Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?

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Matriz escalonada reducida

Diremos que una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:

Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que

Si $a_{ij}=0$ para todo $i$ , entonces, $a_{kj}=0$ para todo $i$ , donde $j \leq k \leq m$ .

Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que

Si $a_{ij} \neq 0$ y $a_{kj}=0$ para todo $k < i$ , entonces $a_{ij} = 1$

Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que

Si las filas $i$ y $j$ son distintas de cero tales que $i < j$ y; $a_{ip}$ y $a_{jq}$ son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces $p < q$ .

Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que

Si $a_{ij} \neq 0$ y $a_{kj}=0$ para todo $k < i$ , entonces $a_{ih} = 0$ para todo $h \neq j$ .

Al elemento $a_{ij} = 1$ se le conoce como el uno principal de la fila.

Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz de tamaño $2 \times 2$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Ejemplo 2

La matriz de tamaño $3 \times 3$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Ejemplo 3

La matriz de tamaño $3 \times 4$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 4

La matriz de tamaño $4 \times 5$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.

Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz de tamaño $2 \times 2$ . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Dividimos la fila $1$ por -1

Restamos la fila $1$ multiplicada por 4 a la fila $2$

Dividimos la fila $2$ por -8

Restamos la fila $2$ multiplicada por 2 a la fila $1$ y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 6

Considerando la matriz de tamaño $3 \times 3$ . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Dividimos la fila $1$ por $-3$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-6$ a la fila $2$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-3$ a la fila $3$

Intercambiamos la fila $2$ por la fila $3$

Dividimos la fila $2$ por $-7$

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila $3$ por $11$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $\frac{4}{3}$ a la fila $1$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $-\frac{8}{7}$ a la fila $2$ y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 7

Considerando la matriz de tamaño $3 \times 4$ . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Dividimos la fila $1$ por $-1$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-2$ a la fila $2$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-8$ a la fila $3$

Dividimos la fila $2$ por $-16$

Restamos la fila $2$ multiplicada por $-5$ a la fila $1$

Restamos la fila $2$ multiplicada por $-48$ a la fila $3$

Dividimos la fila $3$ por $-6$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $\frac{13}{16}$ a la fila $1$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $-\frac{23}{16}$ a la fila $2$ y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

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Operaciones elementales por fila

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación $f_i \longleftrightarrow f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la fila $3$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

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Suma de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{31}$ es igual a $-3$ .

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{51}$ es igual a $11$ .

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si $i$ es una fila de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la fila $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow k \cdot f_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la fila $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la fila $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la fila $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la fila $5$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Matrices equivalentes por filas

Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz $B$ se obtiene a partir de una matriz $A$ a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices $A$ y $B$ son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

$A \stackrel{f}{\sim} B$

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ , haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad $\mathbf{I}$ .

Método de Reducción Gaussiana | totumat.com

Operaciones elementales por columna

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación $c_i \longleftrightarrow c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la columna $3$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Suma de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ , entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si $i$ es una columna de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la columna $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow k \cdot c_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la columna $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la columna $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Matriz escalonada reducida

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

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Operaciones elementales por fila

Intercambio de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Suma de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Matrices equivalentes por filas

Ejemplo

Operaciones elementales por columna

Intercambio de columnas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 17

Ejemplo 18

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Suma de columnas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 21

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Ejemplo 24

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 25

Ejemplo 26

Ejemplo 27

Ejemplo 28

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 29

Ejemplo 30

Ejemplo 31

Ejemplo 32

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