Resolución de Ecuaciones Lineales

07.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Cómo se despeja la incógnita x?

Para calcular la solución de una ecuación lineal, debemos despejar la incógnita, esto es aplicar los axiomas algebraicos de los números reales de forma secuencial para que nuestra incógnita «se quede sola» en un sólo lado de la igualdad en la ecuación planteada.

Entonces, si considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ ; veremos en algunos ejemplos cómo despejar la incógnita partiendo de la siguiente forma básica de una ecuación lineal,

$ax + b = c$

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Nota: Al ser la técnica de despeje un proceso lógico-deductivo, usaremos una flecha con dos rayas ( $\Longrightarrow$ ) para denotar que una ecuación se ha deducido de la anterior. Dicha flecha se lee «implica que».

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la ecuación $5x+10 = 20$ despejando la incógnita $x$ .

$5x+10 = 20$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $5$ y posteriormente sumanda por $10$ .

$\Longrightarrow \ 5x+10-10 = 20-10$

Queremos anular el $10$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por 10 en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 5x+0 = 10$

Al ser $10$ y $-10$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 5x = 10$

Al sumar $5x$ más cero, el resultado es $5x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{5} \cdot 5x = \dfrac{1}{5} \cdot 10$

Queremos simplificar el $5$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{5}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 2$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 2$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

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Ejemplo 2

Calcule la solución de la ecuación $-3x+20 = 5$ despejando la incógnita $x$ .

$-3x+20 = 5$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $-3$ y posteriormente sumanda por $20$ .

$\Longrightarrow \ -3x+20 -20 = 5 -20$

Queremos anular el $20$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $20$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -3x+0 = -15$

Al ser $20$ y $-20$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -3x = -15$

Al sumar $-3x$ más cero, el resultado es $-3x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{-3} \cdot (-3)x = \dfrac{1}{-3} \cdot (-15)$

Queremos simplificar el $-3$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{-3}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 5$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 5$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita $x$ , es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a $x$ en un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a $x$ del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder efectuar operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ejemplo 3

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad, que está multiplicada por -3 y posteriormente sumanda por 20. E identificamos la incógnita $x$ en lado derecho de la igualdad, que está multiplicada por $4$ y posteriormente restada por $11$ .

$\Longrightarrow \ 10x+7-7 = 4x - 11-7$

Queremos anular el $7$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $7$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x = 4x -18$

Al sumar $10$ más cero, el resultado es $10x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -4x+ 4x -18$

Queremos anular el $4x$ que está sumando en el lado derecho de la igualdad. Entonces, restamos por $4x$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = 0 -18$

Al ser $4x$ y $-4x$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -18$

Al restar cero menos $18$ , el resultado es $18$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ (-4+10)x = -18$

Para sumar los términos que multiplican a equis, aplicamos la propiedad distributiva, notando que $x$ es un factor común.

$\Longrightarrow \ 6x = -18$

Sumamos los elementos que están dentro del paréntesis para obtener $6x$ .

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{6} \cdot 6x = \dfrac{1}{6} \cdot (-18)$

Queremos simplificar el $6$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{6}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = -3$

Al ser $6$ y $\frac{1}{6}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = -3$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

Mientras se está aprendiendo a calcular la solución de una ecuación lineal, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Sin embargo, a medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez, por supuesto, siempre tomando en cuenta el trasfondo de los Axiomas Algebraicos que se están aplicando.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que «lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar«, también podemos decir que «lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar«. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:

Ejemplo 3 – Otra forma

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 11-7$

El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 18$

Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.

$\Rightarrow \ 10x -4x = - 18$

El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.

$\Rightarrow \ 6x = - 18$

Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.

$\Rightarrow \ x = -\dfrac{18}{6}$

El seis que está multiplicando a equis en el lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ x = -3$

Finalmente, menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.

Video Complementario

Introducción a las Ecuaciones Lineales

05.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es una ecuación?

Al considerar de la Ley de Tricotomía de los números reales, hemos visto que al considerar dos números reales, existen tres tipos de relaciones entre ellos dos: el primero es menor que el segundo, el primero es mayor que el segundo o el primero es igual al segundo.

En esta ocasión, nos enfocaremos en la relación de igualdad, pues esta nos permite plantear ciertas situaciones de forma matemática, para posteriormente, desarrollar estrategias que permitan solventar dichas situaciones.

