Categoría: Matemáticas

Temas de matemáticas desarrollados en Español.

Límite de una Sucesión

Anthonny Arias-García1 comentario
  1. Convergencia y Divergencia de Sucesiones
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4
  2. Operaciones entre límites
    1. Suma
    2. Producto
    3. División
    4. Potencias
    5. Ejemplos
      1. Ejemplo 5
      2. Ejemplo 6
      3. Ejemplo 7
      4. Ejemplo 8
      5. Ejemplo 9
      6. Ejemplo 10

Al estudiar el comportamiento de diversas sucesiones, notaremos que existen sucesiones cuyos elementos parecieran acumularse alrededor de un solo punto a medida que crece el valor de n y es posible definir formalmente este comportamiento.

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Convergencia y Divergencia de Sucesiones

Diremos que una sucesión a_n es convergente, e incluso siendo más específicos, diremos que una sucesión converge hacia un número real L, si

Para todo número \varepsilon > 0, existe un número n_0 tal que si n > n_0 entonces |a_n - L| < \varepsilon

En este caso, diremos que L es el límite de la sucesión a_n o que a_n tiende a L. Esta afirmación se puede escribir con notación matemática para mayor comodidad de la siguiente forma:

\lim \ a_n = L

En caso contrario, diremos que la sucesión es no-convergente, y más aún, en el caso que la sucesión crezca de forma indefinida, diremos que la sucesión es divergente y lo escribimos de la siguiente forma:

\lim \ a_n = \infty

Nuestro propósito será el de determinar el límite de sucesiones, veamos entonces el límite de algunas sucesiones cuyo límite surge de forma intuitiva a partir de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine el límite de la sucesión \{ 3 \}_{n}. Esta es una sucesión constante, así que

\lim \ 5 = 5

Ejemplo 2

Determine el límite de la sucesión \{ n \}_{n}. La sucesión de los números reales crece de forma indefinida por lo que está diverge, así que

\lim \ n = \infty

Ejemplo 3

Determine el límite de la sucesión \{ \frac{1}{n} \}_{n}. La sucesión de proporcionalidad inversa se acerca al cero a medida que crece el valor de n, así que

\lim \ \frac{1}{n} = 0

Ejemplo 4

Determine el límite de la sucesión \{ (-1)^n \}_{n}. Esta sucesión alternante no converge pues si consideramos los valores pares de n, la sucesión tiende a uno, por otra parte, si consideramos los valores impares de n, la sucesión tiende a menos uno, así que \lim \ (-1)^n no existe.

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Operaciones entre límites

Si bien en estos ejemplos consideramos sucesiones donde a simple vista podemos estudiar su límite, no siempre será así, por esto es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre sucesiones, podemos definir algunas propiedades. Formalmente, si \{ a_n \}_n y \{ b_n \}_n son dos sucesiones cuyos límites son L y M y, c es un número real, entonces

Si bien estas propiedades aligeran el cálculo de límites, estos cálculos no presentará dificultad alguna cuando las sucesiones involucradas son convergentes. Veamos una lista de propiedades para tomar en cuenta cuando alguna de las sucesiones involucradas es divergente.

Si \{ a_n \} y \{ b_n \} son dos sucesiones divergentes; \{ c_n \} y \{ d_n \} dos sucesiones que tienden a c_0 \neq 0 y a cero respectivamente; entonces consideremos las siguientes operaciones

Suma

La resta de infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

El producto de cero por infinito será indeterminado. Hay que considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

División

La división entre infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero será indeterminada pues se debe considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considere la sucesión \left\{ n + 5 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ n + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 6

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 3n^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 7

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 4n^3 + 6(n-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Ejemplo 8

Considere la sucesión \left\{ \frac{1}{n} - \frac{3}{n} + 7 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \frac{1}{n} - \frac{3}{n+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 9

Considere la sucesión \left\{ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 10

Considere la sucesión \left\{ (n+2)^{n^2-6} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ (n+2)^{n^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty

Supremo e Ínfimo de una sucesión

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Supremo de una Sucesión
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  2. Ínfimo de una Sucesión
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6

Al estudiar las cotas de una sucesión, existen elementos que acotan a la sucesión con mayor rigurosidad que cualquier otra cota, estos son conocidos como el ínfimo y el supremo, veamos como están definidos y como identificarlos.

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Supremo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada superiormente, diremos que el supremo de esta sucesión es la menor de las cotas superiores, o en otras palabras, es el mínimo del conjunto de todas sus cotas superiores. Formalmente, diremos que una cota superior C_0 es el supremo de una sucesión a_n, si C_0 \leq C para toda cota superior C de la sucesión a_n. Usualmente se denota con sup(a_n).

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} = \{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=-1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene máximo, sin embargo, sí tiene supremo pues toda sucesión acotada superiormente, tiene supremo. Lo hemos señalado con una línea roja.

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Ínfimo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada inferiormente, diremos que el ínfimo de esta sucesión es la mayor de las cotas inferiores, o en otras palabras, es el máximo del conjunto de todas sus cotas inferiores. Formalmente, diremos que una cota inferior $c_0$ es el ínfimo de una sucesión a_n, si $c_0 \geq r$ para toda cota inferior r de la sucesión a_n. Usualmente se denota con inf(a_n).

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=1, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=3, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=0, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene mínimo, sin embargo, sí tiene ínfimo pues toda sucesión acotada inferiormente, tiene ínfimo. Lo hemos señalado con una línea roja.

Máximo y Mínimo de una sucesión

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Máximo de una Sucesión
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  2. Mínimo de una Sucesión
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6

Al estudiar las cotas de una sucesión, estos números tenían la libertad de pertenecer o no a la sucesión. A continuación, estudiaremos dos elementos que acotan a la sucesión pero que además, deben estar dentro de la sucesión.

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Máximo de una Sucesión

Diremos que una sucesión tiene el elemento máximo si existe un elemento de la sucesión que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, diremos que M es el máximo de una sucesión a_n si M \in \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} y a_n \leq M para todo número natural n. En otras palabras, el máximo de la sucesión es una cota superior que está dentro de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos del máximo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}, tiene máximo, pues si consideramos M=-1, este valor es el elemento más grande de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, tiene máximo, pues si consideramos M=1, este valor es el elemento más grande de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión aunque pareciera acercarse a uno, no tiene máximo. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Lo que podemos notar es que aunque la sucesión es creciente, esta nunca alcanzará un punto máximo.

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Mínimo de una Sucesión

Diremos que una sucesión tiene el elemento mínimo si existe un elemento de la sucesión que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, diremos que m es el mínimo de una sucesión a_n si m \in \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} y a_n \geq m para todo número natural n. En otras palabras, el mínimo de la sucesión es una cota inferior que está dentro de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos del máximo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, tiene mínimo, pues si consideramos m=1, este valor es el elemento más pequeño de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica y señalemos con un punto rojo el elemento máximo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ 3 \right\}_{n} =\{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}, tiene mínimo, pues si consideramos m=3, este valor es el elemento más pequeño de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica y señalemos con un punto rojo el elemento máximo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión aunque pareciera acercarse a cero, no tiene mínimo. Veamos su comportamiento de forma gráfica para ilustrar esta idea:

Lo que podemos notar es que aunque la sucesión es decreciente, esta nunca alcanzará un punto mínimo.

Sucesiones Acotadas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Cotas Superiores
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  2. Cotas Inferiores
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6
  3. Sucesiones Acotadas

Otro aspecto importante en el estudio de las sucesiones es saber cuales son los elementos que las encajonan, ya que de esta forma, podemos establecer con más claridad el espacio donde estas se desarrollan.

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Cotas Superiores

Una cota superior (o elemento mayorante) de una sucesión es un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, C es una cota superior de una sucesión a_n si a_n \leq C para todo número natural n. Si una sucesión tiene una cota superior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada superiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}, esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos 1, 0, 9 o 3572; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que -1 es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos 3, 2, 14 o 1000; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que 1 es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos 2, 33, 97 o 751; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que 1 es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Cotas Inferiores

Una cota inferior (o elemento minorante) de una sucesión es un número real que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, c es una cota superior de una sucesión a_n si a_n \geq c para todo número natural n. Si una sucesión tiene una cota inferior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada inferiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos -1, 0, -34 o 0.5; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que 1 es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}, esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos 2, -839, 1.5 o -55; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que 3 es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos -2, -10, -7.98 o -457; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que 0 es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Sucesiones Acotadas

De forma general, diremos que una sucesión está acotada si está acotada tanto superior como inferiormente. Formalmente, diremos que una sucesión a_n está acotada si existe un par de números reales r y R tales que r \leq a_n \leq R para todo número natural n. Por ejemplo, si consideramos la sucesión \left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \} y vemos su comportamiento de forma gráfica:

Podemos notar que esta sucesión está acotada superiormente por cualquier número mayor que 1 y está acotada inferiormente por cualquier número menor que -1.

También hay sucesiones que no están acotadas (ni superior ni inferiormente), por ejemplo, si consideramos la sucesión \left\{ n(-1)^{n-1} \right\}_{n} = \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots\} y viendo su comportamiento de forma gráfica:

Es fácil notar que esta sucesión no está acotada.

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Comportamiento de una sucesión

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Sucesión Creciente
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  2. Sucesión Decreciente
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6
  3. Caso especial

Las sucesiones pierden sentido si no se comparan sus elementos entre sí, pues su importancia radica en el comportamiento que estas describen a medida que crece el número natural con el que es correspondido cada elemento. Veamos entonces cuales son los principales comportamientos que podemos encontrar al estudiar sucesiones.

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Sucesión Creciente

Diremos que una sucesión a_n es creciente si a medida que crece el valor de n, entonces crece su valor correspondiente. Formalmente, si a_i \leq a_j para todo par de números naturales i < j, y más aún, diremos que a_n es estrictamente creciente si a_i < a_j para todo par de números naturales i < j. Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \} , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ -2 \right\}_{n} =\{ -2, -2, -2, -2, -2, -2, \ldots \} , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Sucesión Decreciente

Diremos que una sucesión a_n es \textbf{decreciente} si a medida que crece el valor de n, entonces decrece su valor correspondiente. Formalmente, si a_i \leq a_j para todo par de números naturales i > j, y más aún, diremos que a_n es estrictamente creciente si a_i < a_j para todo par de números naturales i > j. Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \} , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\} , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} = \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \} , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Caso especial

Hay sucesiones que no son ni crecientes ni decrecientes, esto es lo que ocurre con los sucesiones alternantes, consideremos la sucesión \left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \} y veamos su comportamiento de forma gráfica: