Categoría: Matemáticas

La Ecuación de Oferta

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. La Curva de Oferta
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2

Suponga que usted es un productor de tomates y provee a un supermercado semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 200 Ps, considerando los costos de producción, le parece que este precio es generoso para usted por lo que decide proveer al supermercado con 40 kilos de tomate. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 100 Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide proveer al supermercado con 30 kilos de tomate.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los productores proveerán más unidades del artículo cuando el precio es alto y proveerán menos unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la oferta de un artículo.

Entonces, si bien podemos intuir que la oferta de un artículo aumenta a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable de esta relación.

La Curva de Oferta

Para esto, definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por la variable precio, denotada por p y la variable cantidad, denotada por q; para mantener la simplicidad de los modelos, consideraremos una economía simple, es decir, tal que las variables p y q sólo pueden tener valores positivos. De esta forma, nos ubicaremos sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Curva de Oferta | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la oferta y el precio de un artículo en un momento dado, podemos definir rectas que describen de forma general la oferta del artículo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la oferta semanal de zanahoria una pequeña tienda de verduras de la ciudad es de 10 kilos cuando el precio es de 20 Ps. por kilo, y de 7 kilos cuando el precio es de 15 Ps. por kilo. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la oferta? ¿Cuál será la cantidad ofertada si fija el precio en 17.5 Ps.?

Debemos considerar que si la oferta es de 10 kilos cuando el precio es de 20 Ps., podemos representar esta información como un punto (p,q) el plano cartesiano donde q=10 y p=20, es decir, el punto (10,20); de igual forma, si la oferta es de 7 kilos cuando el precio es de 15 Ps., podemos representar esta información con el punto (7,15).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (10,20) y P_2 = (7,15) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{15 - 20}{7 - 10}
= \ \frac{5}{3}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 20) = \frac{5}{3} \cdot (q - 10)
\Rightarrow \ p - 20 = \frac{5}{3} \cdot q - \frac{50}{3}
\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q - \frac{50}{3} + 20
\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de Oferta de zanahoria. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Curva de Oferta | totumat.com

Para determinar cual será la cantidad ofertada si se fija el precio en 17.5 Ps. debemos considerar la ecuación de oferta y sustituir el valor p= 17.5 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 17.5 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}
\Rightarrow \ -\frac{5}{3} \cdot q = -17.5 + \frac{10}{3}
\Rightarrow \ -\frac{5}{3} \cdot q = -\frac{85}{6}
\Rightarrow \ q = \frac{ \ -\frac{85}{6} \ }{ -\frac{5}{3}}
\Rightarrow \ q = \frac{17}{2}
\Rightarrow \ q = 8.5

Por lo tanto, la oferta de zanahoria será de 8,5 kilos semanales si se fija el precio en 17.5 Ps.

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Ejemplo 2

Suponga que la oferta mensual de zapatos para dama en una zapatería es de 120 pares cuando el precio es de 100 Ps. por par, y de 80 pares cuando el precio es de 65 Ps. por par. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la oferta? ¿Cuál será la cantidad ofertada si fija el precio en 90 Ps.?

Debemos considerar que si la oferta es de 120 pares cuando el precio es de 100 Ps., podemos representar esta información con el punto (120,100); de igual forma, si la oferta es de 80 pares cuando el precio es de 65 Ps., podemos representar esta información con el punto (80,65).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (120,100) y P_2 = (80,65) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{65 - 100}{80 - 120}
= \ \frac{7}{8}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 65) = \frac{7}{8} \cdot (q - 80)
\Rightarrow \ p - 65 = \frac{7}{8} \cdot q - 70
\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q -70 + 65
\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de Oferta de zapatos para dama. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Curva de Oferta | totumat.com

Para determinar cuál será la cantidad ofertada si se fija el precio en 90 Ps. debemos considerar la ecuación de oferta y sustituir el valor p = 90 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 90 = \frac{7}{8} \cdot q - 5
\Rightarrow \ -\frac{7}{8} \cdot q = -90 - 5
\Rightarrow \ -\frac{7}{8} \cdot q = -95
\Rightarrow \ q = \frac{ \ -95 \ }{-\frac{7}{8}}
\Rightarrow \ q = \frac{760}{7}
\Rightarrow \ q \approx 108.57

Por lo tanto, la oferta de zapatos para damas será de aproximadamente 109 pares mensuales si se fija el precio en 90 Ps.

Debemos notar que en ambos ejemplos, las rectas que definen la oferta tienen pendiente positiva y en consecuencia, son rectas crecientes. Entonces concluimos que de forma general, si m > 0, cualquier ecuación de oferta tiene la forma

p = m \cdot q + b

Ecuación de Demanda | totumat.com

La Ecuación de Demanda

Anthonny Arias-García18 comentarios
  1. La Curva de Demanda
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
  2. Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat
    1. Ejercicio 1
    2. Ejercicio 2

Suponga que usted va al supermercado a comprar víveres semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 200 Ps., le parece costoso pero decide llevar un kilo pues los necesita para cocinar. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 100 Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide llevar tres kilos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

También pudiera interesarte

Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los consumidores comprarán menos unidades del artículo cuando el precio es alto y comprarán más unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la demanda de un artículo.

Entonces, si bien podemos intuir que la demanda de un artículo disminuye a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable esta relación.

La Curva de Demanda

Para esto, definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por la variable precio, denotada por p y la variable cantidad, denotada por q; para mantener la simplicidad de los modelos, consideraremos una economía simple, es decir, tal que las variables p y q sólo pueden tener valores positivos. De esta forma, nos ubicaremos sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Curva de Demanda | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la demanda y el precio de un artículo en un momento determinado, podemos definir rectas que describen de forma general la demanda del artículo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda diaria de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad es de 1 kilo cuando el precio es de 20 Ps. por kilo, y de 4 kilos cuando el precio es de 15 Ps. por kilo. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la demanda? ¿Cuál será la cantidad demandada si fija el precio en 17.5 Ps.?

Debemos considerar que si la demanda es de 1 kilo cuando el precio es de 20 Ps., podemos representar esta información como un punto (p,q) el plano cartesiano donde q=1 y p=20, es decir, el punto (1,20); de igual forma, si la demanda es de 4 kilos cuando el precio es de 15 Ps., podemos representar esta información con el punto (4,15).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (1,20) y P_2 = (4,15) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{15 - 20}{4 - 1}
= \ -\frac{5}{3}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 20) = -\frac{5}{3} \cdot (q - 1)
\Rightarrow \ p - 20 = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{5}{3}
\Rightarrow \ p = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{5}{3} + 20
\Rightarrow \ p = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{65}{3}

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de Demanda de zanahoria. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Curva de Demanda | totumat.com

Para determinar cuál será la cantidad demandada si se fija el precio en 17.5 Ps. debemos considerar la ecuación de demanda y sustituir el valor p= 17.5 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 17.5 = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{65}{3}
\Rightarrow \ \frac{5}{3} \cdot q = -17.5 + \frac{65}{3}
\Rightarrow \ \frac{5}{3} \cdot q = \frac{25}{6}
\Rightarrow \ q = \frac{ \ \frac{25}{6} \ }{\frac{5}{3}}
\Rightarrow \ q = \frac{5}{2}
\Rightarrow \ q = 2.5

Por lo tanto, la demanda de zanahoria será de 2,5 kilos diarios si se fija el precio en 17.5 Ps.

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Ejemplo 2

Suponga que la demanda mensual de zapatos para dama en una zapatería es de 97 pares cuando el precio es de 100 Ps. por par, y de 141 pares cuando el precio es de 65 Ps. por par. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la demanda? ¿Cuál será la cantidad demandada si fija el precio en 90 Ps.?