Formalmente, definimos una ecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una igualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras $x$ , $y$ o $z$ ; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. De esta forma, podemos plantear una ecuación de la siguiente forma:

$x + 3 = 5$

Esta ecuación plantea de forma tácita la siguiente pregunta: «¿cuál es ese número tal que al sumarle tres, el resultado es igual a 5?». La respuesta salta a la vista, pues intuitivamente sabemos que ese número es igual a dos. Sin embargo, la idea de plantear ecuaciones es la de desarrollar métodos lógico-deductivos que permitan calcular dichos valores desconocidos en problemas más complejos. Entonces, es necesario plantear la siguiente pregunta:

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¿Cómo se halla la solución de una ecuación?

Sumamos o restamos en ambos lados de la igualdad

Suponga que usted vive en un país donde la moneda local es el Perolito (Ps). Suponga además que usted tiene activados ciertos servicios en su celular y que la renta básica mensual es de 83 Ps. De un mes a otro la renta básica mensual le aumentó a 132 Ps. ¿Cuánto fue el monto que le aumentó? Lo natural es tomar la renta nueva y restarle la antigua, de este modo obtenemos 49. Seguidamente usted exclamará: «¡Me subieron la renta 49 perolitos, qué ultraje!».

Si a este valor desconocido lo representamos con la letra x, esta situación se puede plantear de la siguiente manera:

$83 + x = 132$
ochenta y tres más equis es igual a ciento treinta y dos

Entonces si $x$ es nuestra incógnita y; 83 y 132 dos valores que sí conocemos, ¿podemos hallar este valor que desconocemos considerando la ecuación antes planteada? Sí se puede y el procedimiento es el siguiente:

Partiendo de la ecuación original, sabemos que la suma es conmutativa, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos sumando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión $83 + x =132$ es equivalente a

$x + 83 = 132$

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 132 perolitos en su cartera y 132 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces si de ambos extrae la cantidad de 83 perolitos, en ambos lugares tendrá exactamente la misma cantidad.

Básicamente, estamos diciendo que si usted resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,

$x + 83 - 83 = 132 - 83$

Podemos asociar la suma que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

$x + (83 - 83) = 49$

Recordando que al sumar un número real con su opuesto aditivo el resultado es exactamente cero, entonces

$x + 0 = 49$

Pero sabemos que el cero es el elemento neutro de la suma, por lo tanto, al sumarle cero a cualquier número el resultado será justamente ese número, así

$x = 49$

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 49, tal como desde un principio lo habíamos intuido. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma $x + a = b$ , podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

Introducción a las Ecuaciones | totumat.com

Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad

Suponga que usted quiere comprarse una licuadora que cuesta 2400 Ps. y consigue un empleo temporal donde le pagan 120 Ps. por cada hora de trabajo, ¿cuántas horas deberá trabajar para poder comprarse la licuadora? Suponiendo que x es la cantidad de horas que usted debe trabajar, esta situación la podemos plantear con una ecuación de la siguiente manera:

$120 \cdot x = 2400$
ciento veinte por equis es igual a dos mil cuatrocientos

¿Cómo podemos hallar este valor que desconocemos? Partiendo de la ecuación original, sabemos que el producto es conmutativo, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión $120 \cdot x = 2400$ es equivalente a

$x \cdot 120 = 2400$

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 2400 perolitos en su cartera y 2400 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces una ciento veinteava parte en ambos lugares será exactamente la misma cantidad.

Básicamente, estamos diciendo que si usted divide por el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,

$\dfrac{ x \cdot 120}{120} = \dfrac{2400}{120}$

Podemos reescribir el producto que se encuentra en el numerador del lado izquierdo de la igualdad como un producto de fracciones y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

$\dfrac{x}{1} \cdot \dfrac{120}{120} = 20$

Podemos notar que dividir un número entre él mismo es lo mismo que multiplicar un número real con su opuesto aditivo, por lo que $frac{120}{120}$ es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es el mismo número, entonces

$x \cdot 1 = 20$

Pero sabemos que el uno es el elemento neutro del producto, por lo tanto, al multiplicar cualquier número por uno el resultado será justamente ese número, así

$x = 20$

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 20, es decir, deberá trabajar durante 20 horas para poder reunir 2400 Ps. y comprar la licuadora de sus sueños. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma $a \cdot x = b$ , podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

A este tipo de ecuaciones las llamamos Ecuaciones Lineales y se caracterizan porque la única alteración que afecta a la incógnita $x$ es la suma o multiplicación de constantes. Posteriormente, veremos que este tipo de ecuaciones está íntimamente relacionada con la gráfica de una línea recta.

