Autor: Anthonny Arias-García

Sub-Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

Receta: Galletas de avena con pasas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Estudiar matemáticas puede resultar agotador, y en muchas ocasiones, por no decir todas, es necesario un aperitivo al tomar una pausa mientras organizamos nuestras ideas. Es por eso que les traigo esta sencilla receta de galletas de avena con pasas, son divinas y pueden acompañarse con cualquier bebida caliente.

Ingredientes

  • 1/2 Taza de Mantequilla (o Margarina)
  • 3/4 Taza de Azúcar Morena
  • 1/2 Taza de Azúcar Blanca
  • 2 Huevos
  • 1 Cucharadita de Vainilla
  • 1 Cucharadita de Polvo Para Hornear
  • 1 Cucharadita de Bicarbonato de Sodio
  • 1 Cucharada de Canela
  • 1 Pizca de Sal
  • 11/2 Taza de Harina Todo Uso
  • 3 Tazas de Avena
  • 1 Taza de Pasas

También pudiera interesarte

Preparación

  • Con una batidora, se bate la mantequilla con la azúcar hasta que esté cremosa; se continúa batiendo con la batidora.
Mantequilla y Azúcar
Se bate hasta que esté cremosa
  • Se añaden los huevos y la vainilla; se continúa batiendo en la batidora.
Huevos
Vainilla
Se bate
  • Se agrega la harina todo uso, el polvo para hornear, el bicarbonato de sodio, la canela y la sal; se continúa batiendo con la batidora.
Polvo para Hornear
Canela
Bicarbonato de Sodio
Sal
Harina
Se bate
Anuncios
  • Se agrega la avena y las pasas; se continúa batiendo, aunque en este punto, debe tener cuidado pues si su batidora no tiene mucha potencia, se puede quemar por lo espesa que es la mezcla, así que recomiendo batir a mano.
Avena
Pasas
Se mezcla
  • Cuando la mezcla esté homogénea, se toma una cucharada (15 gramos o tablespoon como medida exacta) de esta mezcla y se hace una bolita. De esta forma, alcanza para 40 unidades, aunque se pueden hacer menos unidades de mayor tamaño.
Anuncios
  • Se disponen las bolitas en una bandeja enmantequillada y enharinada (o en papel parafinado); se hornean durante 10 minutos a una temperatura de 175°C.

  • Una vez que se sacan del horno ellas estarán blandas, por lo tanto, es importante dejarlas reposar en una rejilla por unos pocos minutos para que endurezcan un poco.

Finalmente, les comparto fotografías de algunas galletas que horneé semanas atrás:

Notas

  • Las pasas se pueden sustituir por cualquier otro fruto deshidratado o confitado.
  • El polvo para hornear hace que las galletas crezcan.
  • El bicarbonato de sodio hace que las galletas se inflen (dándole esa textura explosiva), si se omite el bicarbonato de sodio, las galletas resultarán planas como se muestra en las siguientes imágenes:
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales Implícitas

Anthonny Arias-García2 comentarios
Anuncios

Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables. Derivando implícitamente, calcule las siguientes derivadas parciales:

\dfrac{\partial x}{\partial z}, \dfrac{\partial x}{\partial y}, \dfrac{\partial y}{\partial x}, \dfrac{\partial y}{\partial z}, \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}

  1. x=0
  2. 2x=1
  3. -3z=2
  4. 2x-3y+4z=3

  1. x+y=4
  2. x+z=5
  3. xy+xz+3=6
  4. x^2+ y^2+z^2=49

  1. \dfrac{7}{x}=8
  2. -\dfrac{5}{y}=9
  3. \dfrac{3}{z}=10x
  4. \dfrac{11}{x+3y-2z}=y

  1. \dfrac{x}{y}+\frac{x}{z}=-1
  2. 5\dfrac{x}{y}-3\frac{y}{z}=-2
  3. 6\dfrac{x+y}{xy}+10\frac{x+z}{xy}=-3
  4. \dfrac{2x-y}{x+8y}+z=-4

  1. 2\dfrac{x}{\sqrt{yz}}=-5
  2. -3\dfrac{\sqrt{xz}}{y}=-6
  3. 10\dfrac{x+y+2z}{xyz}=-7
  4. \dfrac{x-y+z}{5x+y-z}=-8
  1. \sqrt{x}yz=-9
  2. 6x\sqrt{yz}=-10
  3. 8\sqrt{x}\sqrt{y}=-xz
  4. \dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{y}} + zx^2y^2+20=x+y
  1. x^2+5x^4+y-2y^3+6z^7=2x+y+z
  2. x\sqrt{y}+x^3+y^2-z=3x
  3. \sqrt{z}\sqrt{x}\sqrt{y}=4y
  4. \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 10z^3 + 5x^2 -y^2-15=5y

  1. \ln(x)=-2x
  2. -3\ln(y)=-3x
  3. \ln(-z)=-4y
  4. \ln(3x-y+z)=-5y

  1. 2\ln(z)\ln(x)\ln(y)=x+y+z
  2. 3\ln(7y)+x^2-z^3=x-y+z
  3. -4\ln(xyz)-y^3=2x+2y
  4. 5\ln(x+y+z)+x^3+y^2+z=2x+3y+4z

  1. \textit{\Large e}^{x}=yz
  2. 2\textit{\Large e}^{y}=-2xz
  3. -6\textit{\Large e}^{z}=3xy
  4. \textit{\Large e}^{x+y+z}=-4xyz

  1. \textit{\Large e}^{2x^2+5x+2y^3 - y + 6z^5}=x^2
  2. \textit{\Large e}^{xz\sqrt{y}+x^3+y^2+z}=6y^3
  3. \textit{\Large e}^{\frac{x-y+z}{x+y-z}}=-z^4
  4. \textit{\Large e}^{\ln(x+y+z)+x^2+y^3+z^4}=4y^2
Anuncios

Solución

En los siguientes videos, se presenta el cálculo de la derivada de algunos de los ejercicios.

Ejercicio 23

Ejercicio 34

Ejercicio 41

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales

Anthonny Arias-García2 comentarios
Anuncios

Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables.

Calcule las siguientes derivadas parciales:

\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}

Posteriormente, calcule las siguientes derivadas parciales de orden superior:

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.

  1. f(x,y)=x
  2. f(x,y)=-2y
  3. f(x,y)=13xy
  4. f(x,y)=5 x^2 y^2

  1. f(x,y)=x+y
  2. f(x,y)=2y-x
  3. f(x,y)=3xy+8\frac{x}{y}+3
  4. f(x,y)=5x^2 - 2y^2+xy

  1. f(x,y)=\frac{1}{x}
  2. f(x,y)=-\frac{3}{y}
  3. f(x,y)=\frac{7}{xy}
  4. f(x,y)=\frac{15}{x+y}

  1. f(x,y)=\frac{2y}{x}
  2. f(x,y)=\frac{x}{5y}
  3. f(x,y)=\frac{7x+y}{2xy}
  4. f(x,y)=\frac{x-4y}{x+y}

  1. f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{y}}
  2. f(x,y)=\frac{7\sqrt{x}}{y}
  3. f(x,y)=-\frac{x+5y}{xy}
  4. f(x,y)=\frac{x-y}{9x+y}

  1. f(x,y)=\sqrt{x}y
  2. f(x,y)=-x\sqrt{y}
  3. f(x,y)=4\sqrt{x}\sqrt{y}
  4. f(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20
  1. f(x,y)=x^2+5x^4+y-2y^3+6
  2. f(x,y)=5x\sqrt{y}+2x^3-y^2
  3. f(x,y)=10\sqrt{x}\sqrt{y}
  4. f(x,y)=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15

  1. f(x,y)=\ln(x)
  2. f(x,y)=\ln(5y)
  3. f(x,y)=-\ln(3xy)
  4. f(x,y)=\ln(3x+10y)

  1. f(x,y)=2\ln(x) \ln(y)
  2. f(x,y)=3\ln(y)-x^2
  3. f(x,y)=4\ln(xy)-y^3
  4. f(x,y)=5\ln(x+y)+8x^3+y^2

  1. f(x,y)={\rm e}^{x}
  2. f(x,y)=-{\rm e}^{y}
  3. f(x,y)=19{\rm e}^{xy}
  4. f(x,y)=-12{\rm e}^{x+y}

  1. f(x,y)={\rm e}^{2x^2+5x+y-2y^3+6}
  2. f(x,y)={\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}
  3. f(x,y)={\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}
  4. f(x,y)={\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivación Implícita

Anthonny Arias-García2 comentarios
Anuncios

Para cada una de las siguientes funciones, calcule x' y y' derivando implícitamente.

  1. x=0
  2. -y=1
  3. 5xy=2
  4. -4x^2 y^2=3

  1. x+y=4
  2. 3y-x=5
  3. 5xy+11\frac{x}{y}+3=6
  4. 6x^2 - 2y^2 + 9xy=7

  1. \frac{1}{x}=8
  2. -\frac{2}{y}=9
  3. \frac{7}{xy}=10x
  4. \frac{9}{x+y}=-y

  1. \frac{y}{x}=-1
  2. -\frac{x}{y}=-2
  3. \frac{3x+y}{7xy}=-3
  4. \frac{x-5y}{x+y}=-4

  1. \frac{3x}{\sqrt{y}}=-5
  2. \frac{\sqrt{x}}{10y}=-6
  3. \frac{6x+8y}{xy}=-7
  4. \frac{x-5y}{2x+y}=-8

  1. 3\sqrt{x}y=-9
  2. -4x\sqrt{y}=-10
  3. 8\sqrt{x}\sqrt{y}=-x
  4. 10\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20=3x+y
  1. x^2+5x^4+y-2y^3+6=2x
  2. x\sqrt{y}+x^3+y^2=3x
  3. \sqrt{x}\sqrt{y}=4y
  4. \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15=5y

  1. \ln(x)=-2x
  2. -2\ln(y)=-3x
  3. 7\ln(xy)=-4y
  4. 15\ln(x+y)=-5y

  1. 2\ln(x)\ln(y)=x+y
  2. 3\ln(y)+x^2=x-y
  3. 7\ln(xy)-y^3=2x+2y
  4. 5\ln(x+y)+x^3+y^2=2x+3y

  1. {\rm e}^{x}=xy
  2. -2{\rm e}^{y}=2xy
  3. 7{\rm e}^{xy}=3xy
  4. -9{\rm e}^{x+y}=4xy

  1. {\rm e}^{2x^2+5x-2y^3+y+6}=x^2
  2. {\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}=x^3
  3. {\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}=y^4
  4. {\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}=y^2

Diferenciales

Anthonny Arias-García5 comentarios
  1. Diferencia de una función
  2. Diferencial de una función
  3. Relación entre diferenciales y diferencias
  4. Cálculo del diferencial de una función
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

También pudiera interesarte

Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función y=f(x) diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor x en el dominio de ella, y x+h un valor incrementado de x, definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

\Delta_x = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de f(x) y f(x+h); definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

\Delta_y = f(x+h) - f(x)

Es decir, la diferencia en y mide cuanto varía la función cuando la variable x varía con medida igual a la diferencia en x.

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula «\Delta» pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia \Delta_x, el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función f(x):

\frac{\Delta_y}{\Delta_x}

Debemos recordar que la derivada de la función f(x) está definida de la siguiente forma:

\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}

Anuncios

Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función y=f(x) en el punto \left( x, f(x) \right), llamémosla t(x). Si consideramos un valor x, y x+h un valor incrementado de x, definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

dx = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de t(x) y t(x+h); definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

dy = t(x+h) - t(x)

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x, es la derivada de la función f(x):

\frac{dy}{dx} = f'(x)

De esta igualdad, podemos despejar dy y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función y=f(x):

dy = f'(x) \cdot dx

Es decir, el diferencial de y mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable x presenta un incremento con medida igual al diferencial de x.

Anuncios

Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en x y el diferencial de x son exactamente el mismo elemento, es decir, \Delta_x = dx; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre \Delta_y y dy.

Hemos dicho que el cociente \frac{\Delta_y}{\Delta_x} se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real \alpha que depende de \Delta_x que nos permite establecer la siguiente relación:

\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por \Delta_x, despejamos \Delta_y obteniendo que

\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por f'(x) \cdot dx, que es justamente dy, nos damos cuenta que \alpha \cdot dx que representa el excedente sobre dy. Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x).

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que \Delta_y = dy + \alpha \cdot dx, a medida que se hace pequeño el diferencial dx también lo hará \alpha, y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto \alpha \cdot dx. Por lo tanto,

Si dx \to 0, entonces \Delta_y \to dy

Concluimos entonces, que el diferencial de y es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de y, es decir,

\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx

Anuncios

Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función y=f(x), el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

dy ó df

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función y = x^2, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 2x \ dx

Ejemplo 2

Considerando la función y = 6x^{10} + 13x + 20, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = (60x^9 + 13) \ dx

Ejemplo 3

Considerando la función y = \textit{\Large e}^{3x^5}, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx

Ejemplo 4

Considerando la función y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10), para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx