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Máximo y Mínimo de una sucesión

07.08.202014.08.2020 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Al estudiar las cotas de una sucesión, estos números tenían la libertad de pertenecer o no a la sucesión. A continuación, estudiaremos dos elementos que acotan a la sucesión pero que además, deben estar dentro de la sucesión.

Máximo de una Sucesión

Diremos que una sucesión tiene el elemento máximo si existe un elemento de la sucesión que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, diremos que $M$ es el máximo de una sucesión $a_n$ si $M \in \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ y $a_n \leq M$ para todo número natural $n$ . En otras palabras, el máximo de la sucesión es una cota superior que está dentro de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos del máximo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , tiene máximo, pues si consideramos $M=-1$ , este valor es el elemento más grande de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , tiene máximo, pues si consideramos $M=1$ , este valor es el elemento más grande de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión aunque pareciera acercarse a uno, no tiene máximo. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Lo que podemos notar es que aunque la sucesión es creciente, esta nunca alcanzará un punto máximo.

Mínimo de una Sucesión

Diremos que una sucesión tiene el elemento mínimo si existe un elemento de la sucesión que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, diremos que $m$ es el mínimo de una sucesión $a_n$ si $m \in \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ y $a_n \geq m$ para todo número natural $n$ . En otras palabras, el mínimo de la sucesión es una cota inferior que está dentro de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos del máximo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , tiene mínimo, pues si consideramos $m=1$ , este valor es el elemento más pequeño de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica y señalemos con un punto rojo el elemento máximo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} =\{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , tiene mínimo, pues si consideramos $m=3$ , este valor es el elemento más pequeño de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica y señalemos con un punto rojo el elemento máximo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión aunque pareciera acercarse a cero, no tiene mínimo. Veamos su comportamiento de forma gráfica para ilustrar esta idea:

Lo que podemos notar es que aunque la sucesión es decreciente, esta nunca alcanzará un punto mínimo.

Sucesiones Acotadas

06.08.202014.08.2020 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Otro aspecto importante en el estudio de las sucesiones es saber cuales son los elementos que las encajonan, ya que de esta forma, podemos establecer con más claridad el espacio donde estas se desarrollan.

Cotas Superiores

Una cota superior (o elemento mayorante) de una sucesión es un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $C$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \leq C$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota superior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada superiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $1$ , $0$ , $9$ o $3572$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $-1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $3$ , $2$ , $14$ o $1000$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $2$ , $33$ , $97$ o $751$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Cotas Inferiores

Una cota inferior (o elemento minorante) de una sucesión es un número real que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $c$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \geq c$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota inferior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada inferiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-1$ , $0$ , $-34$ o $0.5$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $1$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $2$ , $-839$ , $1.5$ o $-55$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $3$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-2$ , $-10$ , $-7.98$ o $-457$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $0$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Sucesiones Acotadas

De forma general, diremos que una sucesión está acotada si está acotada tanto superior como inferiormente. Formalmente, diremos que una sucesión $a_n$ está acotada si existe un par de números reales $r$ y $R$ tales que $r \leq a_n \leq R$ para todo número natural $n$ . Por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y vemos su comportamiento de forma gráfica:

Podemos notar que esta sucesión está acotada superiormente por cualquier número mayor que 1 y está acotada inferiormente por cualquier número menor que -1.

También hay sucesiones que no están acotadas (ni superior ni inferiormente), por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ n(-1)^{n-1} \right\}_{n} = \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots\}$ y viendo su comportamiento de forma gráfica:

Es fácil notar que esta sucesión no está acotada.

Sucesiones | totumat.com

Comportamiento de una sucesión

05.08.202014.08.2020 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Las sucesiones pierden sentido si no se comparan sus elementos entre sí, pues su importancia radica en el comportamiento que estas describen a medida que crece el número natural con el que es correspondido cada elemento. Veamos entonces cuales son los principales comportamientos que podemos encontrar al estudiar sucesiones.

Sucesión Creciente

Diremos que una sucesión $a_n$ es creciente si a medida que crece el valor de $n$ , entonces crece su valor correspondiente. Formalmente, si $a_i \leq a_j$ para todo par de números naturales $i < j$ , y más aún, diremos que $a_n$ es estrictamente creciente si $a_i < a_j$ para todo par de números naturales $i < j$ . Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ -2 \right\}_{n} =\{ -2, -2, -2, -2, -2, -2, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Sucesión Decreciente

Diremos que una sucesión $a_n$ es \textbf{decreciente} si a medida que crece el valor de $n$ , entonces decrece su valor correspondiente. Formalmente, si $a_i \leq a_j$ para todo par de números naturales $i > j$ , y más aún, diremos que $a_n$ es estrictamente creciente si $a_i < a_j$ para todo par de números naturales $i > j$ . Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} = \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Hay sucesiones que no son ni crecientes ni decrecientes, esto es lo que ocurre con los sucesiones alternantes, consideremos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y veamos su comportamiento de forma gráfica:

Sucesiones

05.08.202020.02.2023 Anthonny Arias García3 comentarios

Definición de Sucesión
1. Ejemplos

A menudo, en las matemáticas, es necesario proceder paso a paso, contando detalladamente lo que ocurre en cada paso. Es por esto que definimos las sucesiones, pues tomando en cuenta que el conjunto de los números naturales es un conjunto contable, podemos establecer una relación entre estos y cualquier conjunto para estudiar su comportamiento.

Las sucesiones sientan una base para el cálculo infinitesimal y además, permiten, estudiar fenómenos en distintos ámbitos de las ciencias básicas y ciencias sociales.

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Definición de Sucesión

Definimos una sucesión de números reales como una regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con un único número real, es decir, una sucesión es una función que parte de desde $\mathbb{N}$ y llega hasta $\mathbb{R}$ , entonces, si $a$ es una sucesión, tenemos que:

$a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}$

Al trabajar con sucesiones, la notación de función puede sobrecargar la nomenclatura, es por esto que la regla de correspondencia $a(n)$ para cada $n \in \mathbb{N}$ que define la sucesión usualmente se denota de la siguiente forma

$a_n$

De esta forma, podemos expresar a las sucesiones como conjuntos, ya sea de forma comprensiva, definiendo la regla general que define a todos los elementos del conjunto o de forma extensiva, nombrando todos sus elementos como veremos a continuación:

Sucesiones | totumat.com

Aunque también se puede expresar de forma comprensiva usando las notaciones $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ o $(a_{n})$ .

Al ser las sucesiones representadas como conjuntos, llamaremos elemento a cada número real que la compone, sin embargo, para ser más específicos, al hacer referencia a la posición que cada elemento en el orden de la sucesión, se le llamará término.

Veamos en los siguientes ejemplos algunas de las sucesiones básicas. Como ejercicio mental para el lector, vea primero el conjunto que define la sucesión y piense cual es la regla general que la define.

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Ejemplos

Ejemplo 1: Sucesión Constante

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $1$ . De forma que

$a_1 = 1$
$a_2 = 1$
$a_3 = 1$
$a_4 = 1$
$a_5 = 1$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión constante uno y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 1$ .

De forma general, la sucesión $\{ c, c, c, c, c, c, \ldots \}$ definida por $a_{n} = c$ donde $c$ es un número real, será llamada sucesión constante $c$ .

Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo. De forma que

$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 = 3$
$a_4 = 4$
$a_5 = 5$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números naturales y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = n$ .

Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $1$ dividido el número natural correspondiente. De forma que

$a_1 = \frac{1}{1} = 1$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{1}{3}$
$a_4 = \frac{1}{4}$
$a_5 = \frac{1}{5}$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de proporcionalidad inversa y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = \frac{1}{n}$ .

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo dividido entre el número natural siguiente. De forma que

$a_1 = \frac{0}{1} = 0$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{3}{4}$
$a_4 = \frac{5}{6}$
$a_5 = \frac{7}{8}$
$\ldots$

La regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} =\frac{n}{n+1}$ .

Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares

Si consideramos la sucesión $\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos. De forma que

$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$
$a_4 = 2 \cdot 4 = 8$
$a_5 = 2 \cdot 5 = 10$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números pares y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 2n$

Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos menos uno, es decir, restando uno a cada número par. De forma que

$a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
$a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números impares y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 2n-1$

Ejemplo 7: Sucesión Alternante

Si consideramos la sucesión $\{ -1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $-1$ multiplicado por sí mismo la cantidad de veces correspondiente a dicho número natural. De forma que

$a_1 = (-1) = -1$
$a_2 = (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1$
$a_3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^3 = -1$
$a_4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1$
$a_5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^5 = -1$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión alternante y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = (-1)^{n}$

Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera definiendo los dos primeros elementos, y de ahí en adelante, sumamos los dos elementos anteriores. De forma que

$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8$
$a_7 = a_6 + a_5 = 8 + 5 = 13$
$a_8 = a_7 + a_6 = 13 + 8 = 21$

Esta sucesión es conocida como la Sucesión de Fibonacci y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ .

De forma general, todas aquellas sucesiones tales que su n-ésimo término es define a partir de términos anteriores, son conocidas como sucesiones recursivas.