Axiomas Algebraicos de los Números Reales

04.11.201912.07.2023 Anthonny Arias-García9 comentarios

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Axiomas Algebraicos

Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos $a$ , $b$ y $c$ números reales.

Axiomas para la suma

El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: $a+b$ es un número real.
Propiedad conmutativa: $a + b = b + a$
Propiedad asociativa: $a + (b + c) = (a + b)+c$
Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que $a + 0 = 0 + a = a$
Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, $a + (-a) = (-a) + a = 0$

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Axiomas para el producto

El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: $a \cdot b$ es un número real.
Propiedad conmutativa: $a \cdot b = b \cdot a$
Propiedad asociativa: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
Inverso multiplicativo: Para todo número real $a \neq 0$ , existe un número real $a^{-1}$ tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$
Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Si consideramos esta igualdad en el sentido de izquierda a derecha, podemos notar que hemos distribuimos el factor en una suma.

Sin embargo, en el sentido de derecha a izquierda, podemos notar que al ser $a$ un factor común en ambos sumandos, haremos algo que se conoce como sacar el factor común, es decir,

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define una parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales.

Ley de Tricotomía

Formalmente, si $a$ y $b$ son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, $a = b$ . Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, $a < b$ . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, $a > b$ . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b

Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si $a$ es un número real, tendremos que:

Si $a > 0$ , diremos que $a$ es un número positivo.
Si $a < 0$ , diremos que $a$ es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.

Transitividad

Consideremos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ . Si $a$ es menor que $b$ y a su vez, $b$ es menor que $c$ , podemos asegurar que $a$ es menor que $c$ , es decir,

$a < b$ y $b < c$ , entonces $a < c$

Orden de la suma

Consideremos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ . Si $a$ es menor que $b$ y sumamos $c$ a $a$ y a $b$ , entonces se preserva el orden de estas sumas, es decir,

$a < b$ , entonces $a +c < b + c$

Orden del producto

Consideremos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ . Si $a$ es menor que $b$ y multiplicamos por un número positivo $c$ a $a$ y a $b$ , entonces se preserva el orden de la suma, es decir,

$a < b$ y $c > 0$ , entonces $a +c < b + c$

Números Reales

03.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García5 comentarios

¿Qué es la raíz cuadrada de 2?

Empecemos considerando un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene un ángulo recto (90°). Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Entonces, si un cateto mide $a$ , el otro cateto mide $b$ y la hipotenusa mide $c$ ; podemos dibujar un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

Triángulo Rectángulo | totumat.com — Triángulo Rectángulo

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El Teorema de Pitágoras establece que si usted tiene un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir,

$c^2 = a^2 + b^2$

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Si la hipotenusa es c, tendremos que $c^2=25$ . Es decir, la hipotenusa será un número tal que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, ya que $5^2=5\cdot 5 = 25$ , concluimos que la hipotenusa de este triángulo mide 5.

De igual forma si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12, la hipotenusa medirá 13. Si los catetos miden 8 y 6, la hipotenusa medirá 10. Notemos que estos casos la medida de la hipotenusa es un número entero, sin embargo, este no es un caso general.

Supongamos que los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cada uno. Tendremos que $1^2 + 1^2 = 1+1=2$ . Entonces $c^2=2$ , ¿puede usted pensar en un número racional tal que al multiplicarlo por sí mismo nos dé 2 como resultado? ¿Será 1? ¿Será 2? ¿Qué tal 1,5? La respuesta es que no hay un número racional tal que multiplicado por sí mismo nos dé 2 como resultado.

Esta situación la solucionamos definiendo un nuevo número que no es natural, no es entero y tampoco es racional. Lo denotaremos con $\sqrt{2}$ y diremos que éste satisface la condición $c^2=2$ , es decir, $(\sqrt{2})^2=2$ .

$\sqrt{2}$

Hay una gran cantidad de situaciones en las que tendremos que definir nuevos números como $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{13}, \sqrt{3453}, \sqrt{\frac{6}{19}}$ , etc. El símbolo $\sqrt{ \ \ }$ se llama raíz cuadrada, y así como se han presentado estos números, se presentarán otras ocasiones en los que debemos definir nuevos números como por ejemplo $\pi$ , $\phi$ ó $\epsilon$ .

Todos estos números a diferencia de los números racionales tendrán una extensión decimal infinita no periódica, es decir, su extensión decimal nunca se repite. Por ejemplo, con técnicas computarizadas se han logrado calcular hasta la fecha 31 4159 2653 5897 dígitos del número $\pi$ . Estos son los primeros 160 publicados en pi day:

3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899 862 8034 8253 4211 7067 98214 8086 5132 8230 6647 0938 4460 9550 5822 3172 5359 4081 2848 1117 45…

Definiremos un nuevo conjunto que alberga todos estos números y justamente por su característica de no ser racionales, lo llamaremos el conjunto de los Números Irracionales. Lo denotaremos con el símbolo $\mathbb{I}$ .

Considerando todos los conjuntos que hemos definido anteriormente, como los números naturales, enteros y racionales, definiremos un nuevo conjunto que alberga a todos los números racionales y todos los números irracionales, lo llamaremos el conjunto de los Números Reales y lo denotaremos por $\mathbb{R}$ , formalmente tendremos que

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

De esta forma nos podemos dar cuenta que el conjunto de los Números Racionales es un subconjunto del conjunto de los Números Reales, más aún, tendremos una cadena de contenciones de la siguiente forma:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Es importante notar que a medida que definimos nuevos conjuntos, llenamos los «huecos» que hay entre los elementos de los conjuntos. Se asemeja a una historia de un autor anónimo que frecuentemente se encuentra en internet:

Anónimo…
Un profesor de filosofía llegó al salón de clases con su termo de café caliente como de costumbre, pero esta vez traía consigo una gran jarra y varios objetos. Sin mediar palabra el profesor llenó la jarra con pelotas de golf y preguntó a sus alumnos si la jarra estaba llena. Ellos asintieron con confusión por la obviedad de la pregunta.

Entonces el profesor tomó una caja de canicas y las vertió también dentro de la jarra; agitó con cuidado la jarra. Las canicas rodaron en las áreas abiertas que había entre las pelotas de golf. De nuevo les preguntó a sus estudiantes si la jarra estaba llena. Por segunda vez, todos estuvieron de acuerdo.

Después, el profesor tomó una caja de arena y la vertió en la jarra. Como ya podrán imaginarse, la arena se deslizó por todos los huecos que aún quedaban. El les preguntó una vez más si la jarra estaba llena. Los estudiantes respondieron al unísono «¡SÍII!».

Con mucha tranquilidad el profesor tomó su termo de café y lo vertió completamente en la jarra llenando efectivamente el espacio entre la arena. Los estudiantes rieron.

La historia generalmente viene acompañada con algunas frases de autoayuda o reflexiones sobre la vida pero eso no nos interesa, lo importante es notar que al representar el conjunto de los números reales de forma gráfica obtendremos una pasta cohesionada de números sin espacios entre ellos, que representaremos con una recta centrada en el cero de la siguiente forma:

A esta recta la llamaremos Recta Real y en ella representaremos todos los números que hemos conocido hasta ahora.

– ¡Amor! 2 ha llegado de la guerra pero se ha vuelto irracional.
– ¡¿Qué?! ¡No 2! Él siempre ha sido… ¡Oh, dios!
– ¡Se ha radicalizado!

Conjuntos Numéricos: Naturales, Enteros, Racionales y Reales | totumat.com

Los Números Racionales y sus operaciones

02.11.201913.12.2022 Anthonny Arias-García17 comentarios

Los números racionales y la división

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de forma equitativa, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

Esta situación es representada con la división de números y se representa matemáticamente usando la siguiente notación:

$2 \div 4$

Esto se lee «dos dividido entre cuatro» e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales.

Existen distintos métodos para calcular divisiones, uno de ellos es el método de división larga. En todo caso, ya sea que hagamos el desarrollo de la operación a mano o que usemos una calculadora, el resultado que obtenemos al efectuar la división $2 \div 4$ es $0,5$ .

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división $1 \div 2$ cuyo resultado es $0,5$ .

En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división $7 \div 14$ cuyo resultado es $0,5$ .

