Funciones Reales

26.12.201923.03.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Qué es una función?

Las funciones constituyen un importante elemento de las matemáticas pues a través de ellas se pueden definir relaciones entre cualquier tipo de conjuntos ricas en propiedades. Veremos cuales son las funciones más básicas que podemos definir sentándonos en los números reales, sin embargo, el universo de funciones va mucho más allá.

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Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , definimos una función que va desde el conjunto $A$ hasta el conjunto $B$ como una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento del conjunto $A$ con un único elemento de $B$ . Al conjunto $A$ lo llamaremos conjunto de salida y al conjunto $B$ lo llamaremos conjunto de llegada.

Usualmente denotaremos a las funciones con la letra $f$ , entonces una función que va de $A$ en $B$ se denota como

$f: A \longrightarrow B$

y formalmente diremos que corresponde a cada elemento $a \in A$ con un único elemento $b \in B$ . Consideremos algunos ejemplos para entender mejor este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A=\{ 1, 2 \}$ y $B=\{ a, b \}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow b$

Esta regla de correspondencia sí determina una función, ya que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A=\{ 1, 2, 3 \}$ y $B=\{ a, b, c, d \}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow b$
$3 \rightarrow c$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que al elemento $d \in B$ no lo hemos correspondido con ningún elemento, se mantiene el hecho de que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A={ 1, 2, 3 }$ y $B={ a, b, c }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow a$
$3 \rightarrow b$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que los elementos $1 \in A$ y $2 \in A$ los hemos correspondido con el mismo elemento $a \in B$ , se mantiene el hecho de que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

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Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función

Sean $A={ 1, 2, 3 }$ y $B={ a, b, c }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$1 \rightarrow b$
$2 \rightarrow b$
$3 \rightarrow c$

Esta regla de correspondencia no determina una función. Pues podemos notar inmediatamente que al elemento $1 \in A$ no lo hemos correspondido con un único elemento de $B$ si no con dos elementos, que en este caso son $a,b \in B$ .

Ejemplo 5: Regla general para una función particular

Sean $A=\mathbb{N}$ y $B={ 1 }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow 1$
$2 \rightarrow 1$
$3 \rightarrow 1$
$4 \rightarrow 1$
$\vdots$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Sin embargo, aunque podemos hacernos una idea de todas las correspondencias que ésta hace, no podemos listarlas todas de forma exhaustiva.

Es por esto que podemos decir que en general, para cualquier elemento $n \in \mathbb{N}$ , podemos definir esta regla de correspondencia así:

$n \rightarrow 1$

Ejemplo 6: Notación de función

Formalmente, si correspondemos a un elemento $a \in A$ con un único elemento $b \in B$ , la notación para definir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos a través de una función $f$ es la siguiente:

$f(a) = b$
Esta expresión se lee f de a es igual b.

Entonces en nuestro último ejemplo, podemos definir la función de la siguiente forma:

$f: \mathbb{N} \longrightarrow { 1 }, \ f(n) = 1$

Ejemplo 7: Notación de función

Sean $A=\mathbb{N}$ y $B=\mathbb{N}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$f(n) = n$

Esta regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con él mismo, sí determina una función.

Dominio de una función

Definimos el dominio de una función $f: A \rightarrow B$ como el conjunto de elementos donde ella está definida y lo denotamos como $Dom(f)$ .

Es importante notar que el dominio de la función $f$ es exactamente igual al conjunto de salida, es decir, el conjunto $A$ .

Rango de una función

Si $a$ es un elemento del dominio de la función $f$ , diremos que $f(a)$ es la imagen de $a$ a través de la función $f$ .

Definimos el rango de la función $f: A \rightarrow B$ como el conjunto de todas las imágenes del conjunto $A$ a través de la función $f$ y lo denotamos como $Rgo(f)$ .

Es importante notar que el rango de la función $f$ está contenido en el conjunto de llegada, es decir, el conjunto $B$ .

Funciones Reales

Definiremos las funciones reales como aquellas funciones cuyo conjunto de salida es el conjunto de los números reales y el conjunto de llegada es el conjunto de los números reales, es decir, definidas como

$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$

Si consideramos la variable $y=f(x)$ . Se llama a la variable $x$ como variable independiente y a la variable $y$ como variable dependiente. Esto se debe a que los valores que tendrá la expresión que define a $y=f(x)$ depende enteramente de la variable $x$ . La expresión $f(x)$ se lee f de x.

