¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en dicho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto $2 \cdot 3$ , diremos que $2$ y $3$ son los factores que representan este producto.

De forma general, podemos representar el producto de dos factores como $a \cdot b$ , donde $a$ y $b$ son dos números reales. De igual forma, podemos representar el producto de n factores como $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdots a_n$ , donde $a_1$ , $a_2$ , …, $a_n$ son n números reales.

Estos números reales pueden venir definidos por variables, por ejemplo si consideramos el producto $(x+2) \cdot (x+7)$ entonces los elementos variables $(x+2)$ y $(x+7)$ serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión $3x + 3x^2$ , podemos notar que $3x$ es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como $3x \cdot (1+x)$ , es decir, la reescribimos como un producto de dos factores $3x$ y $1+x$ . Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de al menos dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces $a = 1 \cdot a$ , decimos que este es el caso trivial, es por esto que cuando consideremos factorizar una expresión, obviamos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización

Considerando un polinomio $P(x)$ de grado $n$ , si sus raíces son $\{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \}$ y su coeficiente principal es igual a $k$ , entonces el polinomio $P(x)$ se puede factorizar de la siguiente forma:

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicar el resultado antes visto, por lo tanto es necesario desarrollar métodos que permitan para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de $x$ para los cuales se cumple la ecuación $P(x)=0$ .

Vemos en los siguientes ejemplos, como factorizar algunos polinomios sabiendo cuales son sus raíces.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2-2x+1$ son $x_1=1$ y $x_2=-1$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x-1) \cdot (x+1)$

Ejemplo 2

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ son $x_1=-2$ y $x_2=-3$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x+2) \cdot (x+3)$

Ejemplo 3

Si las raíces del polinomio $P(x)=5x^2-15x-140$ son $x_1=-4$ y $x_2=7$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 5 \cdot (x+4) \cdot (x-7)$

Ejemplo 4

Si las raíces del polinomio $P(x)=3x^3+51x^2+186x-240$ son $x_1=1$ , $x_2=-8$ y $x_3=10$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+8) \cdot (x+10)$

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Observando los ejemplos expuestos, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si $P(x)=ax^2+bx+c$ es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación $P(x)=ax^2+bx+c=0$ es justamente una ecuación cuadrática.

En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Consideremos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que $x$ que satisfacen la ecuación $ax^2+bx+c=0$ están expresados de la siguiente forma:

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Ejemplos: Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 5

Factorice el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= (x-(-2)) \cdot (x-(-3))$

$= (x+2) \cdot (x-+3)$

Ejemplo 6

Factorice el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= 5 \cdot (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x-(-2))$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x+2)$

Existen diversas formas de factorizar polinomios y el método del discriminante es una de ellas, y aunque se limita de forma particular a los polinomios cuadráticos, servirá de apoyo para otros métodos de factorización de polinomios.

Raíz de un polinomio

13.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Al estudiar polinomios, estudiamos expresiones que involucran variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.

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Evaluar polinomios

Diremos que evaluar un polinomio $P(x)$ en un número real $b$ es sustituir la variable $x$ por el número $b$ , esta sustitución la denotaremos $P(b)$ . De esta forma, si $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en $b$ de la siguiente forma:

$\displaystyle P(b) = a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{2} b^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones indicadas en la definición del polinomio para obtener como resultado un número real. Veamos en los siguientes ejemplos cómo evaluar polinomios: