Ecuación de la Recta – Página 2

La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al fijar un ángulo de inclinación, a través de dicho punto, sólo pasará una única recta que tenga ese ángulo de inclinación. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

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La fórmula de la Ecuación Punto-Pendiente

Si una recta pasa por un punto en el plano cartesiano, digamos $(x_0, y_0)$ y su ángulo de inclinación induce una pendiente de $m$ , podemos determinar la ecuación que la define planteando la siguiente fórmula:

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

A esta fórmula la llamaremos ecuación punto-pendiente y a partir de esta igualdad, podemos determinar la ecuación canónica de dicha recta, simplemente despejando la variable $y$ .

Veamos con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con estos dos elementos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,1)$ y tiene pendiente $m=1$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow (y - 1) = 1 \cdot (x - 1)$

$\Rightarrow y - 1 = x - 1$

$\Rightarrow y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(5,2)$ y tiene pendiente $m=3$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 3 \cdot (x - 5)$

$\Rightarrow \ y - 2 = 3x - 15$

$\Rightarrow \ y = 3x - 13$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 3x - 13$ y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma $(x,0)$ y $(0,y)$ . Entonces,

$x= 0 \Rightarrow y = 3(0) - 13 \Rightarrow y = - 13$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,-13)$

$y= 0 \Rightarrow 0 = 3x - 13 \Rightarrow -3x = - 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{13}{3},0 \right)$

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Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-1)$ y tiene pendiente $m=-2$ .

$(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)$

$\Rightarrow \ (y - (-1)) = -2 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -2x + 4$

$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma $(x,0)$ y $(0,y)$ . Entonces,

$x= 0 \Rightarrow y = -2(0) + 3 \Rightarrow y = 3$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,3)$

$y= 0 \Rightarrow 0 = -2x + 3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{3}{2},0 \right)$

La Recta Identidad

Una vez que hemos definido el Plano Cartesiano enfocaremos nuestro interés en estudiar subconjuntos de él, por ejemplo, consideremos todos los puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano que cumplen con la condición $y=x$ , es decir,

$\{ (x,y) : y=x, x \in R \}$ .

Para entender mejor este conjunto, podemos hacer una representación gráfica considerando algunos valores de $x$ para sustituir en la expresión $y=x$ y de esta forma, calcular el valor de $y$ correspondiente.

Si $x=0$ , entonces $y=x$ implica que $y=0$ .
Si $x=1$ , entonces $y=x$ implica que $y=1$ .
Si $x=2$ , entonces $y=x$ implica que $y=2$ .
Si $x=-1$ , entonces $y=x$ implica que $y=-1$ .
Si $x=-2$ , entonces $y=x$ implica que $y=-2$ .

A partir de estos valores, podemos definir una tabla de valores que nos permitirá ubicar cada par ordenado en el plano cartesiano. Notando que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva pues son infinitos, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

Recta Identidad Función Identidad Función Afín | totumat.com

Diremos que graficar es dibujar la representación gráfica de un conjunto en el plano cartesiano.

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A partir de la Recta Identidad, podemos definir conjunto haciendo pequeñas variaciones sobre ella, ya sea sumando números a la variable o multiplicando la variable.

Traslación de rectas

Ejemplo 1

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 2

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al sumar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; en cambio, al restar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia arriba.
Si $a<0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia abajo.

Inclinación de rectas

Ejemplo 3

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=2x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 4

El conjunto $\{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al multiplicar la variable por $2$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido antihorario; en cambio, al multiplicar la variable por $\frac{1}{2}$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido horario.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
Si $0<a<1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.

Reflexión de rectas

Ejemplo 5

El conjunto $\{ (x,y) : y = -x, x \in R \}$ podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Notamos que al multiplicar por $-1$ , hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba.

En general, si $a>0$ , entonces un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}$ representa a la recta $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ reflejada respecto al Eje X.

La Ecuación Canónica de la Recta

Hemos visto que al sumar un número a la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando su posición, y por otra parte, al multiplicar la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando el ángulo de inclinación.

Dicho esto, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

$\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}$

Donde $m$ será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta y; $b$ es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define y las denotaremos con la letra $l$ (por la palabra line en inglés). Por lo tanto, podemos escribir una recta de la siguiente forma:

$l : y=m \cdot x + b$

A esta ecuación se le conoce como La Ecuación Canónica de la Recta, aunque en algunos libros de texto también se conoce como la ecuación pendiente-ordenada o pendiente-intercepto.

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.

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