Función de Producción Conjunta

10.04.202020.02.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

La cantidad de unidades fabricadas de un producto depende de muchos factores de producción. Entre estos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etcétera. Por simplicidad, se supondrá que la producción sólo depende del trabajo y del capital.

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Si la función $P(L,K)$ proporciona la producción $P$ cuando el productor emplea $L$ unidades de trabajo (que usualmente la expresaremos como horas de trabajo semanal) y $K$ unidades de capital, entonces esta función de producción, que depende de dos variables, se llama Función de Producción Conjunta.

Una vez fijadas las unidades de capital $K$ invertidas, podemos calcular la variación de la producción respecto a la cantidad horas de trabajo, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable $L$

$\dfrac{\partial P}{\partial L}$

Por ejemplo, si $\frac{\partial P}{\partial L} = 10$ , entonces al aumentar en una hora la cantidad de horas de trabajo $L$ cuando se fija el capital invertido en $K$ , la producción aumentará en 10 unidades.

Por otra parte, una vez fijada la cantidad de horas a trabajar en una semana, podemos calcular la variación de la producción respecto al capital, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable $K$

$\dfrac{\partial P}{\partial K}$

Por ejemplo, si $\frac{\partial P}{\partial K} = 50$ , entonces al aumentar en una unidad el capital $K$ cuando se fija la cantidad de horas trabajadas en $L$ , la producción aumentará en 50 unidades.

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Ejemplo

Considerando una fábrica de plátano chips, ésta ha determinado que la función de producción es $P(L,K)=\sqrt{L \cdot K}$ , donde $L$ es el número de horas de trabajo por semana y $K$ es el capital (expresado en miles de perolitos por semana) requerido para la producción semanal de $P$ gruesas de plátano chips (Una gruesa es una cantidad de artículos equivalente a doce docenas, es decir, 144 artículos). Determine las funciones de producción marginal respecto a $L$ y respecto a $K$ ; evalúelas en $(400,16)$ e interprete los resultados.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Para esto, debemos notar que $P(L,K)=\sqrt{L\cdot K} = (L \cdot K)^{1/2}$ , por lo tanto

$\dfrac{\partial P}{\partial L} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot K = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot K = \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}}$

Luego,

$\left. \dfrac{\partial P}{\partial L} \right|_{(400,16)} = \dfrac{16}{12\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{1}{10}$

Así, si mantenemos el capital en 16 mil Ps. y aumentamos la cantidad de horas de trabajo de 400 a 401 horas semanales, la producción aumentará en $\dfrac{1}{10}$ gruesas, es decir, en 14,4 empaques de plátano chips.

Por otra parte,

$\dfrac{\partial P}{\partial K} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot L = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot L = \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}$

Luego,

$\left. \dfrac{\partial P}{\partial K} \right|_{(400,16)} = \dfrac{400}{2\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{5}{2}$

Así, si fijamos la cantidad de horas de trabajo semanales en 400 y aumentamos el capital de 16 mil a 17 mil Ps., la producción aumentará en $\dfrac{5}{2}$ gruesas, es decir, en 360 empaques de plátano chips.

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Funciones de Producción Cobb-Douglas

Un grupo importante de funciones de producción, son las Funciones de Producción Cobb-Douglas que se expresan como

$P(L,K) = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}$

La suma $(\alpha + \beta)$ da información sobre los rendimientos a escala, es decir, la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los insumos.

Si esta suma es 1, existen rendimientos constantes a escala, es decir, la duplicación de los insumos duplica la producción, la triplicación de los insumos la triplica, y así sucesivamente.
Si la suma es menor que 1, existen rendimientos decrecientes a escala: al duplicar los insumos, la producción crece en menos del doble.
Si la suma es mayor que 1, hay rendimientos crecientes a escala; la duplicación de los insumos aumenta la producción en más del doble.

Particularmente nos interesará el caso $\alpha + \beta = 1$ . La importancia de este radica en que la función se expresar en función sus incrementos de la siguiente forma:

$P(L,K) = L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}$

Si consideramos la función de producción de nuestro ejemplo, tendremos que sus derivadas parciales son $\frac{\partial P}{\partial L} = \frac{K}{2\sqrt{L\cdot K}}$ y $\frac{\partial P}{\partial K} = \frac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}$ , por lo tanto

$L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}$

$\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}$

$\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L} \sqrt{K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L} \sqrt{K}}$

$\; = \; \dfrac{1}{2} \dfrac{L}{\sqrt{L}} \dfrac{K}{\sqrt{K}} + \dfrac{1}{2} \dfrac{K}{\sqrt{K}} \dfrac{L}{\sqrt{L}}$

$\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{K}\sqrt{L}$

$\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K}$

$\; = \; \sqrt{L}\sqrt{K}$

$\; = \; \sqrt{LK}$

Notamos que esta última expresión es precisamente nuestra función de producción.

