Ecuación Lineal de Costos Totales

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-García4 comentarios

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. En vista de que estos tapabocas no aparecerán por arte de magia para que usted los venda, debe tomar en cuenta la cantidad de dinero que debe invertir para comprar los materiales necesarios y en tal caso que requiera de la ayuda de alguien, debe pagar a esa persona por sus servicios.

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Producir un bien requiere de una inversión de dinero, esta inversión de dinero se conoce como costos de producción y se puede cuantificar a usando modelos matemáticos, pero para esto debemos tener en cuenta que estos se pueden catalogar de dos formas:

Costos variables que varían dependiendo principalmente de la cantidad de unidades producidas de dicho bien (nivel de producción) y aunque también pueden depender de otros factores, por ahora nos enfocaremos sólo en el nivel de producción. Usualmente se representan con la variable $c_v$ .
Costos fijos que permanecen constantes a través del tiempo, tal como alquiler de locales, salarios de administración, pago de servicios, pago de seguros, etc; y deben pagarse incluso si hay producción o no. Usualmente se representan con la variable $c_f$ .

Considerando esto, definimos costos totales como la suma de los costos variables y los costos fijos. Formalmente, si identificamos los costos totales con la variable $c_t$ o simplemente $C$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$c_t = c_v + c_f$

Si consideramos el caso en el que los costos variables dependen únicamente del nivel de producción, podemos estudiar la relación que guarda la cantidad de unidades producidas de un artículo con los costos totales y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por los costos totales, $C$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

De forma muy particular, el caso en el que los costos variables son proporcionales al nivel de producción, de forma que si el costo de producir una unidad es de $m$ , entonces los costos variables de producir $q$ unidades están expresados de la siguiente forma:

$c_v = m \cdot q$

A partir de este hecho y representando los costos fijos con una constante $b$ para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente forma:

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades producidas, también aumentan los costos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

En una fábrica de harina de trigo, el costo de fabricar cada kilo de harina es de $0,3$ Ps. y diariamente, los costos fijos de esta empresa son de $40$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir $60$ kilos?

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Considerando que el costo de cada kilo de harina es de $0,3$ Ps., concluimos que los costos variables están expresados como $c_v = 0,3 \cdot q$ , y además, los costos fijos son de $40$ Ps. De esta forma, podemos expresar la ecuación lineal de costos totales de la siguiente forma:

$C = 0,3q + 40$

Para determinar el costo de fabricar $60$ kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor $q=60$ en ella, de la siguiente forma

$C = 0,3(60) + 40 = 18 + 40 = 58$

Por lo tanto, el costo de fabricar $60$ kilos de harina es de $58$ Ps.

La recta $C = 0,3q + 40$ es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto $(60,58)$ .

Ejemplo 2

Suponga que para un agricultor, el costo de cultivar y cosechar $10$ kilo de zanahoria es de $120$ Ps., y el de $20$ kilos de zanahoria es de $180$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de cultivar y cosechar $30$ kilos?

Debemos considerar que si el costo total es de $120$ Ps. para $10$ kilos, podemos representar esta información como un punto $(C,q)$ el plano cartesiano donde $q=10$ y $C=120$ , es decir, el punto $(10,120)$ ; de igual forma, si el costo total es de $18$ Ps. para $20$ kilos, podemos representar esta información con el punto $(20,180)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (10,120)$ y $P_2 = (20,180)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{180 - 120}{20 - 10}$
$= \ \frac{60}{10}$
$= \ 6$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (C - 120) = 6 \cdot (q - 10)$
$\Rightarrow \ C - 120 = 6 \cdot q - 60$
$\Rightarrow \ C = 6 \cdot q - 60 + 120$
$\Rightarrow \ C = 6 \cdot q + 60$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar el costo de cultivar y cosechar $30$ kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor $q=30$ en ella, de la siguiente forma

$C = 6 \cdot (30) + 60 = 180 + 60 = 240$

Por lo tanto, el costo de cultivar y cosechar $30$ kilos de zanahoria es de $240$ Ps.

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Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos, el costo producir $5$ pares de zapatos para dama es de $150$ Ps., y el de $13$ pares de zapatos es de $310$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir $10$ pares de zapatos?

Debemos considerar que si el costo total es de $150$ Ps. para $5$ pares, podemos representar esta información como el punto $(5,150)$ ; de igual forma, si el costo total es de $310$ Ps. para $13$ pares, podemos representar esta información con el punto $(13,310)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si $P_1 = (5,150)$ y $P_2 = (13,310)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{310 - 150}{13 - 5}$
$= \ \frac{160}{8}$
$= \ 20$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (C - 150) = 20 \cdot (q - 5)$
$\Rightarrow \ C - 150 = 20 \cdot q - 100$
$\Rightarrow \ C = 20 \cdot q - 100 + 150$
$\Rightarrow \ C = 20 \cdot q + 50$

Para determinar el costo de producir $10$ pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor $q=10$ en ella, de la siguiente forma

$C = 20 \cdot (10) + 50 = 20 + 50 = 70$

Por lo tanto, el costo de producir $30$ pares de zapatos para dama es de $70$ Ps.

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso lineal

06.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar $q_1$ unidades de dicho artículo.

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora comprarán las mismas $q_1$ unidades pagando cada unidad en un menor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un consumidor pensaba gastar $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda de la siguiente forma,

Pero como al final los consumidores están pagando un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de demanda, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por $q_0$ y si llamamos $D$ al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por $D - p_0$ .

Por lo tanto calculamos el excedente de los consumidores planteando la siguiente fórmula:

$E.C. \ = \ \frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2}$

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar $q_1$ unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.),

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora ofertarán las mismas $q_1$ unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un productor pensaba recibir $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la recta de oferta de la siguiente forma,

Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la recta de oferta de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de oferta, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por $q_0$ y si llamamos $O$ al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por $p_0 - O$ .

Por lo tanto calculamos el excedente de los productores planteando la siguiente fórmula:

$E.P. \ = \ \frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2}$

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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