Funciones Algebraicas

23.06.202012.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Consideremos todas las funciones que se pueden expresar de forma general como $f(x) = x^q$ , con $q \in \mathbb{Q}$ . A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

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Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En ocasiones denotaremos esta función con la letra $I$ , de la siguiente forma $I(x)=x$ .

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [0,+\infty]$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

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Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la $x$ -ésima parte de $1$ , imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre $x$ personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño $\frac{1}{x}$ . Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-{0}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido decrecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función $\frac{1}{x^2}$ , es muy parecida a la función $\frac{1}{x}$ , salvo que esta es positiva cuando los valores de $x$ son negativos y además. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-{0}$

$Rgo(f) = (0,\infty)$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido decrecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número $x$ se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt{x}$ . Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = [0,+\infty)$

$Rgo(f) = [0,+\infty)$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número $x$ se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt[3]{x}$ . Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Determinantes – Método de Sarrus

21.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-García2 comentarios

El Método de Sarrus
1. Ejemplos

Al calcular determinantes, podemos notar que si expandimos todos productos cuando aplicamos el Método de Laplace, podemos reordenar los sumandos y establecer un método que nos permita recordar con facilidad la forma en que calculamos determinantes. Consideremos el siguiente determinante de una matriz $A$ y veamos los pasos para calcularlo.

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El Método de Sarrus

Primero añadimos dos columnas adicionales que sean iguales a las primeras dos columnas de la matriz original.

Para cada diagonal azul, multiplicamos los elementos que esta contiene.

$a_{11} a_{22} a_{33} \text{, } a_{12} a_{23} a_{31} \text{ y } a_{13} a_{21} a_{32}$

Para cada diagonal roja, multiplicamos los elementos que esta contiene.

$a_{13} a_{22} a_{31} \text{, } a_{11} a_{23} a_{32} \text{ y } a_{12} a_{21} a_{33}$

Finalmente, para calcular el determinante, sumamos todos los productos generados por las diagonales azules y restamos todos los productos generados por las diagonales rojas:

$a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33})$

Este método es llamado Método de Sarrus y vulgarmente se conoce como el Método de La Lluvia a partir de una regla mnemotécnica pues las rayas que se trazan como guía para hacer los productos correspondientes se asemejan a la lluvia. Veamos con algunos ejemplos cómo aplicar este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( -40 ) + ( 175 ) + ( -64 ) - ( 100 ) - ( -40 ) - ( -112 )$

$= 123$

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 216 ) + ( 90 ) + ( -72 ) - ( -48 ) - ( 72 ) - ( 405 )$

$= -195$

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 36 ) + ( -216 ) + ( 150 ) - ( 45 ) - ( -216 ) - ( 120 )$

$= 21$

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 48 ) + ( 49 ) + ( -162 ) - ( 18 ) - ( 126 ) - ( -168 )$

$= -41$

Determinantes – Método de Laplace

20.06.202020.02.2025 Anthonny Arias-García3 comentarios

El Método de Laplace
1. Ejemplos

Habiendo definido los cofactores de una matriz, podemos establecer un método que nos permite calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada de tamaño $n$ .

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El Método de Laplace

Al considerar una columna $j$ , el Método de Laplace indica que el determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot c(a_{ij})$

En otras palabras, debemos escoger una columna, multiplicar cada elemento de la columna por su cofactor y sumar estos productos. Veamos el caso para una matriz cuadrada $A$ de tamaño tres para tener esta idea más clara, formalmente,

Podemos calcular su determinante escogiendo la primera columna y plantear la siguiente suma:

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Podemos calcular su determinante escogiendo la segunda columna y plantear la siguiente suma:

Podemos calcular su determinante escogiendo la tercera columna y plantear la siguiente suma:

Veamos entonces, con algunos ejemplos como calcular determinantes de matrices cuadradas de tamaño tres.