \cdot 14$
$15^2 \cdot 25^5$
$16^3 \cdot 14^4$
$(17 \cdot 25)^5$
$(16 \cdot 20)^4$
$(17^{-1} \cdot 25^{14})^5$
$(16^{-3} \cdot 20^{15})^4$
$\sqrt[4]{76}$
$\sqrt[6]{115}$
$\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5}$
$\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}$
$\sqrt[3]{27 \cdot 30}$
$\sqrt[5]{24 \cdot 16}$
$\dfrac{18}{3}$
$\dfrac{24}{8}$
$\dfrac{18^{10}}{3^5}$
$\dfrac{24^9}{8^6}$
$\dfrac{12^{-4}}{3^5}$
$\dfrac{24^{-3}}{8^6}$
$\dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14}$
$\dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96}$
$\dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4}$
$\dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2}$
$\dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4}$
$\dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2}$
$\dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}}$
$\dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}}$
$\dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}}$
$\dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}}$
$\dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}}$
$\dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}}$

Logaritmos

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas usando las propiedades de las potencias y logaritmos.

$\log_2\big( 78 \big)$
$\log_3\big( 72 \big)$
$\log_7\big( 24 \cdot 14 \big)$
$\log_8\big( 60 \cdot 20 \big)$
$\log_{10}\big( 15^2 \cdot 25^5 \big)$
$\log_{12}\big( 16^3 \cdot 14^4 \big)$
$\log_2\big( (17 \cdot 25)^5 \big)$
$\log_4\big( (16 \cdot 20)^4 \big)$
$\log_3\big( (17^{-1} \cdot 25^{14})^5 \big)$
$\log_5\big( (16^{-3} \cdot 20^{15})^4 \big)$
$\log_2\big( \sqrt[4]{76} \big)$
$\log_3\big( \sqrt[6]{115} \big)$
$\log_4\big( \sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5} \big)$
$\log_5\big( \sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4} \big)$
$\log_2\big( \sqrt[3]{27 \cdot 30} \big)$
$\log_3\big( \sqrt[5]{24 \cdot 16} \big)$
$\log_2 \left( \dfrac{18}{3} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{24}{8} \right)$
$\log_6 \left( \dfrac{18^{10}}{3^5} \right)$
$\log_7 \left( \dfrac{24^9}{8^6} \right)$
$\log_2 \left( \dfrac{12^{-4}}{3^5} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{24^{-3}}{8^6} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96} \right)$
$\log_2 \left( \dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2} \right)$
$\log_9 \left( \dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4} \right)$
$\log_8 \left( \dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}} \right)$
$\log_6 \left( \dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}} \right)$
$\log_8 \left( \dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}} \right)$