Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Expresión lineal compuesta con una ecuación diferencial

06.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

$\dfrac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)$

puede siempre reducirse a una ecuación con variables separables considerando la siguiente sustitución

$u=Ax + By + C \text{, con } B \neq 0$

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$4\frac{dy}{dx} = 5 (3x+4y+6)^2-1$
$3\frac{dy}{dx} = 5 (7x+9y+9)^2+2$
$-9\frac{dy}{dx} = 7 (-9x-9y+2)^2-7$
$-2\frac{dy}{dx} = 8 (-2x+5y+3)^2-6$

$-3\frac{dy}{dx} = -5 (6x+2y+4)^2+4$
$2\frac{dy}{dx} = -6 (-2x-2y-3)^2+4$
$3\frac{dy}{dx} = 3 (2x+5y+2)^2-9$
$-2\frac{dy}{dx} = 9 (-6x-9y+2)^2+5$

$-5\frac{dy}{dx} = 4 (2x-1y-2)^2-2$
$4\frac{dy}{dx} = 5 (3x-2y+0)^2-4$
$2\frac{dy}{dx} = 4 (5x+7y+9)^2-5$
$-4\frac{dy}{dx} = 8 (7x-4y+0)^2+4$

$9\frac{dy}{dx} = -7 (5x+1y+9)^2-1$
$-\frac{dy}{dx} = 1 (6x-8y+6)^2-2$
$4\frac{dy}{dx} = 5 (-7x+6y+2)^2+5$
$-\frac{dy}{dx} = 7 (9x-5y-1)^2-8$

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Una ecuación de la forma

$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)y^n$

es conocida como una Ecuación de Bernoulli. Note que para $n=0,1$ , este tipo de ecuaciones es lineal. En caso que $n > 1$ , la sustitución $u=y^{1-n}$ reduce cualquier Ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$5 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -6 )}{ -4 x } \cdot y= 90 ( -4 x )^{ 14 } \cdot y^ 9$
$9 \frac{dy}{dx} -5 \frac{( 6 )}{ - x } \cdot y= -18 ( -x )^{ -55 } \cdot y^ 6$
$-5 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( -1 )}{ x } \cdot y= -20 ( x )^{ 9 } \cdot y^ 7$
$6 \frac{dy}{dx} -2 \frac{( -6 )}{ 3 x } \cdot y= -42 ( 3 x )^{ -13 } \cdot y^ 3$

$4 \frac{dy}{dx} -8 \frac{( -5 )}{ 8 x } \cdot y= -12 ( 8 x )^{ -31/16 } \cdot y^ 4$
$\frac{dy}{dx} +4 \frac{( 9 )}{ -6 x } \cdot y= -9/2 ( -6 x )^{ 1/8 } \cdot y^ 4$
$-9 \frac{dy}{dx} +8 \frac{( -7 )}{ -3 x } \cdot y= -567/8 ( -3 x )^{ 139/8 } \cdot y^ 8$
$3 \frac{dy}{dx} +4 \frac{( -4 )}{ -8 x } \cdot y= -81/2 ( -8 x )^{ -13/4 } \cdot y^ 7$

$-9 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( -8 )}{ 3 x -3 } \cdot y= -6 ( 3 x -3 )^{ 7 } \cdot y^ 2$
$-9 \frac{dy}{dx} -2 \frac{( -1 )}{ -3 x -2 } \cdot y= -54 ( -3 x -2 )^{ -4 } \cdot y^ 3$
$-5 \frac{dy}{dx} - \frac{( 2 )}{ 2 x -8 } \cdot y= -15 ( 2 x -8 )^{ -16 } \cdot y^ 4$
$7 \frac{dy}{dx} +4 \frac{( 4 )}{ -7 x -8 } \cdot y= 49 ( -7 x -8 )^{ 3 } \cdot y^ 5$

$3 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -2 )}{ -3 x -2 } \cdot y= 18 ( -3 x -2 )^{ 2 } \cdot y^ 7$
$6 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( 7 )}{ 4 x -7 } \cdot y= -96 ( 4 x -7 )^{ 27 } \cdot y^ 9$
$-4 \frac{dy}{dx} -8 \frac{( -1 )}{ -6 x -3 } \cdot y= -3 ( -6 x -3 )^{ -5/4 } \cdot y^ 4$
$-5 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -1 )}{ -2 x -6 } \cdot y= -105/4 ( -2 x -6 )^{ -43/8 } \cdot y^ 8$

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Forma General de una Ecuación de Bernoulli
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y$ , se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea $\frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0$ y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solución.

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Forma General de una Ecuación de Bernoulli

Para cualquier número natural $n$ , diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n$

Los casos para los cuales $n=0$ y $n=1$ fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Así que veremos a continuación, el caso en el que $n \geq 2$ . Podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

$u=y^{1-n}$

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2$

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por $3x$ para obtener

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar $u=y^{1-n}$ que en este caso, $n=2$ , por lo tango estará expresada como $u=y^{-1}$ de donde podemos despejar $y$ elevando a $-1$ y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a $\frac{1}{1-n}$ ambos lados de la ecuación para obtener que

$y=u^{-1}$

Será necesario calcular el diferencial de $y$ , así que usando la regla de la cadena concluimos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}$

Entonces, sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

$\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2$

$\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}$

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por $-u^{-2}$ y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea