Sucesiones Aritméticas

20.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-García3 comentarios

Uno de los mayores atractivos en el estudio de las sucesiones es su aplicabilidad en distintos ámbitos de la ciencia, ingeniería, economía y ámbitos sociales. Por lo que resulta necesario estudiar de forma detallada el comportamiento de algunas sucesiones en particular. En este caso veremos que hay sucesiones que se generan sumando el mismo número de forma iterada.

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Definición de Sucesión Aritmética

Las sucesiones aritméticas (o progresiones aritméticas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se suma una razón repetidas veces. Formalmente, diremos que $\{ a_n \}_{n}$ es una sucesión aritmética si

$a_n = a_1 + r \cdot (n-1)$

Diremos que el primer elemento de la sucesión, $a_1$ es la base de la sucesión y, diremos que el número real $r$ es la razón de la sucesión, podemos notar que este último está determinado por la diferencia entre dos elementos consecutivos de la sucesión.

Consideremos en los siguientes ejemplos, algunas sucesiones aritméticas para tener una idea más concreta de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 1$ y su razón será $r = 1$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 1 + 1 \cdot (n-1)$

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\{5,8,11,14,17,20, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 5$ y su razón será $r = 3$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 5 + 3 \cdot (n-1)$

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\{-4,-14,-24,-34,-44,-54, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = -4$ y su razón será $r = -10$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = -4 -10 \cdot (n-1)$

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\{8,1,-6,-13,-20,-27, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 8$ y su razón será $r = -7$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 8 -7 \cdot (n-1)$

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\{7,9,11,13,15,17, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 7$ y su razón será $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 7 + 2 \cdot (n-1)$

Considerando la razón de una sucesión aritmética podemos determinar el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

Si la razón de la sucesión es positiva, es decir, $r > 0$ , entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será divergente hacia más infinito.
Si la razón de la sucesión es negativa, es decir, $r < 0$ , entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será divergente hacia menos infinito.

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Cómo determinar la fórmula general de una Sucesión Aritmética

Si bien hemos visto que a partir de dos elementos consecutivos de una sucesión aritmética podemos determinar la razón de la sucesión y a partir de esta podemos determinar la base de la sucesión, es posible determinar la fórmula general de una sucesión aritmética considerando dos elementos cualesquiera de esta.

Formalmente, si consideramos dos elementos de una sucesión aritmética $a_i = a_1 + (i-1) \cdot r$ y $a_j = a_1 + (j-1) \cdot r$ , podemos determinar el valor de $a_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 6

Considerando $a_{76} = 93$ y $a_{35} = -95$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(41) \cdot r = 188$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 188 }{ 41 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-10287}{41}$ y de $r = \frac{188}{41}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-10287}{41} + (n-1) \cdot \frac{188}{41}$

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Ejemplo 7

Considerando $a_{96} = 38$ y $a_{59} = 57$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(37) \cdot r = -19$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ -19 }{ 37 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{3211}{37}$ y de $r = \frac{-19}{37}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{3211}{37} + (n-1) \cdot \frac{-19}{37}$

Ejemplo 8

Considerando $a_{64} = -5$ y $a_{51} = -98$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(13) \cdot r = 93$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 93 }{ 13 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-5924}{13}$ y de $r = \frac{93}{13}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-5924}{13} + (n-1) \cdot \frac{93}{13}$

Ejemplo 9

Considerando $a_{20} = -98$ y $a_{99} = -69$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-79) \cdot r = -29$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ -29 }{ -79 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-8293}{79}$ y de $r = \frac{29}{79}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-8293}{79} + (n-1) \cdot \frac{29}{79}$

Límite de una Sucesión

15.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Al estudiar el comportamiento de diversas sucesiones, notaremos que existen sucesiones cuyos elementos parecieran acumularse alrededor de un solo punto a medida que crece el valor de $n$ y es posible definir formalmente este comportamiento.

