Ecuaciones Exponenciales

18.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar las propiedades de las potencias, resulta de particular interés el caso en que fijamos la base y variamos el exponente, a las expresiones que definen este tipo de situaciones las llamamos expresiones exponenciales. Formalmente, si consideramos un valor desconocido $x$ y una base $a$ , entonces

$a^{x}$

Será una expresión exponencial de base $a$ . De forma particular, si consideramos $a=2$ tendríamos una expresión exponencial de base dos expresada de la siguiente forma

$2^{x}$

Las expresiones exponenciales cumplirán con las mismas propiedades que se han definido para las potencias, pero el caso interesante resulta cuando establecemos igualdades que involucran expresiones exponenciales, pues si consideramos la siguiente ecuación

$a^x = b$

Diremos que esta es una ecuación exponencial y debemos desarrollar un método que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Particularmente, si consideramos la ecuación

$2^x = 8$

La solución salta a la vista, pues sabiendo que dos elevado al cubo es igual a ocho, entonces concluimos que el valor de $x$ que satisface la igualdad es $x=3$ . Sin embargo, la solución no siempre será tan clara, así que debemos recurrir a las propiedades de las potencias para poder encontrar la solución.

Veamos como aplicar las propiedades de las potencias para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$3^x = 81$

Si bien, la solución de esta ecuación se puede deducir de forma inmediata, una de las técnicas para calcular este tipo de ecuaciones es descomponer los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $27$ , tenemos que

$3^x = 3^4$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$x = 4$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$5^{x+1} = 125$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $125$ , tenemos que

$5^{x+1} = 5^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 -1 \Rightarrow x = 2$

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$4 \cdot 2^x = 128$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$2^2 \cdot 2^x = 2^7$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$2^{2+x} = 2^7$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2+x = 7 \Rightarrow x = 7 - 2 \Rightarrow x = 5$

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$49^x \cdot 7^5 = 343$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$7^{2x+5} = 7^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1$

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$49^x \cdot 7^5 = 343$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$7^{2x+5} = 7^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1$

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$81^x \cdot 9^4 = 27^x \cdot 3^2$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left( 3^4 \right)^x \cdot \left( 3^2 \right)^4 = \left( 3^3 \right)^x \cdot 3^2$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$3^{4x} \cdot 3^{8} = 3^{3x} \cdot 3^2$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$3^{4x+8} = 3^{3x+2}$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$4x+8 = 3x+2 \Rightarrow 4x - 3x = 2 - 8 \Rightarrow x = -6$

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Ejemplo 7

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$8^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32^x} \cdot 4^5$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$, tenemos que

$\left( 2^3 \right)^x \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{\left( 2^5 \right)^x} \cdot \left( 2^2 \right)^5$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes. Además, aquellos elementos que están el denominador los podemos reescribir como numeradores cambiando el signo del exponente

$2^{3x} \cdot 2^{-4} = 2^{-5x} \cdot 2^{10}$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$2^{3x-4} = 2^{-5x+10}$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$3x-4 = -5x+10 \Rightarrow 3x + 5x = 10 + 4 \Rightarrow 8x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{4}$

Propiedades de las Potencias

09.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García7 comentarios

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

1. $a^0 = 1$ , todo número elevado a la cero es igual a uno, esto aplica incluso si $a=0$ .

2. $a^1 = a$ , todo número real se puede expresar con exponente.

3. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , al multiplicar dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y sumamos los exponentes. Esto se debe a que

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-veces} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(m+n)-veces}$

4. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , si tenemos un número elevado a una potencias y a su vez esta expresión está elevada a una potencias, entonces multiplicamos las potencias. Esto se debe a

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n-veces} = a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{n-veces}} = a^{m \cdot n}$

5. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , si un producto está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del producto. Esto se debe a

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n-veces} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n-veces} = a^n \cdot b^n$

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6. $a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$ , el inverso multiplicativo de todo número distinto de cero se puede expresar como el número con exponente menos uno (-1) o como el cociente de uno entre ese número.

7. $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$ , todo número distinto de cero con una potencia negativa, se puede reescribir como uno sobre el mismo número pero con potencia positiva.

8. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$ , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y restamos los exponentes, el exponente de arriba menos el de abajo. Supongamos que $m > n$ para entender esta idea, entonces, esto se debe a que

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} \cdot \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{(m-n)-veces}}{1} = a^{m-n}$

9. $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$ , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base en el denominador y restamos los exponentes, el exponente de abajo menos el de arriba. Supongamos que $m < n$ para entender esta idea, entonces, esto se debe a que

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-veces}} \cdot \dfrac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(n-m)-veces}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}$

10. $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$ , si un cociente está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del cociente. Esto se debe a

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b}}_{n-veces} = \dfrac{ \overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n-veces} }{ \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n-veces}} = \dfrac{a^n}{b^n}$

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de las Potencias o Ley de los Exponentes, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen del producto entre números reales. De forma resumida, tenemos que

Lista de las Propiedades de las Potencias

$a^0 = 1$

$a^1 = a$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-1} = \dfrac{b}{a}, \ a,b \neq 0$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos cómo usar estas propiedades.

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