Notemos que se nos pueden presentar varias situaciones en el que obtenemos el valor $0,5$ , es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado $0,5$ . Pero, ¿qué significa $0,5$ ?

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¿Qué son los números racionales?

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b $\neq$ 0), definiremos un nuevo número de la forma $\frac{a}{b}$ que representa el resultado de la división $a \div b$ . Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por $\mathbb{Q}$ y estará definido de la siguiente manera:

$\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}; \, b\neq 0 \right\}$

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma $a \div 1$ para notar que $3 \div 1 = 3$ , $10 \div 1 = 10$ , $-2 \div 1 = -2$ , $45 \div 1 = 45$ . En general si $a \in \mathbb{Z}$ entonces $a \div 1 = a$ . Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

$\displaystyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo $\frac{1}{2} = 0,5$ o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo $\frac{1}{3} = 0,333333\ldots$

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com — Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

$\displaystyle \frac{a}{1} = a$

$\displaystyle \frac{a}{a} = 1, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{0}{a} = 0, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{a}{0}, \, \text{no est\'a definida}$

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una «Ley de los Signos para la Multiplicación», también hay una Ley de los Signos para la división. Si $a>0$ y $b>0$ , entonces

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{\ \ \ b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{\ \ \ a}{-b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \ \ \ \frac{a}{b}$

La expresión $\frac{a}{b}$ también se conoce como Fracción.

Habiendo definido los Números Racionales como el conjunto que alberga todas las divisiones posibles entre números enteros, dentro de este conjunto, podemos definir operaciones básicas. Para formalizar, consideremos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros con $b$ y $d$ $\neq 0$ , entonces por definición $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son dos números racionales. Las operaciones que podemos definir entre estos números, con las siguientes:

Suma de números racionales

Definiremos la suma entre estos dos números racionales de la siguiente forma:

De forma particular, si dos números racionales comparten el mismo denominador, será posible (a través de una serie de equivalencias) sumar sus numeradores y mantener el mismo denominador para la suma, es decir,

Suma de Fracciones con igual denominador | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de $\frac{1}{2}$ más $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Ejemplo 2

Efectúe la suma de $\frac{7}{3}$ más $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la suma de $1$ más $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la suma de $\frac{3}{11}$ más $6$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}$

Resta de números racionales

Notemos que la resta se puede definir de la misma forma que la suma usando expresiones equivalentes para $-\frac{c}{d}$ , como $\frac{-c}{d}$ o $\frac{c}{-d}$ . Simplemente debemos tomar en cuenta la ley de los signos al multiplicar números enteros, es decir,

Resta de Fracciones | totumat.com — Resta de fracciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de $\frac{1}{2}$ menos $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la resta de $\frac{7}{3}$ menos $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la resta de $1$ menos $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la resta de $\frac{3}{11}$ menos $6$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}$

Producto entre números racionales

Definiremos el producto entre estos dos números racionales, multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, de la siguiente forma:

Producto o Multiplicación de Fracciones | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de $1$ por $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de $\frac{3}{11}$ por $6$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}$

División entre números racionales

Definimos la división entre estos dos números racionales, reescribiendo esta división nuevamente como una fracción y aplicando lo que en algunos países se conoce como la doble c y en otros se conoce como la ley del sándwich; y es como sigue:

División de Fracciones | totumat.com — División de fracciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de $\frac{1}{2}$ entre $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ejemplo 2

Efectúe la división de $\frac{7}{3}$ entre $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}$

Ejemplo 3

Efectúe la división de $1$ entre $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Ejemplo 4

Efectúe la división de $\frac{3}{11}$ entre $6$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}$

Esta definición de los números racionales está atada a las Fracciones y las operaciones aquí descritas están desarrolladas de una forma más extensa en los siguientes enlaces:

¿Cómo se despeja la incógnita x?

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3 – Otra forma

Video Complementario

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¿Qué es una ecuación?

¿Cómo se halla la solución de una ecuación?

Sumamos o restamos en ambos lados de la igualdad

Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad

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Axiomas Algebraicos

Axiomas para la suma

Axiomas para el producto

Propiedad Distributiva

Axiomas de Orden

Ley de Tricotomía

Números positivos y números negativos

Transitividad

Orden de la suma

Orden del producto

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¿Qué es la raíz cuadrada de 2?

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Los números racionales y la división

¿Qué son los números racionales?

Suma de números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Resta de números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Producto entre números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

División entre números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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