Funciones Cuadráticas

02.01.202107.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

$f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0$

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

$f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0$

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ .

Anuncios

Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma $\cup$ ; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma $\cap$ .

Considerando la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ , diremos que $a$ es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

Si $a > 0$ entonces la función cuadrática es convexa.
Si $a < 0$ entonces la función cuadrática es cóncava.

Concavidad de la función cuadrática | totumat.com

Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) > f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) < f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática $f(x)=x^2$ se encuentra en el punto $(0,0)$ .

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión $(px + q)^2 + r$ traslada a la función $x^2$ en $-\frac{q}{p}$ unidades en el Eje X y en $r$ unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto $\left( -\frac{q}{p} , r \right)$ .

Vértice de la función cuadrática | totumat.com

Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

Anuncios

Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por $V_x$ , entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

$a = p^2$

$b = 2pq$

$V_x = -\frac{q}{p}$

A partir de la segunda ecuación podemos despejar $q$ para obtener que $q=\frac{b}{2p}$ y sustituyendo este valor de $q$ en la tercera ecuación, tenemos que

$V_x \ = \ -\frac{q}{p}$

$\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}$

$\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}$

Entonces, considerando esta última igualdad y que $a = p^2$ , concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ en $V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$ .

$f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c$

$\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c$

$\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

Anuncios

Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

$x = V_x$

Eje de Simetría de la Función Cuadrática | totumat.com

Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto $x=0$ , es decir, calcular la imagen $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c$ .

Puntos de Corte de la Función Cuadrática | totumat.com

Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$ , es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ . Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

Si $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces existen dos puntos de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces existe sólo un punto de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de $x$ que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

$\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Análisis de Equilibrio de la Utilidad

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

Anuncios

Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable $I$ , los costos totales con la variable $C$ y la utilidad total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$U = I - C$

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

Si $U < 0$ , esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
Si $U > 0$ , esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
Si $U = 0$ , esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo ( $q$ ) en el eje horizontal y la cantidad de dinero ( $p$ ) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = \frac{3}{10}q +40$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = \frac{6}{5}q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q$
$\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40$
$\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40$
$\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{400}{9}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40$
$= \ \frac{40}{3} + 40$
$= \ \frac{160}{3}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = 6q +60$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = 11q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$6q +60 = 11q+0$
$\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60$
$\Rightarrow \ -5q = -60$
$\Rightarrow \ q = 12$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=12$ en la ecuación de demanda.

$p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60$
$= \ 72 + 60$
$= \ 132$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( 12 , 132 \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Anuncios

Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = 20q +50$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = 26q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$20q +50 = 26q$
$\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50$
$\Rightarrow \ -6q = -50$
$\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{25}{3}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50$
$= \ \frac{500}{3} + 50$
$= \ \frac{650}{3}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. Una vez que ha fabricado los tapabocas, usted fija el precio de venta de cada tapabocas en 100 Ps. De esta forma, si usted vende un tapabocas, habrá recibido un total de 100 Ps.; si usted vende dos tapabocas, habrá recibido un total de 200 Ps.; si usted vende tres tapabocas, habrá recibido un total de 300 Ps.; y de forma sucesiva, si vende $q$ tapabocas, habrá recibido un total de $100 \cdot q$ Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Anuncios

La cantidad de dinero recibida por la venta de todas las unidades producidas de un artículo se conoce como ingreso total y de forma general, el ingreso se calcula multiplicando el precio por las cantidades vendidas. Formalmente, si identificamos el precio del artículo con la variable $p$ , las cantidades vendidas con la variable $q$ y el ingreso total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$I = p \cdot q$

Aunque el precio de un artículo puede variar dependiendo de la cantidad que se oferte de esta, podemos estudiar la relación que guardan la cantidad de unidades vendidas de un artículo con el ingreso total y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por el ingreso total, $I$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades vendidas, también aumenta el ingreso total. Particularmente, si el precio de un artículo es constante, el ingreso estará representado por una recta.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales | totumat.com

A la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en los siguientes ejemplos, cómo podemos usar la información sobre el precio un artículo para definir la ecuación lineal de ingresos totales.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Un productor de harina de trigo, fija el precio de cada cada kilo de harina en $1,2$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado al vender $60$ kilos?