Función de Costos Conjuntos

10.04.202020.02.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Suponga que un fabricante produce $x$ unidades de un artículo $X$ y $y$ unidades de un artículo $Y$ , entonces el costo total de producir esas unidades se puede expresar como una función $c$ que depende de las variables $x$ y $y$ , que llamaremos Función de Costos Conjuntos y la denotaremos de la siguiente forma

$c(x,y)$

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Una vez que fijamos la producción del producto $Y$ , podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto $X$ calculando la derivada parcial de la función $c(x,y)$ respecto a $x$ , es decir, la función de costo marginal respecto a la variable $x$

$\dfrac{\partial c}{\partial x}$

Por ejemplo, si $c$ se expresa en perolitos y $\frac{\partial c}{\partial x} = 1500$ , entonces el costo de producir una unidad adicional de $X$ cuando el nivel de producción de $Y$ es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

En cambio, si fijamos la producción del producto $X$ , podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto $Y$ calculando la derivada parcial de la función $c(x,y)$ respecto a $y$ , es decir, la función de costo marginal respecto a la variable $y$

$\dfrac{\partial c}{\partial y}$

Por ejemplo, si $c$ se expresa en perolitos y $\frac{\partial c}{\partial y} = 2000$ , entonces el costo de producir una unidad adicional de $Y$ cuando el nivel de producción de $X$ es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Aunque durante este clase nos limitaremos a dos variables, pero de forma general si un fabricante produce $n$ artículos entonces la función de costos conjuntos constará de $n$ variables y habrá $n$ funciones de costo marginal.

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Ejemplo

Una empresa produce Plátano Chips de dos sabores: salado y natural. Suponga que la función de costos conjuntos de producir $x$ empaques de plátano chips salados y $y$ empaques de plátano chips naturales es:

$c(x,y)=0.07x^2 +75x+85y+600$

Donde $c$ se expresa en perolitos.

Determine los costos marginales de $c$ respecto a $x$ y $y$ cuando $x=100$ y $y=50$ , finalmente interprete los resultados.

Para esto, calculamos la derivada parcial de la función $c$ respecto a $x$ .

$\dfrac{\partial c}{\partial x} = 0.14x+75$

y evaluando esta función en el punto $(100,50)$ obtenemos:

$\left. \dfrac{\partial c}{\partial x} \right|_{(100,50)} = 0.14(100)+75 = 89$

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips saladas de 100 a 101 mientras se mantiene fija la producción de chips naturales en 50, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 89 Ps.

Por otra parte, calculamos la derivada parcial de la función $c$ respecto a $y$ .

$\dfrac{\partial c}{\partial y} = 85$

y evaluando esta función en el punto $(100,50)$ obtenemos:

$\left. \dfrac{\partial c}{\partial y} \right|_{(100,50)} = 85$

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips naturales de 50 a 51 mientras se mantiene fija la producción de chips saladas en 100, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 85 Ps.

Derivadas Parciales de Orden Superior

02.04.202024.11.2023 Anthonny Arias-García2 comentarios

Notación para Derivadas Parciales de Orden Superior
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1
  2. Ejemplo 2

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Notación para Derivadas Parciales de Orden Superior

Podemos calcular derivadas parciales de orden superior teniendo en cuenta cual es la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma, una vez que hemos calculado de la derivada de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $x$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x}$ ; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable $x$ y para esto usamos la siguiente notación:

$\displaystyle \dfrac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable $y$ y usamos la siguiente notación:

$\displaystyle \dfrac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Una vez que hemos calculado de la derivada de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $y$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial y}$ ; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable $x$ y para esto usamos la siguiente notación:

$\displaystyle \dfrac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la varaible $y$ y usamos la siguiente notación:

$\displaystyle \dfrac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Cuando estamos aprendiendo a calcular derivadas parciales y más aún, de orden superior; es normal que uno se enrede con tantas variables. Con el diagrama que veremos a continuación se puede entender con un poco más de claridad que variables debemos considerar al derivar:

Diagrama Derivadas Parciales de Orden Superior | totumat.com

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Otra notación que puede ser útil para aligerar la escritura de las derivadas parciales consiste en escribir la función y usar un subíndice sobre esta para indicar cual es la variable respecto a la cual estamos derivando de la siguiente forma:

$f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}$

Podemos así, denotar las derivadas de orden superior como sigue:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (f_x)_x = f_{xx}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = (f_x)_y = f_{xy}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (f_y)_y = f_{xx}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (f_y)_x = f_{yx}$

En vista de esto, podemos replantear el diagrama visto anteriormente usando esta nueva notación:

Veamos con algunos ejemplos como calcular derivadas parciales de orden superior.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea $f(x,y)=2x^6+y^2 - 8$ una función definida en varias variables, calcule $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ .

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de $f$ respecto a la variable $x$ :

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x} \; = \; \dfrac{\partial (2x^6+y^2 - 8)}{\partial x}$

$\displaystyle = \; \dfrac{\partial (2x^6)}{\partial x} + \dfrac{\partial (y^2)}{\partial x} - \dfrac{\partial (8)}{\partial x}$

$\displaystyle = \; 12x^5 + 0 - 0$

$\displaystyle = \; 12x^5$

Calculamos entonces la derivada de la función $\frac{\partial f}{\partial x}=2x^5$ respecto a la variable $x$ .

$\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial x} \; = \; 60x^4$

Supongamos que queremos calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ , entonces debemos calcular la derivada de la función $\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x^5$ respecto a la variable $y$ :

$\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial y} \; = \; 0$

Ejemplo 2

Sea $f(x,y)=5\sqrt{xy} - x^3y + 6x + 2$ una función definida en varias variables, calcule $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ .

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de $f$ respecto a la variable $y$ :

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y} \; = \; \dfrac{\partial (5\sqrt{xy} - x^3y + 6x + 2)}{\partial y}$

$\displaystyle = \; \dfrac{\partial (5\sqrt{xy})}{\partial y} - \dfrac{\partial (x^3y)}{\partial y} + \dfrac{\partial (6x)}{\partial y} + \dfrac{\partial (2)}{\partial y}$

$\displaystyle = \; 5\dfrac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x - x^3 + 0 + 0$

$\displaystyle = \; \dfrac{5}{2}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3$

Este último paso se debe a que $\frac{1}{\sqrt{xy}} \cdot x = \frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Calculamos entonces la derivada de la función $\dfrac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3$ respecto a la variable $y$ .

$\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \; = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 \right) }{\partial y}$

$\displaystyle = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right) }{\partial y} - \dfrac{\partial (x^3)}{\partial y}$ *

$\displaystyle = \; \dfrac{5}{2}\sqrt{x} \left( \dfrac{-1}{2\sqrt{y^3}} \right) - 0$

$\displaystyle = \; -\dfrac{5\sqrt{x}}{4\sqrt{y^3}}$

*Note que al $x$ comportarse como una constante, es conveniente separarla de la variable $y$ , ya que de este modo es más fácil de derivar el producto.

Supongamos que queremos calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ , entonces debemos calcular la derivada de la función $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3$ respecto a la variable $x$ :

$\displaystyle \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \; = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 \right) }{\partial x}$

$\displaystyle = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right) }{\partial x} - \dfrac{\partial (x^3)}{\partial x}$

$\displaystyle = \; \frac{5}{2 \sqrt{y}} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 3x^2$

$\displaystyle = \; \frac{5}{4 \sqrt{y} \sqrt{x}} - 3x^2$

$\displaystyle = \; \frac{5}{4 \sqrt{xy}} - 3x^2$

Derivadas Parciales

01.04.202010.07.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas pero estas funciones definen superficies en el espacio, así que en un punto de ellas existen infinitas rectas tangentes. Entonces, ¿cuál de todas las rectas tangentes será la que define la derivada?

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Interpretación gráfica de la Derivada Parcial

Para hacer un estudio marginal de una función definida en dos variables será necesario fijar una variable y variar la otra. Gráficamente lo que ocurre es al fijar una de las variables, estaremos cortando nuestra superficie con un plano y sobre este plano se proyectará una curva sobre la cual sí podremos hacer un estudio tal como lo hemos hecho antes.

Para entender lo que ocurre veamos un caso particular, consideremos la función $f(x,y)=x^2+y^2$ . Si fijamos la variable $y$ , digamos que $y=1$ , entonces la función se expresará de la forma

$f(x,1) = f(x) = x^2 + 1$

Notando que depende de sólo una variable, esta función estará definida en un plano paralelo al plano $XZ$ que pasa por el punto $(0,1,0)$ y corta a la superficie que define $f(xy)$ como se ve a continuación:

Notación de la Derivada Parcial

Tomando en cuenta esto, definimos de forma general la Derivada Parcial de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $x$ como la derivada de la función $f(x,y)$ una vez que se ha fijado la variable $y$ y la denotamos con

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$

De igual forma, definimos de forma general la derivada parcial de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $y$ como la derivada de la función $f(x,y)$ una vez que se ha fijado la variable $x$ y la denotamos con

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$

Definiendo las derivadas parciales de esta forma, podemos usar todas las reglas de derivación que se han establecido para el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.