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La Matriz Cuadrada

Dentro del conjunto de todas las matrices, encontraremos matrices con propiedades importantes. A continuación nos enfocaremos en un tipo de matrices con una cantidad de filas y columnas muy particular. Diremos que una matriz es una matriz cuadrada si esta tiene tiene la misma cantidad de filas que de columnas. Formalmente, diremos que una matriz $A$ es cuadrada si tiene $n$ filas y $n$ columnas, en este caso diremos que es de tamaño $n$ . Escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Las matrices cuadradas pueden tener distintos tamaños, veamos algunos ejemplos de matrices cuadradas para entender como se expresan.

Ejemplos

Ejemplo 1

La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño $2 \times 2$ , por lo tanto La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño dos.

Ejemplo 2

La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño $3 \times 3$ , por lo tanto La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño tres.

Ejemplo 3

La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño $4 \times 4$ , por lo tanto La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño cuatro.

Ejemplo 5

La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño $5 \times 5$ , por lo tanto La siguiente es una matriz cuadrada de tamaño cinco.

Transposición de matrices

19.06.202010.11.2020 Anthonny Arias-García5 comentarios

En ocasiones, es necesario cambiar las filas por columnas de una matriz y viceversa, para esto definimos la operación de transposición. Sea $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ decimos que la transposición de la matriz $A$ es una nueva matriz de tamaño $n \times m$ donde los elementos de la matriz $A$ que están en la posición $ij$ pasan a estar en la posición $ji$ , a esta nueva matriz se le llama $A$ transpuesta (o traspuesta) y la denotamos por $A^{T}$ o $A'$ . Formalmente,

$[A^{T}]_{ij} = A_{ji}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

La matriz transpuesta o traspuesta | totumat.com

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplos 17

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplos 18

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 1$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplo 19

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 2$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplo 20

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Producto entre Matrices

19.06.202019.06.2020 Anthonny Arias-García2 comentarios

Sean $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ y $B$ una matriz de tamaño $n \times p$ , definimos el producto $A \times B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido el «producto» de la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}$

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz $A$ debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz $B$ y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz B, de tamaño, $2 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$. Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento $[A \times B]_{11}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{12}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $2$ .

El elemento $[A \times B]_{21}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{22}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $2$ .

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 2$ y la matriz $B$ , de tamaño, $2 \times 1$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 15

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $1 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 16

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Nota: Si podemos multiplicar $A \times B$ , no necesariamente podemos multiplicar $B \times A$ , esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.

Multiplicación de una matriz por un escalar

19.06.202007.12.2022 Anthonny Arias-García5 comentarios

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar $k$ por una matriz $A$ , como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar $k$ por el elemento $ij$ de la matriz $A$ . Formalmente,

$[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ calcule el producto por el escalar $4$ .

Ejemplo 2

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 1$ calcule el producto por el escalar $-4$ .

Ejemplo 3

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 2$ calcule el producto por el escalar $7$ .

Ejemplo 4

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ calcule el producto por el escalar $9$ .

Ejemplo 5

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ calcule el producto por el escalar $\frac{3}{4}$ .

Pero notamos que varias de las fracciones involucradas en la matriz se pueden reducir, de esta forma, obtenemos

Resta de Matrices

19.06.202019.06.2020 Anthonny Arias-García1 comentario

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la resta $A-B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento $ij$ de la matriz $A$ menos el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,