Considerando que el precio kilo de harina es de $0,70$ Ps., podemos expresar la ecuación lineal de ingresos totales de la siguiente forma:

$I =1,2 \cdot q$

Para determinar el costo de fabricar $60$ kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor $q=60$ en ella, de la siguiente forma

$I = 1,2 \cdot (60) = 72$

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de $60$ kilos de harina es de $72$ Ps.

La recta $I =1,2 \cdot q$ es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto $(60,72)$ .

Ejemplo 2

Suponga que un agricultor fija el precio de $10$ kilos de zanahoria en $115$ Ps., y el de $20$ kilos de zanahoria en $185$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta $30$ kilos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de $110$ Ps. por la venta de $10$ kilos, podemos representar esta información como un punto $(I,q)$ el plano cartesiano donde $q=10$ y $I=110$ , es decir, el punto $(10,110)$ ; de igual forma, si el ingreso total es de $220$ Ps. por la venta de $20$ kilos, podemos representar esta información con el punto $(20,220)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (10,115)$ y $P_2 = (20,185)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{220 - 110}{20 - 10}$
$= \ \frac{110}{10}$
$= \ 11$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (I - 110) = 11 \cdot (q - 10)$
$\Rightarrow \ I - 110 = 11 \cdot q - 110$
$\Rightarrow \ I = 11 \cdot q - 110 + 110$
$\Rightarrow \ I = 11 \cdot q$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar el ingreso por la venta de $30$ kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor $q=30$ en ella, de la siguiente forma

$I = 11 \cdot (30) = 330$

Por lo tanto, el ingreso de cultivar y cosechar $30$ kilos de zanahoria es de $330$ Ps.

Anuncios

Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos fija el precio de venta de $5$ pares de zapatos para dama en $130$ Ps., y el de $13$ pares de zapatos en $338$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta de $10$ pares de zapatos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de $130$ Ps. por la venta de $5$ pares, podemos representar esta información como el punto $(5,130)$ ; de igual forma, si el ingreso total es de $338$ Ps. por la venta de $13$ pares, podemos representar esta información con el punto $(13,338)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si $P_1 = (5,130)$ y $P_2 = (13,338)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{338 - 130}{13 - 5}$
$= \ \frac{208}{8}$
$= \ 26$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (I - 130) = 26 \cdot (q - 5)$
$\Rightarrow \ I - 130 = 26 \cdot q - 130$
$\Rightarrow \ I = 26 \cdot q - 130 + 130$
$\Rightarrow \ I = 26 \cdot q$

Para determinar el ingreso generado por la venta de $10$ pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor $q=10$ en ella, de la siguiente forma

$I = 26 \cdot (10) = 260$

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de $10$ pares de zapatos para dama es de $260$ Ps.

Ecuación Lineal de Costos Totales

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-García4 comentarios

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. En vista de que estos tapabocas no aparecerán por arte de magia para que usted los venda, debe tomar en cuenta la cantidad de dinero que debe invertir para comprar los materiales necesarios y en tal caso que requiera de la ayuda de alguien, debe pagar a esa persona por sus servicios.

Anuncios

Producir un bien requiere de una inversión de dinero, esta inversión de dinero se conoce como costos de producción y se puede cuantificar a usando modelos matemáticos, pero para esto debemos tener en cuenta que estos se pueden catalogar de dos formas:

Costos variables que varían dependiendo principalmente de la cantidad de unidades producidas de dicho bien (nivel de producción) y aunque también pueden depender de otros factores, por ahora nos enfocaremos sólo en el nivel de producción. Usualmente se representan con la variable $c_v$ .
Costos fijos que permanecen constantes a través del tiempo, tal como alquiler de locales, salarios de administración, pago de servicios, pago de seguros, etc; y deben pagarse incluso si hay producción o no. Usualmente se representan con la variable $c_f$ .