A partir de las variable independiente $x$ y la variable dependiente $y$ , podemos definir pares ordenados y así, expresar a las funciones reales con subconjuntos en el Plano Cartesiano, de la siguiente forma:

$\left\{ \big( x , y \big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: y = f(x) \right\}$

Definiendo la regla general de correspondencia de una función, podemos indicar con claridad qué valores son los que estamos correspondiendo evaluando la función, es decir, sustituyendo el valor de la variable independiente por un número real dado y así determinar el valor de la variable dependiente con quien ha sido correspondido.

Veamos en los siguientes ejemplos como evaluar funciones en un número real.

Ejemplos: evaluación de funciones

Ejemplo 8

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=x$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=2$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $2$ de la siguiente forma:

$f(2)=2$

Esto quiere decir que la función corresponde al número dos con el número dos.

Ejemplo 9

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=-x+3$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=5$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $5$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(5)= -(5)+3 = -2$

Esto quiere decir que la función corresponde al número cinco con el número menos dos.

Ejemplo 10

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=x^2 + 6$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=-1$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $-1$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(-1)= (-1)^2+6 = 1+6 = 7$

Esto quiere decir que la función corresponde al número menos uno con el número siete.

Ejemplo 11

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=\sqrt{x} - 8$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=9$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $9$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(9)= \sqrt{9} - 8 = 3-8 = -5$

Esto quiere decir que la función corresponde al número nueve con el número menos cinco.

Punto de Intersección entre dos rectas | totumat.com

El Punto de Intersección entre dos rectas

23.12.201905.06.2024 Anthonny Arias-García8 comentarios

Si dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos rectas es el punto donde ellas dos son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ y = m_1 x + b_1$

$l_2 : \ y = m_2 x + b_2$

El punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no indagaremos sobre este tema pues notando que las rectas están expresadas de la forma pendiente ordenada, simplemente igualaremos las expresiones que las definen para posteriormente calcular el valor de las incógnitas.

Veamos con algunos ejemplos como calcular el punto de intersección entre dos rectas utilizando esta técnica.

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = 3x-3$ y $l_2 : y = -x + 1$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = 3x-3$
$l_2 : \ y = -x + 1$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$3x-3 = -x + 1$

$\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3$

$\Rightarrow \ 4x = 4$

$\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}$

$\Rightarrow \ x = 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $y$ . Sustituyamos el valor de $x=1$ en $l_1$ :

$y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0$

Notemos que si sustituimos el valor de $x=1$ en la recta $l_2$ , obtenemos el mismo valor para $y$ :

$y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = (1,0)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 2

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -4x-2$ y $l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = -4x-2$
$l_2 : \ y = \frac{1}{4}x + 3$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3$

$\Rightarrow \ -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2$

$\Rightarrow \ -\frac{17}{4}x = 5$

$\Rightarrow \ x = -\frac{20}{17}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=-\frac{20}{17}$ . Sustituyamos este valor en $l_1$ :

$y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow \ y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow \ y = \frac{46}{17}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 3

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = x+5$ y $l_2 : y = 2$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta horizontal, simplemente sustituimos el valor de $y$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $x$ . Entonces, si $y=2$ tenemos que

$2 = x+5 \Rightarrow \ -x = 5-2 \Rightarrow \ -x = 3 \Rightarrow \ x = -3$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -3 , 2 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 4

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2$ y $l_2 : x = -1$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta vertical, simplemente sustituimos el valor de $x$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $y$ . Entonces, si $x=-1$ tenemos que

$y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow \ y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow \ y = \frac{11}{5}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 5

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -3$ y $l_2 : x = 4$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_1$ una recta horizontal y $l_2$ una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de intersección entre ellas dos es $(4,-3)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

Hemos visto los casos de intersecciones donde las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$
$l_2 : \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

Nuevamente, el punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Sin embargo, la forma de abordar este tipo de casos es ligeramente diferente a caso pendiente-ordenada.

En estos casos no tiene sentido igualar la dos expresiones que definen las rectas, así que la técnica para hallar la solución consiste en efectuar operaciones entre ambas ecuaciones para anular una de las dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones.

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$ y $l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 2 x + 2 y - 1 = 0$
$l_2 : \ - 2 x + y + 4 = 0$

En este caso particular, podemos notar que en una ecuación está la expresión $2x$ y en la otra, la expresión $-2x$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $y$ , y así obtener el valor $y_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x + 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y = -3$

$\Rightarrow \ y = -\frac{3}{3}$

$\Rightarrow \ y = - 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y=-1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y=-1$ en $l_1$ :

$2 x + 2 (-1) - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 2 - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 3 = 0$

$\Rightarrow \ 2x = 3$

$\Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 7

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$ y $l_2 : x + y - 2 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ x + y - 2 = 0$

En el caso anterior pudimos anular con relativa sencillez la variable $x$ pero en este caso particular, podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por $5$ obtenemos

