Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (1 de 2)

31.01.202006.02.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

La Indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando $x$ tiende al infinito, entonces el límite de la división entre estas dos funciones presenta una indeterminación

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$

Consideremos de forma particular en el que $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones polinomiales que tienden a infinito cuando $x$ tiende a infinito. El método para determinar este tipo de límites consiste en dividir por $x^n$ en el numerador y en el denominador, donde $n$ es el mayor grado involucrado en el límite. Veamos con algunos ejemplos como desarrollar este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $2$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^2$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2 - 1}{x^2}}{\frac{2x + 1}{x^2}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\infty} = 0$ , $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = \frac{2}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\frac{1 - 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty$

Donde la fracción $\frac{1}{0}$ servirá como indicador de que el numerador crece con mayor velocidad que el denominador, por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \infty$ .

Ejemplo 2

\item Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $3$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^3$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3 - x + 4}{x^3}}{\frac{4x^3 + 6x^2 +10}{x^3}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{4}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{6x^2}{x^3} + \frac{10}{x^3}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 + \frac{6}{x} + \frac{10}{x^3}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\dfrac{1 - 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \dfrac{1}{4}$

Por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{1}{4}$ .

Ejemplo 3

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $4$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^3$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2 - 2x - 7}{x^4}}{\frac{12x^4 - 9x^2 + 2}{x^4}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2}{x^4} - \frac{2x}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\frac{12x^4}{x^4} - \frac{9x^2}{x^4} + \frac{2}{x^4}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^3} - \frac{7}{x^4} }{12 - \frac{9}{x^2} + \frac{2}{x^4}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\dfrac{0 - 0 - 0}{12 + 0 + 0} = \dfrac{0}{12} = 0$

Donde la fracción $\frac{0}{12}$ servirá como indicador de que el denominador crece con mayor velocidad que el numerador, por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = 0$ .

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La regla general

Considerando estos tres últimos ejemplos, podemos notar que si consideramos dos polinomios que están definidos de la siguiente forma:

$P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$
$Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$

Entonces, el límite de la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ cuando $x$ tiende a infinito estará determinado de la siguiente forma:

Será igual a $\infty$ si $m>n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el numerador crece con mayor velocidad.
Será igual a $\frac{a_m}{b_n}$ si $m=n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es igual que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto ambos crecen a la misma velocidad.
Será igual a $0$ si $m<n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el denominador crece con mayor velocidad.

Grado de una función

27.01.202008.04.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

El grado de un polinomio

Habiendo definido los polinomios, es posible definir funciones a partir de ellos. Formalmente, definimos una función polinómica como una función $P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ de la siguiente forma:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

A los números $a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio, $a_n$ será el coeficiente principal y $a_0$ será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica $P(x)$ como el mayor exponente $n$ involucrado. En algunos textos se denota con la expresión $gr(P)$ , $d(P)$ ó $deg(P)$ .

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable $x$ y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

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El grado de una función algebraicas

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Entonces, diremos que su grado es $\frac{1}{n}$ . Más aún, si $P(x)$ es una función algebraica de grado $m$ entonces si consideramos la función

$f(x) = \sqrt[n]{P(x)}$

Entonces el grado de la función $f(x)$ es igual a $\frac{m}{n}$ .

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El grado de una función trascendente

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier función algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar $P(x)$ una función algebraica de grado $m$ y $Q(x)$ una función algebraica de grado $n$ , con $m>n$ , entonces el grado de $f(x) \pm g(x)$ es igual a $m$ .

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar $P(x)$ una función algebraica de grado $m$ y $Q(x)$ una función algebraica de grado $n$ , entonces el grado de $f(x) \cdot g(x)$ es igual a $m + n$ .

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar $f(x)$ una función de grado $m$ y $g(x) \neq 0$ una función de grado $n$ , entonces el grado de $\frac{f(x)}{g(x)}$ es igual a $m - n$ .

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.