Considerando esto, definimos costos totales como la suma de los costos variables y los costos fijos. Formalmente, si identificamos los costos totales con la variable $c_t$ o simplemente $C$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$c_t = c_v + c_f$

Si consideramos el caso en el que los costos variables dependen únicamente del nivel de producción, podemos estudiar la relación que guarda la cantidad de unidades producidas de un artículo con los costos totales y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por los costos totales, $C$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

De forma muy particular, el caso en el que los costos variables son proporcionales al nivel de producción, de forma que si el costo de producir una unidad es de $m$ , entonces los costos variables de producir $q$ unidades están expresados de la siguiente forma:

$c_v = m \cdot q$

A partir de este hecho y representando los costos fijos con una constante $b$ para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente forma:

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades producidas, también aumentan los costos totales.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

En una fábrica de harina de trigo, el costo de fabricar cada kilo de harina es de $0,3$ Ps. y diariamente, los costos fijos de esta empresa son de $40$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir $60$ kilos?

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Considerando que el costo de cada kilo de harina es de $0,3$ Ps., concluimos que los costos variables están expresados como $c_v = 0,3 \cdot q$ , y además, los costos fijos son de $40$ Ps. De esta forma, podemos expresar la ecuación lineal de costos totales de la siguiente forma:

$C = 0,3q + 40$

Para determinar el costo de fabricar $60$ kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor $q=60$ en ella, de la siguiente forma

$C = 0,3(60) + 40 = 18 + 40 = 58$

Por lo tanto, el costo de fabricar $60$ kilos de harina es de $58$ Ps.

La recta $C = 0,3q + 40$ es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto $(60,58)$ .

Ejemplo 2

Suponga que para un agricultor, el costo de cultivar y cosechar $10$ kilo de zanahoria es de $120$ Ps., y el de $20$ kilos de zanahoria es de $180$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de cultivar y cosechar $30$ kilos?

Debemos considerar que si el costo total es de $120$ Ps. para $10$ kilos, podemos representar esta información como un punto $(C,q)$ el plano cartesiano donde $q=10$ y $C=120$ , es decir, el punto $(10,120)$ ; de igual forma, si el costo total es de $18$ Ps. para $20$ kilos, podemos representar esta información con el punto $(20,180)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (10,120)$ y $P_2 = (20,180)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{180 - 120}{20 - 10}$
$= \ \frac{60}{10}$
$= \ 6$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (C - 120) = 6 \cdot (q - 10)$
$\Rightarrow \ C - 120 = 6 \cdot q - 60$
$\Rightarrow \ C = 6 \cdot q - 60 + 120$
$\Rightarrow \ C = 6 \cdot q + 60$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar el costo de cultivar y cosechar $30$ kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor $q=30$ en ella, de la siguiente forma

$C = 6 \cdot (30) + 60 = 180 + 60 = 240$

Por lo tanto, el costo de cultivar y cosechar $30$ kilos de zanahoria es de $240$ Ps.

Anuncios

Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos, el costo producir $5$ pares de zapatos para dama es de $150$ Ps., y el de $13$ pares de zapatos es de $310$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir $10$ pares de zapatos?

Debemos considerar que si el costo total es de $150$ Ps. para $5$ pares, podemos representar esta información como el punto $(5,150)$ ; de igual forma, si el costo total es de $310$ Ps. para $13$ pares, podemos representar esta información con el punto $(13,310)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si $P_1 = (5,150)$ y $P_2 = (13,310)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{310 - 150}{13 - 5}$
$= \ \frac{160}{8}$
$= \ 20$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (C - 150) = 20 \cdot (q - 5)$
$\Rightarrow \ C - 150 = 20 \cdot q - 100$
$\Rightarrow \ C = 20 \cdot q - 100 + 150$
$\Rightarrow \ C = 20 \cdot q + 50$

Para determinar el costo de producir $10$ pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor $q=10$ en ella, de la siguiente forma

$C = 20 \cdot (10) + 50 = 20 + 50 = 70$

Por lo tanto, el costo de producir $30$ pares de zapatos para dama es de $70$ Ps.

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso lineal

06.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

También pudiera interesarte

Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar $q_1$ unidades de dicho artículo.

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora comprarán las mismas $q_1$ unidades pagando cada unidad en un menor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un consumidor pensaba gastar $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda de la siguiente forma,

Pero como al final los consumidores están pagando un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de demanda, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por $q_0$ y si llamamos $D$ al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por $D - p_0$ .

Por lo tanto calculamos el excedente de los consumidores planteando la siguiente fórmula:

$E.C. \ = \ \frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2}$

Anuncios

Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar $q_1$ unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.),

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora ofertarán las mismas $q_1$ unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un productor pensaba recibir $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la recta de oferta de la siguiente forma,

Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la recta de oferta de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de oferta, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por $q_0$ y si llamamos $O$ al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por $p_0 - O$ .

Por lo tanto calculamos el excedente de los productores planteando la siguiente fórmula:

$E.P. \ = \ \frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2}$

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{67}{100}q +126$ y la ecuación de oferta $p = \frac{13}{25}q +36$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q+36$

$\Rightarrow \ -\frac{67}{100}q - \frac{13}{25}q = 36-126$

$\Rightarrow \ -\frac{119}{100}q = -90$

$\Rightarrow \ q = \frac{9000}{119}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{9000}{119}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( \frac{9000}{119} \right) + 126$

$= \ -\frac{6030}{119} + 126$

$= \ \frac{8964}{119}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( \frac{9000}{119} , \frac{8964}{119} \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Excedente de los Consumidores y de los Productores | totumat.com

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( 126 - \frac{8964}{119} \right)}{2} = \frac{27135000}{14161} \approx 1916.18$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( \frac{8964}{119} - 36 \right)}{2} = \frac{21060000}{14161} \approx 1487.18$

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{9}{10}q +104$ y la ecuación de oferta $p = \frac{27}{100}q +46$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{9}{10}q +104 = \frac{27}{100}q+46$

$\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q -\frac{27}{100}q = 46-104$

$\Rightarrow \ -\frac{117}{100}q = -58$

$\Rightarrow \ q = \frac{5800}{117}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{5800}{117}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{9}{10} \cdot \left( \frac{5800}{117} \right) + 104$

$= \ -\frac{580}{13} + 104$

$= \ \frac{772}{13}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( \frac{5800}{117} , \frac{772}{13} \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( 104 - \frac{772}{13} \right)}{2} = \frac{1682000}{1521} \approx 1105.85$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( \frac{772}{13} - 46 \right)}{2} = \frac{168200}{507} \approx 331.76$

Anuncios

Ejemplo 3

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{12}{25}q +171$ y la ecuación de oferta $p = \frac{3}{50}q +36$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{12}{25}q +171 = \frac{3}{50}q+36$

$\Rightarrow \ -\frac{12}{25}q -\frac{3}{50}q = 36-171$

$\Rightarrow \ -\frac{27}{50}q = -135$

$\Rightarrow \ q = 250$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=250$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{12}{25} \cdot \left( 250 \right) + 171$

$= \ -120 + 171$

$= \ 51$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( 250 , 51 \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 171 - 51 \right)}{2} = 15000$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 51 - 36 \right)}{2} = 1875$

Ejemplo 4

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{1}{10}q +115$ y la ecuación de oferta $p = \frac{87}{100}q +11$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{1}{10}q +115 = \frac{87}{100}q+11$

$\Rightarrow \ -\frac{1}{10}q -\frac{87}{100}q = 11-115$

$\Rightarrow \ -\frac{97}{100}q = -104$

$\Rightarrow \ q = \frac{10400}{97}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{10400}{97}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{1}{10} \cdot \left( \frac{10400}{97} \right) + 115$

$= \ -\frac{1040}{97} + 115$

$= \ \frac{10115}{97}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( \frac{10400}{97} , \frac{10115}{97} \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( 115 - \frac{10115}{97} \right)}{2} = \frac{5408000}{9409} \approx 574.77$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( \frac{10115}{97} - 11 \right)}{2} = \frac{47049600}{9409} \approx 5000.49$

totumat

¡Tu guía de matemáticas!

Categoría: Matemáticas

Funciones Cuadráticas

Concavidad de la función cuadrática

Vértice de la función cuadrática

Coordenada del vértice en el Eje X

Coordenada del vértice en el Eje Y

Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Con el Eje X

Análisis de Equilibrio de la Utilidad

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ecuación Lineal de Ingresos Totales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ecuación Lineal de Costos Totales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso lineal

Excedente de los Consumidores

Excedente de los Productores

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Concavidad de la función cuadrática

Vértice de la función cuadrática

Coordenada del vértice en el Eje X

Coordenada del vértice en el Eje Y

Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Con el Eje X

Comparte

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Comparte

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Comparte

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Comparte

Excedente de los Consumidores

Excedente de los Productores

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Comparte