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ 5x + 5y - 10 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $-5y$ y en la otra, la expresión $5y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$8x + 0y - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8x - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8y = 8$

$\Rightarrow \ y = \frac{8}{8}$

$\Rightarrow \ y = 1$

$3 (1) - 5 y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ 3 - 5y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ -5x + 5 = 0$

$\Rightarrow \ -5x = -5$

$\Rightarrow \ x = \frac{-5}{-5}$

$\Rightarrow \ x = 1$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( 1, 1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 8

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0$ y $l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 6 x - 5 y + 4 = 0$
$l_2 : \ 4 x + 3 y - 5 = 0$

En este caso debemos notar que las variables están acompañadas por distintos coeficientes, así que no basta con multiplicar sólo una ecuación para anular términos. Debemos entonces, multiplicar ambas ecuaciones por números que nos ayuden a anular sumandos. Multipliquemos la primera ecuación por $4$ y la segunda ecuación por $-6$ .

$l_1 : \ 24 x - 20 y + 16 = 0$
$l_2 : \ -24 x - 18 y + 30 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $24x$ y en la otra, la expresión $-24y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x - 38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y = -36$

$\Rightarrow \ y = \frac{38}{36}$

$\Rightarrow \ y = \frac{19}{18}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y = \frac{19}{18}$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y = \frac{19}{18}$ en $l_2$ :

$4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x - \frac{11}{6} = 0$

$\Rightarrow \ 4 x = \frac{11}{6}$

$\Rightarrow \ x = \frac{11}{24}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Rectas paralelas, rectas secantes y rectas perpendiculares

22.12.201922.03.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

Al considerar dos rectas $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ podemos establecer dos tipos de interacciones entre ellas, recordando que las rectas en realidad definen conjuntos en el plano cartesiano, consideremos los dos casos posibles.

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Rectas Paralelas

En términos de conjuntos, diremos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es el conjunto vacío.

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir,

$m_1 = m_2$ .

Gráficamente, diremos que dos rectas son paralelas si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas paralelas | totumat.com — dos rectas que nunca se encuentran

Rectas que se cortan (secantes)

En términos de conjuntos, diremos que dos rectas se intersectan o son secantes si tienen exactamente un elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es un solo punto (en algunos textos se dice intersecan, sin embargo, al hablar de las rectas como de conjuntos usaremos la palabra intersectan).

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que se intersectan si sus pendientes son diferentes, es decir,

$m_1 \neq m_2$

Gráficamente, diremos que dos rectas se intersectan en un solo punto si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas que se cortan en un solo punto | totumat.com

Rectas Perpendiculares

Más aún, diremos que si dos rectas que se intersectan, estas son perpendiculares si forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Analíticamente, si consideramos dos rectas definidas por las siguientes ecuaciones: $l_1 : y = m_1 x + b_1$ y $l_2 : y = m_2 x + b_2$ , diremos que son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a $-1$ , es decir,

$m_1 \cdot m_2 = -1$

Gráficamente, diremos que dos rectas que se intersectan en un solo punto, son perpendiculares, si describen el siguiente comportamiento:

Dos rectas perpendiculares | totumat.com

Considerando este tipo de interacciones, veamos algunos ejemplos en los que la información de una recta puede ser usada para calcular la ecuación de otra sabiendo cómo se relacionan estas dos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (1,4)$ y es paralela al la recta $l_2 : y = -2x -2$

Al observar la ecuación de la recta $l_1$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = -2$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas paralelas, la pendiente $m_1 = m_2 = -2$ .

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,4)$ y tiene pendiente $m_1 = -2$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - 4) = -2 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 4 = -2x - 1$
$\Rightarrow \ y = -2x + 3$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -2x + 3$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -2(0) + 3 \Rightarrow \ y = 3$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,3)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -2x + 3 \Rightarrow \ 2x = 3 \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{3}{2},0 \right)$

Rectas paralelas y rectas que se cortan | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta $l_1$ que pasa por el punto $P_0 = (2,-3)$ y es perpendicular a la recta $l_2 : y = 3x + 1$

Al observar la ecuación de la recta $l_2$ podemos identificar inmediatamente su pendiente que es $m_2 = 3$ , entonces, al ser $l_1$ y $l_2$ rectas perpendiculares, tenemos que el producto de las pendientes $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Sabiendo esto, despejamos la pendiente que estamos buscando:

$m_1 \cdot 3 = -1 \Rightarrow \ m_1 = -\frac{1}{3}$

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2,-3)$ y tiene pendiente $m_1 = 3$ .