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Convergencia y Divergencia de Sucesiones

Diremos que una sucesión $a_n$ es convergente, e incluso siendo más específicos, diremos que una sucesión converge hacia un número real $L$ , si

Para todo número $\varepsilon > 0$ , existe un número $n_0$ tal que si $n > n_0$ entonces $|a_n - L| < \varepsilon$

En este caso, diremos que $L$ es el límite de la sucesión $a_n$ o que $a_n$ tiende a $L$ . Esta afirmación se puede escribir con notación matemática para mayor comodidad de la siguiente forma:

$\lim \ a_n = L$

En caso contrario, diremos que la sucesión es no-convergente, y más aún, en el caso que la sucesión crezca de forma indefinida, diremos que la sucesión es divergente y lo escribimos de la siguiente forma:

$\lim \ a_n = \infty$

Nuestro propósito será el de determinar el límite de sucesiones, veamos entonces el límite de algunas sucesiones cuyo límite surge de forma intuitiva a partir de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine el límite de la sucesión $\{ 3 \}_{n}$ . Esta es una sucesión constante, así que

$\lim \ 5 = 5$

Ejemplo 2

Determine el límite de la sucesión $\{ n \}_{n}$ . La sucesión de los números reales crece de forma indefinida por lo que está diverge, así que

$\lim \ n = \infty$

Ejemplo 3

Determine el límite de la sucesión $\{ \frac{1}{n} \}_{n}$ . La sucesión de proporcionalidad inversa se acerca al cero a medida que crece el valor de $n$ , así que

$\lim \ \frac{1}{n} = 0$

Ejemplo 4

Determine el límite de la sucesión $\{ (-1)^n \}_{n}$ . Esta sucesión alternante no converge pues si consideramos los valores pares de $n$ , la sucesión tiende a uno, por otra parte, si consideramos los valores impares de $n$ , la sucesión tiende a menos uno, así que $\lim \ (-1)^n$ no existe.

Operaciones entre límites

Si bien en estos ejemplos consideramos sucesiones donde a simple vista podemos estudiar su límite, no siempre será así, por esto es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre sucesiones, podemos definir algunas propiedades. Formalmente, si $\{ a_n \}_n$ y $\{ b_n \}_n$ son dos sucesiones cuyos límites son $L$ y $M$ y, $c$ es un número real, entonces

Si bien estas propiedades aligeran el cálculo de límites, estos cálculos no presentará dificultad alguna cuando las sucesiones involucradas son convergentes. Veamos una lista de propiedades para tomar en cuenta cuando alguna de las sucesiones involucradas es divergente.

Si $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ son dos sucesiones divergentes; $\{ c_n \}$ y $\{ d_n \}$ dos sucesiones que tienden a $c_0 \neq 0$ y a cero respectivamente; entonces consideremos las siguientes operaciones

Suma

La resta de infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

El producto de cero por infinito será indeterminado. Hay que considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

División

La división entre infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero será indeterminada pues se debe considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con $(IND)$ los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considere la sucesión $\left\{ n + 5 \right\}_{n}$ , calcule su límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\lim \ n + 5 = \infty + 5 = \infty$

Ejemplo 6

Considere la sucesión $\left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}$ , calcule su límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\lim \ 3n^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty$

Ejemplo 7

Considere la sucesión $\left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}$ , calcule su límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\lim \ 4n^3 + 6(n-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty$

Ejemplo 8

Considere la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} - \frac{3}{n} + 7 \right\}_{n}$ , calcule su límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\lim \ \frac{1}{n} - \frac{3}{n+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7$

Ejemplo 9

Considere la sucesión $\left\{ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} \right\}_{n}$ , calcule su límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\lim \ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty$

Ejemplo 10

Considere la sucesión $\left\{ (n+2)^{n^2-6} \right\}_{n}$ , calcule su límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\lim \ (n+2)^{n^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty$

Supremo e Ínfimo de una sucesión

09.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar las cotas de una sucesión, existen elementos que acotan a la sucesión con mayor rigurosidad que cualquier otra cota, estos son conocidos como el ínfimo y el supremo, veamos como están definidos y como identificarlos.

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Supremo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada superiormente, diremos que el supremo de esta sucesión es la menor de las cotas superiores, o en otras palabras, es el mínimo del conjunto de todas sus cotas superiores. Formalmente, diremos que una cota superior $C_0$ es el supremo de una sucesión $a_n$ , si $C_0 \leq C$ para toda cota superior $C$ de la sucesión $a_n$ . Usualmente se denota con $sup(a_n)$ .

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} = \{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será $sup(a_n)=-1$ , pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será $sup(a_n)=1$ , pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será $sup(a_n)=1$ , pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene máximo, sin embargo, sí tiene supremo pues toda sucesión acotada superiormente, tiene supremo. Lo hemos señalado con una línea roja.

Ínfimo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada inferiormente, diremos que el ínfimo de esta sucesión es la mayor de las cotas inferiores, o en otras palabras, es el máximo del conjunto de todas sus cotas inferiores. Formalmente, diremos que una cota inferior $c_0$ es el ínfimo de una sucesión $a_n$ , si $c_0 \geq r$ para toda cota inferior $r$ de la sucesión $a_n$ . Usualmente se denota con $inf(a_n)$ .

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será $inf(a_n)=1$ , pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será $inf(a_n)=3$ , pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será $inf(a_n)=0$ , pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene mínimo, sin embargo, sí tiene ínfimo pues toda sucesión acotada inferiormente, tiene ínfimo. Lo hemos señalado con una línea roja.

Máximo y Mínimo de una sucesión

07.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar las cotas de una sucesión, estos números tenían la libertad de pertenecer o no a la sucesión. A continuación, estudiaremos dos elementos que acotan a la sucesión pero que además, deben estar dentro de la sucesión.

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Máximo de una Sucesión

Diremos que una sucesión tiene el elemento máximo si existe un elemento de la sucesión que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, diremos que $M$ es el máximo de una sucesión $a_n$ si $M \in \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ y $a_n \leq M$ para todo número natural $n$ . En otras palabras, el máximo de la sucesión es una cota superior que está dentro de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos del máximo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , tiene máximo, pues si consideramos $M=-1$ , este valor es el elemento más grande de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , tiene máximo, pues si consideramos $M=1$ , este valor es el elemento más grande de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión aunque pareciera acercarse a uno, no tiene máximo. Veamos su comportamiento de forma gráfica:

Lo que podemos notar es que aunque la sucesión es creciente, esta nunca alcanzará un punto máximo.

Mínimo de una Sucesión

Diremos que una sucesión tiene el elemento mínimo si existe un elemento de la sucesión que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, diremos que $m$ es el mínimo de una sucesión $a_n$ si $m \in \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ y $a_n \geq m$ para todo número natural $n$ . En otras palabras, el mínimo de la sucesión es una cota inferior que está dentro de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos del máximo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , tiene mínimo, pues si consideramos $m=1$ , este valor es el elemento más pequeño de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica y señalemos con un punto rojo el elemento máximo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} =\{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , tiene mínimo, pues si consideramos $m=3$ , este valor es el elemento más pequeño de la sucesión. Veamos su comportamiento de forma gráfica y señalemos con un punto rojo el elemento máximo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión aunque pareciera acercarse a cero, no tiene mínimo. Veamos su comportamiento de forma gráfica para ilustrar esta idea:

Lo que podemos notar es que aunque la sucesión es decreciente, esta nunca alcanzará un punto mínimo.

Sucesiones Acotadas

06.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Otro aspecto importante en el estudio de las sucesiones es saber cuales son los elementos que las encajonan, ya que de esta forma, podemos establecer con más claridad el espacio donde estas se desarrollan.

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Cotas Superiores

Una cota superior (o elemento mayorante) de una sucesión es un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $C$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \leq C$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota superior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada superiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $1$ , $0$ , $9$ o $3572$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $-1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $3$ , $2$ , $14$ o $1000$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $2$ , $33$ , $97$ o $751$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

Cotas Inferiores

Una cota inferior (o elemento minorante) de una sucesión es un número real que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $c$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \geq c$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota inferior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada inferiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-1$ , $0$ , $-34$ o $0.5$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $1$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $2$ , $-839$ , $1.5$ o $-55$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $3$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-2$ , $-10$ , $-7.98$ o $-457$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $0$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Sucesiones Acotadas

De forma general, diremos que una sucesión está acotada si está acotada tanto superior como inferiormente. Formalmente, diremos que una sucesión $a_n$ está acotada si existe un par de números reales $r$ y $R$ tales que $r \leq a_n \leq R$ para todo número natural $n$ . Por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y vemos su comportamiento de forma gráfica:

Podemos notar que esta sucesión está acotada superiormente por cualquier número mayor que 1 y está acotada inferiormente por cualquier número menor que -1.

También hay sucesiones que no están acotadas (ni superior ni inferiormente), por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ n(-1)^{n-1} \right\}_{n} = \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots\}$ y viendo su comportamiento de forma gráfica:

Es fácil notar que esta sucesión no está acotada.

Definición de Sucesión Aritmética

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Cómo determinar la fórmula general de una Sucesión Aritmética

Ejemplos

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Comparte

Convergencia y Divergencia de Sucesiones

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Operaciones entre límites

Suma

Producto

División

Potencias

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Comparte

Supremo de una Sucesión

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ínfimo de una Sucesión

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Comparte

Máximo de una Sucesión

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Mínimo de una Sucesión

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Comparte

Cotas Superiores

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Cotas Inferiores

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Sucesiones Acotadas

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