Categoría: Matemáticas

Grado de una función

Anthonny Arias-García4 comentarios
  1. El grado de un polinomio
  2. El grado de una función algebraicas
  3. El grado de una función trascendente
  4. El grado de operaciones entre funciones
  5. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3
    4. Ejemplo 4
    5. Ejemplo 5
    6. Ejemplo 6
    7. Ejemplo 7
    8. Ejemplo 8

El grado de un polinomio

Habiendo definido los polinomios, es posible definir funciones a partir de ellos. Formalmente, definimos una función polinómica como una función P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} de la siguiente forma:

\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}

A los números a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n los llamaremos coeficientes del polinomio, a_n será el coeficiente principal y a_0 será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica P(x) como el mayor exponente n involucrado. En algunos textos se denota con la expresión gr(P), d(P) ó deg(P).

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable x y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

También pudiera interesarte

El grado de una función algebraicas

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Entonces, diremos que su grado es \frac{1}{n}. Más aún, si P(x) es una función algebraica de grado m entonces si consideramos la función

f(x) = \sqrt[n]{P(x)}

Entonces el grado de la función f(x) es igual a \frac{m}{n}.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

El grado de una función trascendente

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier función algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, con m>n, entonces el grado de f(x) \pm g(x) es igual a m.

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, entonces el grado de f(x) \cdot g(x) es igual a m + n.

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar f(x) una función de grado m y g(x) \neq 0 una función de grado n, entonces el grado de \frac{f(x)}{g(x)} es igual a m - n.

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplos

Ejemplo 1

El grado de la función f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 1 es igual a 3 pues el mayor grado involucrado.

Ejemplo 2

El grado de la función f(x) = \sqrt{x} + x - 8 es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 3

El grado de la función f(x) = \sqrt{x^3 + 2} - 3x - 8 es igual a \frac{3}{2} pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 4

El grado de la función f(x) = \frac{x}{3} + 6\ln(x) es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 5

El grado de la función f(x) = x^5 \cdot \sqrt[3]{x-7} + 9 es igual a \frac{8}{3} pues es la suma de los grados 5 + \frac{1}{3}

Ejemplo 6

El grado de la función f(x) = 2\text{\large e}^x \cdot x + x^2 -11 es exponencial pues al multiplicar cualquier función por la función exponencial, su grado sigue siendo exponencial.

Ejemplo 7

El grado de la función f(x) = \frac{x + 1}{x^3 - 2} + 13 es -2 pues es la resta de los grados 1-3

Ejemplo 8

El grado de la función f(x) = \frac{7}{x} + 9\ln(x) es logarítmico pues el grado de la primera función es -1 y el grado logarítmico es mayor que cualquier grado negativo.

Operaciones e Indeterminaciones en el infinito

Anthonny Arias-García1 comentario
  1. Suma
  2. Producto
  3. División
  4. Potencias
  5. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3
    4. Ejemplo 4
    5. Ejemplo 5
    6. Ejemplo 6

Así como hemos podido definir límites finitos de las operaciones básicas entre funciones separando los límites, también será posible definir las operaciones básicas entre límites infinitos teniendo algunas consideraciones. Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito; a(x) es una función que tiende a la constante a_0 \neq 0 cuando x tiende a infinito y b(x) es una función que tiende cero cuando x tiende a infinito; entonces veamos qué indeterminaciones conseguimos al considerar las siguientes operaciones:

También pudiera interesarte

Suma

Sumas, restas e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

La resta de infinitos está indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan el mismo número. También hay que considerar que hay funciones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

Productos e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

El producto de cero por infinito está indeterminado. Hay que considerar que hay funciones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

División

División e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

La división entre infinitos está indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan el mismo número. También hay que considerar que hay funciones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero está indeterminada pues se debe considerar que hay funciones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Potencias e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

La expresión uno a la infinito está indeterminada, la expresión infinito a la cero está indeterminada, la expresión cero a la infinito está indeterminada, intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función f(x) = x + 5, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} x + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 2

Considere la función f(x) = 3x^2 - 12, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} 3x^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 3

Considere la función f(x) = 4x^3 + 6(x-14)^2 + 9, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} 4x^3 + 6(x-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplo 4

Considere la función f(x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x} + 7, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{3}{x+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 5

Considere la función f(x) = \sqrt{x} + \frac{11}{4x} + \sqrt[5]{x+3}, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} + \frac{11}{4x} + \sqrt[5]{x+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 6

Considere la función f(x) = (x+2)^{x^2-6}, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} (x+2)^{x^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty

El Infinito | totumat.com

El Infinito

Anthonny Arias-García1 comentario
  1. Límite infinito con variable finita
  2. Límite finito con variable infinita
  3. Límite infinito con variable infinita

¡Imagine el número más grande del mundo!

El estudio del comportamiento de una función puede involucrar valores muy grandes, tanto para la función como para la variable involucrada. A continuación veremos con detenimiento los distintos casos que se pueden presentar al estudiar el comportamiento de funciones que involucran valores muy grandes.

También pudiera interesarte

Límite infinito con variable finita

Consideremos la función f(x) = \frac{1}{x}, si consideramos valores de x menores que 1, por ejemplo: \frac{1}{2}, su imagen será 2; \frac{1}{3}, su imagen será 3; \frac{1}{4}, su imagen será 4; y así sucesivamente notamos que a medida que nos vamos acercando al cero, las imágenes crecen cada vez más. Entonces nos preguntamos siguiendo esta idea: ¿Hacia donde tiende f(x) = \frac{1}{x} cuando x tiende a cero? La función alcanzará valores muy grandes que no pueden ser cuantificables, esta idea la denotamos con el infinito y la expresamos con el siguiente límite \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a más infinito cuando x tiende a x_0 se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces f(x) > \epsilon

Si consideramos ahora los valores de x mayores que -1, por ejemplo: -\frac{1}{2}, su imagen será -2; -\frac{1}{3}, su imagen será -3; -\frac{1}{4}, su imagen será -4; y así sucesivamente notamos que a medida que nos vamos acercando al cero, las imágenes decrecen cada vez más. La función alcanzará valores negativos muy grandes que no pueden ser cuantificables, esta idea la denotamos con el menos infinito y la expresamos con el siguiente límite \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a menos infinito cuando x tiende a x_0 se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces f(x) < -\epsilon

De forma general, diremos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a x_0 se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces |f(x)| > \epsilon

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Límite finito con variable infinita

Supongamos ahora que queremos estudiar el comportamiento de una función f(x) cuando la variable x adquiere valores muy altos. Supongamos que usted está en una fiesta de cumpleaños y que al final a usted le corresponde picar la torta (pastel): Si hay un sólo niño, le da toda la toda torta a ese niño; si hay dos niños, le da \frac{1}{2} de torta a cada niño; si hay tres niños, le da \frac{1}{3} de torta a cada niño; así sucesivamente. Notando que mientras más niños haya en la fiesta, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada uno, sin embargo, ningún niño se quedará sin torta.

Esta situación la podemos describir considerando la función f(x) = \frac{1}{x}, notando entonces que a medida que crece el valor de x, esta función decrece, es decir, la tendencia que tiene esta función es la de acercarse a cero. Tomando en cuenta que por más grande que sea el valor de x esta función nunca es igual a cero. Esta idea se expresa con el siguiente límite

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a un número real L cuando x tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to +\infty} f(x) = L

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x > \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

Si consideramos nuevamente la función f(x) = \frac{1}{x}, también notamos que a medida que crece el valor de x pero hacia los números negativos, la tendencia que tiene esta función es la de acercarse a cero. Tomando en cuenta que por más grande que sea el valor de x esta función nunca es igual a cero. Esta idea se expresa con el siguiente límite

\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a un número real L cuando x tiende a menos infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to -\infty} f(x) = L

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x < -\delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

De forma general, diremos que una función f(x) tiende a un número real L cuando x tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si |x| > \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Límite infinito con variable infinita

Consideremos la función identidad f(x)=1, esta función corresponde al 1 con el 1, al 2 con 2, al 3 con 3 y así sucesivamente identificará a cada número real con él mismo así que a medida que crece la variable x también crecerá la función. Particularmente, identificará un número muy grande con él mismo, Esta idea se expresa con el siguiente límite

\lim_{x \to +\infty} x = +\infty

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende más infinito cuando x tiende a más infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x > \delta entonces f(x) > \epsilon

Siguiendo esta idea, diremos que una función f(x) tiende menos infinito cuando x tiende a menos infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x < -\delta entonces f(x) < -\epsilon

De forma general, diremos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si |x| > \delta entonces |f(x)| > \epsilon

«Esta pizza tomará por siempre»

Límites Laterales

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Límite por la izquierda
  2. Límite por la derecha
  3. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

Al calcular el límite cuando la variable x tiende a un punto x_0, podemos encontrarnos con el hecho de que la variable no esté definida en todos los puntos alrededor de x_0 pues puede ocurrir que esté definida sólo para los valores mayores que x_0 o sólo para los valores menores que x_0. También puede ocurrir que esté definida de una forma de un lado y de otra forma del otro lado. Entonces, en ocasiones pudiera ser necesario especificar el cálculo de este tipo de límites. Considerando una función f(x), entonces

También pudiera interesarte

Límite por la izquierda

Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x_0 por la izquierda es igual a un número L, es el estudio del comportamiento de f(x) para valores de x mayores que x_0 y muy cercanos a x_0, concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de x están muy cercanos a L. Formalmente se representa así

\displaystyle \lim_{x \to x_0^{-}} f(x) = L

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si -\delta < x-x_0 < 0 entonces |f(x) - L| < \epsilon

Límite por la derecha

Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x_0 por la derecha es igual a un número L, es el estudio del comportamiento de f(x) para valores de x menores que x_0 y muy cercanos a x_0, concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de x están muy cercanos a L. Formalmente se representa así

\displaystyle \lim_{x \to x_0^{+}} f(x) = L

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < x-x_0 < \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

Hay que notar que x_0^- y x_0^+ son notaciones para indicar si se está calculando el límite por la izquierda o por la derecha, respectivamente. Así que hay que considerar estos signos que aparecen como un supra-índice no afectan el signo de la variable de ninguna forma.

El cálculo de este tipo de límites se efectúa de la misma forma en que hemos calculado los límites hasta ahora, simplemente sustituyendo el valor del límite. Considere entonces algunos ejemplos sencillos para dejar clara esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función f(x) = \sqrt{x}-3, calcule su límite cuando x tiende a 0.

Es importante notar que el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que cero, por lo tanto, no tiene sentido estudiar su comportamiento para los números menores que 0. Entonces, es necesario especificar que debemos calcular este límite cuando la variable x tiene de a 0 por la derecha:

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}-3 = \sqrt{0}-3 = 0-3 = -3

Ejemplo 2

Considere la función f: (2,10) \longrightarrow \mathbb{R} definida como

f(x) = \log_8(x-2) , calcule su límite cuando x tiende a 10.

Notemos que no tiene sentido estudiar su comportamiento para los números mayores que 10. Entonces, es necesario especificar que debemos calcular este límite cuando la variable x tiene de a 10 por la izquierda:

\lim_{x \to 10^-} \log_8(x-2) = \log_8(10-2) = \log_8(8) = 1

Ejemplo 3

Consideremos ahora una función definida por partes de la siguiente forma

calcule su límite cuando x tiende a -2 por la derecha.

Ya que la función tiene dos definiciones alrededor de 2 debemos tomar en cuenta esto antes de sustituir. Entonces, si consideramos

\lim_{x \to -2^+} f(x)

Debemos tomar en cuenta que al calcular el límite por la derecha, entonces estamos considerando los valores cercanos a -2 pero que además son mayores que -2 por lo tanto, la función está definida como por la expresión x+7, así

\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} x+7 = -2+7 = 5

Finalmente es importante mencionar, que el límite de una función f(x) cuando x tiende x_0 existe cuando sus límites laterales existen y son iguales, es decir, cuando


\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)


Y en este caso, diremos que el valor de \lim_{x \to x_0} f(x) será igual al valor de sus límites laterales.

Tabla de la Gráfica de las Funciones Elementales

Anthonny Arias-García4 comentarios

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. En este enlace puede descargar dicha lista en formato PDF para su impresión.

Gráfica de las funciones Algebraicas | totumat.com

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Gráfica de las funciones trascendentes o trascendentales y Gráfica de las funciones trigonométricas | totumat.com