$(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)$
$\Rightarrow \ (y - (-3)) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$
$\Rightarrow \ y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
$\Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta $l_1$ es $y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}(0) - \frac{7}{3} \Rightarrow \ y = - \frac{7}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0 , - \frac{7}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} \Rightarrow \ \frac{1}{3}x = - \frac{7}{3} \Rightarrow \ x = - 7$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -7 , 0 \right)$

La Ecuación General de la Recta

19.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

Al definir las rectas, hemos dicho que la ecuación canónica de la recta permite expresar de forma analítica, cualquier recta en el plano cartesiano, sin embargo, hay un tipo de rectas que no se puede expresar de esta forma.

Para entender esto, veamos la ecuación punto-punto y estudiemos dos casos que nos interesarán de forma particular. Si consideramos dos puntos en el plano cartesiano, digamos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , dependiendo de los valores de valores que estos tengan en el Eje X y eje Y, se pudieran presentar los siguientes casos:

Si $y_2 = y_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{0}{r}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.
Si $x_2 = x_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{r}{0}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.

De esta forma, podemos notar que en el primer caso, la pendiente es nula y; en el segundo caso, la pendiente no está definida, pues la división entre cero no está definida. Entonces, ¿cómo definimos las rectas que pasan a través de estos puntos?

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La Ecuación General de la Recta

Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar de forma general, todas las rectas en el plano cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como una ecuación explícita, sino como una ecuación implícita. Es decir, no como una variable ( $y$ ) que depende explícitamente de otra variable ( $x$ ), sino como una relación entre ambas variables.

Entonces, si $a$ , $b$ y $c$ son números reales tal que $a$ y $b$ no son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables $x$ y $y$ a través de una igualdad de la siguiente forma:

$ax + by + c = 0$

De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

Si $a = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $y=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si $b = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $x=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X y su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (1,2)$ y $P_2 = (-3,2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{2 - 2}{-3 - 1}$
$= \frac{0}{-4}$
$= 0$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$
$\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 2 = 0$
$\Rightarrow \ y = 2$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 2$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(x,2)$ .

Ejemplo 2

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-1,5)$ y $P_2 = (-1,-2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es $-1$ . Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}$
$= \frac{-7}{0}$

La división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
$\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)$
$\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))$
$\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )$
$\Rightarrow \ x + 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = - 1$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $x = -1$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(-1,y)$ .

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente trazar la recta que pasa a través de estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos cómo hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $x + y - 1 = 0$ .

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ y = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,1)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(1,0)$

Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $2x - 3y + 4 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0$
$\Rightarrow \ -3y = -4$
$\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}$
$\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, \frac{4}{3} \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0$
$\Rightarrow \ 2x = -4$
$\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}$
$\Rightarrow \ x = -2$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(-2,0)$

Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $5x - y - 1 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ - y = 1$
$\Rightarrow \ y = - 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, -1 \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ 5x = 1$
$\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{1}{5} , 0 \right)$

Ecuación Punto-Punto

18.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

La fórmula de la Ecuación Punto-Punto
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al considerar un punto adicional, a través de ambos puntos punto, sólo pasará una única recta. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable $y$ en relación a la variable $x$ .

Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en $y$ entre el incremento en $x$ y para esto usamos la siguiente fórmula:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ planteando la siguiente fórmula:

$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$
ó
$\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)$

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con dos puntos de ella.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (2,2)$ y $P_2 = (3,3)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{3 - 2}{3 - 2}$

$= \dfrac{1}{1}$

$= 1$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y - 2 = x - 2$

$\Rightarrow \ y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-4,1)$ y $P_2 = (3,-1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{-1 - 1}{3 - (-4)}$

$= \dfrac{-2}{7}$

$= -\dfrac{2}{7}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_2$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$

$\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 3)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7}$

$\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) - \frac{1}{7} \Rightarrow \ y = -\frac{1}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,-\frac{1}{7} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = -\frac{1}{7} \Rightarrow \ x = -\frac{1}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{1}{2} , 0 \right)$

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-2,-2)$ y $P_2 = (5,1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{5 - (-2)}{1 - (-2)}$

$= \dfrac{7}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}$

$\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = \frac{7}{3} (0) + \frac{8}{3} \Rightarrow \ y = \frac{8}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,\frac{8}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} \Rightarrow \ -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3} \Rightarrow \ x = -\frac{8}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{8}{7} , 0 \right)$

¿Qué es una función?

Ejemplos

Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función

Ejemplo 5: Regla general para una función particular

Ejemplo 6: Notación de función

Ejemplo 7: Notación de función

Dominio de una función

Rango de una función

Funciones Reales

Ejemplos: evaluación de funciones

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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Rectas Paralelas

Rectas que se cortan (secantes)

Rectas Perpendiculares

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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La Ecuación General de la Recta

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Ejemplos

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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