Debemos considerar que si la demanda es de 97 pares cuando el precio es de 100 Ps., podemos representar esta información con el punto (97,100); de igual forma, si la demanda es de 141 pares cuando el precio es de 65 Ps., podemos representar esta información con el punto (141,65).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (97,100) y P_2 = (141,65) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{65 - 100}{141 - 97}
= \ -\frac{35}{44}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 65) = -\frac{35}{44} \cdot (q - 141)
\Rightarrow \ p - 65 = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{4935}{44}
\Rightarrow \ p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{4935}{44} + 65
\Rightarrow \ p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de Demanda de zapatos para dama. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

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Para determinar cual será la cantidad demandada si se fija el precio en 90 Ps. debemos considerar la ecuación de demanda y sustituir el valor p = 90 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 90 = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}
\Rightarrow \ \frac{35}{44} \cdot q = -90 + \frac{7795}{44}
\Rightarrow \ \frac{35}{44} \cdot q = \frac{3835}{44}
\Rightarrow \ q = \frac{ \ \frac{3835}{44} \ }{\frac{35}{44}}
\Rightarrow \ q = \frac{767}{7}
\Rightarrow \ q \approx 109.57

Por lo tanto, la demanda de zapatos para damas será de aproximadamente 110 pares mensuales si se fija el precio en 90 Ps.

Debemos notar que en ambos ejemplos, las rectas que definen la demanda tienen pendiente negativa y en consecuencia, son rectas decrecientes. Entonces concluimos que de forma general, si m > 0, cualquier ecuación de demanda tiene la forma

p = -m \cdot q + b

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Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

¿Me podrían ayudar a resolver el siguiente problema?

El equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se fabrican 13500 unidades a un precio de $45 por unidad, El fabricante no hace oferta de unidades con precio $10 y los consumidores no demandan unidades con precio $200.

  • Obtener la ecuación de demanda si se supone lineal.
  • Determinar el precio por unidad cuando se demandan 5000 unidades.

Gracias,
Mary.

Respuesta:

Lo primero que debemos hacer al abordar problemas de este tipo es identificar cuales son los elementos que se presentan para reescribirlos en lenguaje matemático. Estos son:

  • El punto de equilibrio: (13500,45).
  • El fabricante no ofrece cuando el precio es de $10: Este es el punto (0,10).
  • Los consumidores no demandan cuando el precio es de $200: Este es el punto (0,200).

Como se supone que la demanda es lineal, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,10) y (13500,45). Para esto aplicamos la ecuación punto-punto:

(p - 200) = \frac{45-200}{13500-0} \cdot (q - 0)

\Rightarrow p - 200 = -\frac{155}{13500} \cdot q

\Rightarrow p = -\frac{155}{13500} \cdot q + 200

Esta última ecuación es la ecuación lineal de demanda y para determinar el precio por unidad cuando se demandan 5000 unidades, basta con sustituir q=5000 en la ecuación, esto es:

p = -\frac{155}{13500} \cdot (5000) + 200 = 142,5926

Ejercicio 2

Hola, ¿me podría ayudar con este ejercicio? Obtengo como resultado

q = p/-2

No sé si estoy resolviéndolo bien.

El enunciado del ejercicio es el siguiente: Cuando el precio de los relojes es de $1000 dólares, no hay demanda alguna; cuando es gratuito en el mercado se demandan 500 relojes; ¿Cuál es la ecuación de la demanda? Grafique y explique; ¿cuál es el precio techo que se puede vender en el mercado?

Muchas gracias.

Respuesta:

Lo primero que debemos hacer al abordar problemas de este tipo es identificar cuales son los elementos que se presentan para reescribirlos en lenguaje matemático. Estos son:

  • Cuando el precio de los relojes es de $1000 dólares, no hay demanda alguna: Este es el punto (0,1000).
  • Cuando es gratuito en el mercado se demandan 500 relojes: Este es el punto (500,0).

Como se supone que la demanda es lineal, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,1000) y (500,0). Para esto aplicamos la ecuación punto-punto:

(p - 1000) = \frac{0-1000}{500-0} \cdot (q - 0)

\Rightarrow p - 1000 = -\frac{1000}{500} \cdot q

\Rightarrow p = -2 \cdot q + 1000

Posteriormente, podemos hacer un despeje para expresar esta ecuación como q en función de p, para obtener la siguiente ecuación:

q = -\frac{1}{2} \cdot p + 500

Esta última ecuación se puede apreciar gráficamente:

Curva de Demanda | totumat.com

La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

Anthonny Arias-García12 comentarios
  1. La jerarquía de las operaciones
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4
      5. Ejemplo 5
      6. Ejemplo 6
  2. Los signos de agrupación
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 7
      2. Ejemplo 8
      3. Ejemplo 9
      4. Ejemplo 10
      5. Ejemplo 11
      6. Ejemplo 12

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

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La jerarquía de las operaciones

Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

La jerarquía de las operaciones | totumat.com

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( + ). La resta será expresada con una raya horizontal ( - ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( \cdot ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( \times ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( \div ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( : ) o con una barra vertical ( / ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot 2 + 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

6 + 5

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

11

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 2 \cdot 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

3 + 10

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

13

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 + 3 \cdot 6 - 7

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

4 + 18 - 7

Posteriormente, efectuamos la suma,

22 - 7

Finalmente, efectuamos la resta

15

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

-14 + 15 \div 3 + 20

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

-14 + 5 + 20

Posteriormente, efectuamos las sumas,

-14 + 25

Finalmente, efectuamos la resta

11

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Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

20 - 10 - 30 \div 10

Posteriormente, efectuamos la división,

20 - 10 - 3

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

20 - 13

Finalmente, efectuamos la resta

7

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

12 + 35 - 55 \div 11 + 9

Posteriormente, efectuamos la división,

12 + 35 - 5 + 9

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

12 + 35 + 9 - 5

Posteriormente, efectuamos las sumas

56 - 5

Finalmente, efectuamos la resta

51

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Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

12 \div 2 \cdot 3

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis ( \ ) para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

12 \div (2 \cdot 3)

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto 2 \cdot 3, para obtener 12 \div 6 que a su vez, es igual a 2. Por otra parte, si consideramos la operación

(12 \div 2) \cdot 3

Se está indicando que primero se debe efectuar la división 12 \div 2, para obtener 6 \cdot 3 que a su vez, es igual a 18.

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes [ \ ] y llaves { \ }, sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot (5 + 1)

Lo primero que debemos notar es que la suma 5 + 1 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 \cdot 6

Finalmente, efectuamos el producto,

18

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

2 \cdot (9 - 2) + 10

Lo primero que debemos notar es que la resta 9 - 4 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

2 \cdot 7 + 10

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

14 + 10

Finalmente, efectuamos la suma,

24

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

3 + 4 \cdot [3 + 5]

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

3 + 4 \cdot 8

Posteriormente, efectuamos el producto,

3 + 32

Posteriormente, efectuamos la suma,

35

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

100 - 2 \cdot [ -43 ]

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

100 + 86

Posteriormente, efectuamos la suma,

186

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Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 25 \div (3+2) - 2] \}

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 25 \div 5 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}

Posteriormente, efectuamos la resta,

5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}

Posteriormente, efectuamos la división,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 25 \}

Finalmente, efectuamos la resta,

-20

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la división,

72 - 5

Finalmente, efectuamos la resta,

-67

Ecuaciones Logarítmicas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Expresiones Logarítmicas

En ocasiones, encontramos ecuaciones exponenciales cuya solución no es una tarea trivial, así que debemos recurrir a métodos más sofisticados. Si a y b son números reales positivos, definimos una nueva expresión a partir de la siguiente equivalencia:

a^x = b \Leftrightarrow \log_a(b) = x

La expresión \log_a(b) se conoce como una expresión logarítmica y se lee como logaritmo base a de b. Esta provee una solución para la ecuación planteada.

De forma particular, si consideramos la ecuación exponencial 2^x = 4, entonces, podemos usar una expresión logarítmica para definirla de la siguiente manera

2^x = 4 \Leftrightarrow \log_2(4) = x

La importancia de las expresiones logarítmicas radica en que estas se usan principalmente para describir variaciones proporcionales, porcentuales o en el largo plazo sobre conjuntos de datos, es por esto que son ampliamente estudiadas. Veamos entonces cuales son sus propiedades.

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Propiedades del Logaritmo

Propiedades sobre el argumento

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del logaritmo de un número, del producto y la división, que se deducen de las propiedades de la potencias. Sean a y b números reales positivos; m y n números reales, entonces

  • \log_a(1) = 0
  • \log_a(a) = 1
  • \log_a(a^2) = 2
  • \log_a(a^n) = n
  • \log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)
  • \log_a(b^n) = n \log_a(b)
  • \log_a(\frac{a}{b}) = \log_a(b) - \log_a(c)
  • \log_a(\frac{1}{b^n}) = -n\log_a(b)
  • \log_a(\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n}\log_a(b)
  • \log_a(\sqrt[n]{b^n}) = \frac{m}{n}\log_a(b)

Propiedades sobre la base

Las propiedades antes vistas, hacen referencia al argumento del logaritmo, es decir, a la expresión que se encuentra dentro de los paréntesis. Sin embargo, la propiedad que veremos a continuación hace referencia a la base de estos y se conocen como propiedades de cambio de base.

Si consideramos el logaritmo base a de b, \log_a(b) y consideramos un nuevo número real positivo c. Entonces, este logaritmo se puede reescribir de la siguiente manera

\log_a(b) = \dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

De esta forma, hemos reescrito el logaritmo que originalmente tenía base a como el cociente de dos logaritmos de base c.

Ecuaciones Logarítmicas

Si bien se pueden presentar casos en los que una incógnita se presenta en el argumento o en la base logaritmo en una ecuación, también hay que considerar los logaritmos serán de vital importancia al calcular la solución de ecuaciones exponenciales donde la base de los elementos involucrados no es la misma.

Veamos algunos ejemplos en los que empleamos las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de ecuaciones que involucran expresiones logarítmicas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_2 (32) = x

Si bien podemos calcular \log_2 (32) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento, es por esto que descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces,

\log_2 (2^5) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

5 \log_2 (2) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{2} \left( 2 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = 5

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir \sqrt[4]{5} como 5^{\frac{1}{4}} y así,

\log_{25} \left( 5^{\frac{1}{4}} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

\frac{1}{4} \log_{25} \left( 5 \right) = x

Notamos además, que 5 se puede reescribir como \sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}, por lo tanto

\frac{1}{4} \log_{25} \left( 25^{\frac{1}{2}} \right) = x

sacamos nuevamente el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo,

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log_{25} \left( 25 \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{25} \left( 25 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = \frac{1}{8}

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir 3 como \sqrt{9} y así,

\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{\sqrt{9}} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( 9^{-\frac{1}{2}} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

-\frac{1}{2} \log_{9} \left( 9 \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{9} \left( 9 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = - \frac{1}{2}

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir \frac{1}{4} como (\sqrt{2})^{-4} y así,

\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{\sqrt{2}} \left( \left( \sqrt{2} \right)^{-4} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

-4 \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right). Por lo tanto, concluimos que

x = - 4

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

3^x = 2^5

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base tres pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

\log_3 \left( 3^x \right) = \log_3 \left( 2^5 \right)

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

x \log_3 \left( 3 \right) = 5 \log_3 \left( 2 \right)

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, \log_3 \left( 3 \right) = 1. Por lo tanto, concluimos que

x = 5 \log_3 \left( 2 \right)

Para calcular el valor de \log_3 \left( 2 \right) es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base \textit{\Large e}). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular este logaritmo, pues

\log_3 \left( 2 \right) = \frac{\log_{10} (2)}{\log_{10} (3)} \approx 0.63092975 \ldots

Por lo tanto,

x \approx 3.1546 \ldots

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

5^x \cdot 7^2 = 3^4

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base cinco pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

\log_5 \left(5^x \cdot 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)

Entonces, aplicamos la propiedad del logaritmo que nos permite separar el producto del argumento como una suma de logaritmos, es decir,

\log_5 \left( 5^x \right) + \log_5 \left( 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

x \log_5 \left( 5 \right) +2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, \log_5 \left( 5 \right) = 1. Por lo tanto,

x + 2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)

Posteriormente, despejamos la incógnita x para concluir que

x = 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right)

Para calcular el valor de 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right) es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base \textit{\Large e}). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular estos logaritmo, pues

\log_5 \left( 3 \right) = \frac{\log_{10} (3)}{\log_{10} (5)} \approx 0.6823 \ldots

\log_5 \left( 7 \right) = \frac{\log_{10} (7)}{\log_{10} (5)} \approx 1.2090 \ldots

Por lo tanto,

x \approx 0.3123 \ldots

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Ecuaciones Exponenciales

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar las propiedades de las potencias, resulta de particular interés el caso en que fijamos la base y variamos el exponente, a las expresiones que definen este tipo de situaciones las llamamos expresiones exponenciales. Formalmente, si consideramos un valor desconocido x y una base a, entonces

a^{x}

Será una expresión exponencial de base a. De forma particular, si consideramos a=2 tendríamos una expresión exponencial de base dos expresada de la siguiente forma

2^{x}

Las expresiones exponenciales cumplirán con las mismas propiedades que se han definido para las potencias, pero el caso interesante resulta cuando establecemos igualdades que involucran expresiones exponenciales, pues si consideramos la siguiente ecuación

a^x = b

Diremos que esta es una ecuación exponencial y debemos desarrollar un método que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Particularmente, si consideramos la ecuación

2^x = 8

La solución salta a la vista, pues sabiendo que dos elevado al cubo es igual a ocho, entonces concluimos que el valor de x que satisface la igualdad es x=3. Sin embargo, la solución no siempre será tan clara, así que debemos recurrir a las propiedades de las potencias para poder encontrar la solución.

Veamos como aplicar las propiedades de las potencias para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

3^x = 81

Si bien, la solución de esta ecuación se puede deducir de forma inmediata, una de las técnicas para calcular este tipo de ecuaciones es descomponer los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 27, tenemos que

3^x = 3^4

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

x = 4

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

5^{x+1} = 125

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 125, tenemos que

5^{x+1} = 5^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 -1 \Rightarrow x = 2

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

4 \cdot 2^x = 128

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

2^2 \cdot 2^x = 2^7

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

2^{2+x} = 2^7

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2+x = 7 \Rightarrow x = 7 - 2 \Rightarrow x = 5

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

49^x \cdot 7^5 = 343

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

7^{2x+5} = 7^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

49^x \cdot 7^5 = 343

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

7^{2x+5} = 7^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

81^x \cdot 9^4 = 27^x \cdot 3^2

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left( 3^4 \right)^x \cdot \left( 3^2 \right)^4 = \left( 3^3 \right)^x \cdot 3^2

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

3^{4x} \cdot 3^{8} = 3^{3x} \cdot 3^2

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

3^{4x+8} = 3^{3x+2}

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

4x+8 = 3x+2 \Rightarrow 4x - 3x = 2 - 8 \Rightarrow x = -6

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Ejemplo 7

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

8^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32^x} \cdot 4^5

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$, tenemos que

\left( 2^3 \right)^x \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{\left( 2^5 \right)^x} \cdot \left( 2^2 \right)^5

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes. Además, aquellos elementos que están el denominador los podemos reescribir como numeradores cambiando el signo del exponente

2^{3x} \cdot 2^{-4} = 2^{-5x} \cdot 2^{10}

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

2^{3x-4} = 2^{-5x+10}

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

3x-4 = -5x+10 \Rightarrow 3x + 5x = 10 + 4 \Rightarrow 8x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{4}