A menudo, en las matemáticas, es necesario proceder paso a paso, contando detalladamente lo que ocurre en cada paso. Es por esto que definimos las sucesiones, pues tomando en cuenta que el conjunto de los números naturales es un conjunto contable, podemos establecer una relación entre estos y cualquier conjunto para estudiar su comportamiento.

Las sucesiones sientan una base para el cálculo infinitesimal y además, permiten, estudiar fenómenos en distintos ámbitos de las ciencias básicas y ciencias sociales.

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Definición de Sucesión

Definimos una sucesión de números reales como una regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con un único número real, es decir, una sucesión es una función que parte de desde $\mathbb{N}$ y llega hasta $\mathbb{R}$ , entonces, si $a$ es una sucesión, tenemos que:

$a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}$

Al trabajar con sucesiones, la notación de función puede sobrecargar la nomenclatura, es por esto que la regla de correspondencia $a(n)$ para cada $n \in \mathbb{N}$ que define la sucesión usualmente se denota de la siguiente forma

$a_n$

De esta forma, podemos expresar a las sucesiones como conjuntos, ya sea de forma comprensiva, definiendo la regla general que define a todos los elementos del conjunto o de forma extensiva, nombrando todos sus elementos como veremos a continuación:

Aunque también se puede expresar de forma comprensiva usando las notaciones $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ o $(a_{n})$ .

Al ser las sucesiones representadas como conjuntos, llamaremos elemento a cada número real que la compone, sin embargo, para ser más específicos, al hacer referencia a la posición que cada elemento en el orden de la sucesión, se le llamará término.

Veamos en los siguientes ejemplos algunas de las sucesiones básicas. Como ejercicio mental para el lector, vea primero el conjunto que define la sucesión y piense cual es la regla general que la define.

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Ejemplos

Ejemplo 1: Sucesión Constante

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $1$ . De forma que

$a_1 = 1$
$a_2 = 1$
$a_3 = 1$
$a_4 = 1$
$a_5 = 1$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión constante uno y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 1$ .

De forma general, la sucesión $\{ c, c, c, c, c, c, \ldots \}$ definida por $a_{n} = c$ donde $c$ es un número real, será llamada sucesión constante $c$ .

Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo. De forma que

$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 = 3$
$a_4 = 4$
$a_5 = 5$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números naturales y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = n$ .

Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $1$ dividido el número natural correspondiente. De forma que

$a_1 = \frac{1}{1} = 1$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{1}{3}$
$a_4 = \frac{1}{4}$
$a_5 = \frac{1}{5}$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de proporcionalidad inversa y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = \frac{1}{n}$ .

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo dividido entre el número natural siguiente. De forma que

$a_1 = \frac{0}{1} = 0$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{3}{4}$
$a_4 = \frac{5}{6}$
$a_5 = \frac{7}{8}$
$\ldots$

La regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} =\frac{n}{n+1}$ .

Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares

Si consideramos la sucesión $\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos. De forma que

$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$
$a_4 = 2 \cdot 4 = 8$
$a_5 = 2 \cdot 5 = 10$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números pares y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 2n$

Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos menos uno, es decir, restando uno a cada número par. De forma que

$a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
$a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números impares y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 2n-1$

Ejemplo 7: Sucesión Alternante

Si consideramos la sucesión $\{ -1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $-1$ multiplicado por sí mismo la cantidad de veces correspondiente a dicho número natural. De forma que

$a_1 = (-1) = -1$
$a_2 = (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1$
$a_3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^3 = -1$
$a_4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1$
$a_5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^5 = -1$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión alternante y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = (-1)^{n}$

Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera definiendo los dos primeros elementos, y de ahí en adelante, sumamos los dos elementos anteriores. De forma que

$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8$
$a_7 = a_6 + a_5 = 8 + 5 = 13$
$a_8 = a_7 + a_6 = 13 + 8 = 21$

Esta sucesión es conocida como la Sucesión de Fibonacci y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ .

De forma general, todas aquellas sucesiones tales que su n-ésimo término es define a partir de términos anteriores, son conocidas como sucesiones recursivas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ un conjunto de $n$ incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

$\Delta = |A|$

Si $\Delta \neq 0$ , podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos $\Delta_{x_1}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz $C$ , es decir,

Definimos $\Delta_{x_2}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz $C$ , es decir,

Continuando así, definimos $\Delta_{x_j}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Finalmente, definimos $\Delta_{x_n}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

$x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.$

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}$

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}$

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}$

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}$

Sistemas de Ecuaciones Lineales

30.07.202012.04.2026 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma $ax + by + c = 0$ y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de $x$ y $y$ que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices $A$ , $X$ y $C$ ; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz $A$ es una matriz cuadrada y si esta es una matriz no-singular, es decir, si $|A| \neq 0$ . Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.

Cálculo de Matriz Inversa – Regla de Cramer

27.06.202005.04.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Pasos para calcular de Matriz Inversa
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular $A$ , por ahora veremos solo uno de ellos.

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Pasos para calcular de Matriz Inversa

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz $A$ :

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que

$|A| \neq 0$

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz $A$ y con ellos, construimos la matriz de cofactores $C(A)$ . Es decir, una matriz tal que,

$[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})$

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de $A$ , la denotamos por

$adj(A)$

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz $A$ como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de $A$ . Es decir,

$A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}$

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

$A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Cálculo de Matriz Inversa - Regla Cramer | totumat.com

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 2

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 3

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 4

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

La Matriz Inversa

26.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-García4 comentarios

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  1. Ejemplo 1
  2. Ejemplo 2

Hemos definido operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices, sin embargo, ¿existirá la división entre matrices? Así como hemos definido el inverso multiplicativo en el conjunto de los número reales, para algunas matrices, es posible definir una nueva matriz que cumple con las propiedades del inverso multiplicativo.

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Si consideramos una matriz cuadrada $A$ , diremos que esta es una matriz singular si su determinante es exactamente igual a cero, es decir, $|A| = 0$ . Por otra parte, diremos que es una matriz no-singular si su determinante es distinto de cero, es decir, $A \neq 0$ .

Si consideramos $A$ una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de $A$ como una nueva matriz $A^{-1}$ que cumple con la siguiente condición:

$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}$

De cumplirse esta condición, también podemos decir que $A$ es una matriz invertible. Veamos algunos ejemplos de matrices invertibles de tamaño dos por dos para ver con claridad los cálculos involucrados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz $A^{-1}$ , de tamaño, $2 \times 2$ . Verifique que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_2$ .

Calculamos $A \times A^{-1}$ .

Calculamos $A^{-1} \times A$ .

Ejemplo 2

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz $A^{-1}$ , de tamaño, $2 \times 2$ . Verifique que $A \times A^{-1} = A \times A^{-1} = \mathbf{I}_2$ .

Calculamos $A \times A^{-1}$ .

Calculamos $A^{-1} \times A$ .

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Categoría: Matemáticas

Sucesiones

Definición de Sucesión

Ejemplos

Ejemplo 1: Sucesión Constante

Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales

Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa

Ejemplo 4

Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares

Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

Ejemplo 7: Sucesión Alternante

Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

Ejemplos

Ejemplo 1

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Pasos para calcular de Matriz Inversa

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La Matriz Inversa

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Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

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